大学算法分析与设计复习总结

大学算法分析与设计复习总结

第1章绪论

考点：

1、算法的5个重要特性。（P3）

答：输入、输出、有穷性、确定性、可行性

2、描述算法的四种方法分别是什么，有什么优缺点。（P4）

答：

1.自然语言优点：容易理解；缺点：容易出现二义性，并且算法都很冗长。

2.流程图优点：直观易懂；缺点：严密性不如程序语言，灵活性不如自然语言。

3.程序设计语言优点：用程序语言描述的算法能由计算机直接执行；缺点：抽象性差，是算法设计者拘泥于描述算法的具体细节，忽略了“好”算法和正确逻辑的重要性，此外，还要求算法设计者掌握程序设计语言及其编程技巧。

4.伪代码优点：表达能力强，抽象性强，容易理解

3、了解非递归算法的时间复杂性分析。(P13)

要点：对非递归算法时间复杂性的分析，关键是建立一个代表算法运行时间的求和表达式，然后用渐进符号表示这个求和表达式。

非递归算法分析的一般步骤是：

（1）决定用哪个（或哪些）参数作为算法问题规模的度量。

（2）找出算法的基本语句。

（3）检查基本语句的执行次数是否只依赖问题规模。

（4）建立基本语句执行次数的求和表达式。

（5）用渐进符号表示这个求和表达式。

[例1.4]：求数组最小值算法

int ArrayMin(int a[ ], int n)

{

min=a[0];

for (i=1; i

if (a[i]

return min;

}

问题规模：n

基本语句： a[i]

T(n)= n-1=O(n)

4、掌握扩展递归技术和通用分治递推式的使用。（P15）扩展递归技术：

通用分支递归式：

使用扩展递归技术求解下列递推关系式（1）

（2）

第2章分治法

了解分治法的设计思想

设计思想：将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。

步骤：（1）划分（2）求解子问题（3）合并

分治法的代表算法及时间复杂度：

归并排序，快速排序，最大子段和，最近对问题，凸包问题，这五种问题的分治算法的时间复杂度为O(nlog2n)

棋盘覆盖，循环赛日程安排为O(4k)

掌握归并排序和快速排序算法的算法伪代码。（P78-83）

归并排序：

算法中数组r中存储原始数据，r1在中间过程中存储排序后的数据，s指需排序数组的起始下标，t指需排序数组的结束下标。最终排序后的数据依然存储在r数组中。

快速排序：

掌握最大子段和问题的算法伪代码。（P83-85）

对于待排序列（5, 3, 1, 9, 8, 2, 4, 7）,画出快速排序的递归运行轨迹。按升序排列

初始序列：5,3,1,9,8,2,4,7

第一次划分：4,3,1,2,5,8,9,7

第二次划分：2,3,1,4,5,8,9,7

第三次划分：1,2,3,4,5,8,9,7

第四次划分：1,2,3,4,5,7,8,9

排序完成，红色字体为每次划分的轴值

在有序序列9（r1,r2,```, rn）中，存在序号i ( 1<=i<=n),使得ri = i, 请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n).

参考代码：

#include

int findr(ints[],int begin,int end)

{

if(begin==end){

if(s[begin]==begin) return begin;

else return 0;

}else

{

int m=(begin+end)/2;

if(s[m]>m) return findr(s,begin,m-1);

else if (s[m]==m)return m;

else return findr(s,m+1,end);

}

}

void main()

{

int s[]={0,1,1,2,4,6,8};

cout<

}

掌握选择问题的算法的伪代码（P33）

第3章动态规划法

了解动态规划法的设计思想

设计思想：将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解。

步骤：

将原始问题分解为相互重叠的子问题，确定动态规划函数；

求解子问题，填表；

根据表，自底向上计算出原问题的解。

掌握可以用动态规划法解决的问题及时间复杂度：

TSP，多段图的最短路径问题，0/1背包，最长公共子序列问题，最优二叉查找树，近似串匹配问题；

多段图的最短路径问题： O(n+m)

0/1背包问题： O(n×C)

矩阵连乘：

掌握0/1背包问题的动态规划算法及具体实现（P75）

例题：用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为（3，2，1，4，5），物品的价值分别为（25，20，15，40， 50），背包容量为6。写出求解过程。

0/1背包问题的动态规划函数为：

V(i,j)表示把前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值和。

填表过程：

放入背包中的物品的求解过程：则65表示把5个物品放入容量为6的背包中的最大价值和。i=5,j=6; v[5][6]>v[4][6],x[5]=1, j=6-w[5]=1

i=4,j=1; v[4][1]=v[3][1], x[4]=0

i=3,j=1; v[3][1]>v[2][1], x[3]=1, j=1-w[3]=0

i=2,j=0; v[2][1]=v[1][0], x[2]=0

i=1,j=0; v[1][0]=v[0][0], x[1]=0

结果是把第3个和第5个放入了背包

掌握最长公共子序列问题的动态规划法算法及具体实现（P58）

求X=“xzyzzyx”和Y=“zxyyzxz”序列的最长公共子序列的动态规划函数为：

L[i][j]表示X中前i个元素和Y中前j个元素构成的序列的最长公共子序列的长度。

为了确定具体的最长公共子序列，需要同时计算S[i][j]的值，S[i][j]表示在计算L[i][j]的过程中的搜索状态。

子序列为斜箭头所标示的行或列：X[2],X[3],X[6] ,X[7]或Y[1], Y[3], Y[4] , Y[6]最长公共子序列的长度为4

即为：zyyx

流水作业调度：

最优二叉搜索树：

第3章贪心法

了解贪心法的设计思想

贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出局部最优选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。

贪心法的关键在于决定贪心策略。

掌握可以用贪心法解决的问题：

TSP问题中的两种解决方法：最近领点策略，最短链接策略

最小生成树问题的两种算法：最近顶点策略（Prim算法），最短边策略（Kruskal算法）背包问题，活动安排问题，多机调度问题，哈夫曼编码。

掌握最小生成树的两种贪心算法：prim算法和kruskal算法（P100-102），给出具体的例子，能够用两种方法画出树的生成过程。

掌握背包问题的贪心算法

问题：求如下背包问题的最优解：有7个物品，价值P=(10,5,15,7,6,18,3),重量

w=(2,3,5,7,1,4,1),背包容量W=15.

解决方法：

先对物品的单位重量价值按照降序排列

物品重量物品价值物品价值/物品重量

166

2105

418 4.5

5153

133

35 1.67

771

依次把物品放入容量为15的背包，直到背包被装满

1+2+4+5+1=13，前5个物品装入背包，还剩下容量为2，第6个物品只能装入2/3

所以总价值为：6+10+18+15+3+5*2/3=55.3333

给出字符集和对应的频率，能够画出对应的哈夫曼树，并对给定的字符串进行哈夫曼编码。（P92）

活动安排：

最优装载：

第8章回溯法

了解回溯法的设计思想

设计思想：从解空间树根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。直到搜索到叶子结点，则得到问题的一个可能解。

步骤：

确定解向量和分量的取值范围，构造解空间树；

确定剪枝函数；

对解空间树按深度优先搜索，搜索过程中剪枝；

从所有的可能解中确定最优解。

了解可以用回溯法解决的问题：

属于组合问题和排列问题中求最优解的问题都可以用回溯法解决，例如：图着色问题，哈密顿回路问题，八皇后问题（4皇后问题），批处理作业调度问题。

掌握m颜色图着色判定问题的回溯法算法，并能画出解空间树的搜索过程（P168-170），习题8-4

对图8.14使用回溯法求解图问题，画出生成的搜索空间。

解：图着色问题求解的是满足图着色要求的最小颜色数。对图8.14应该从1、2、3、4……种颜色依次尝试用回溯法判定是否满足M着色的要求。

经搜索，1种和2种颜色均不能满足图着色的要求，3种颜色可以满足图着色要求，搜索过程如下，所以图8.14的着色的最少颜色数应该为3

搜索空间为：

掌握n皇后问题的回溯法算法，并能画出解空间树的搜索过程（P173-174）,

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掌握0/1背包问题的回溯算法，并能画出解空间树的搜索过程（P163-164），习题8-5

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第9章分治限界法

了解分支限界法的设计思想

设计思想：

1）首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界[down, up] ，并确定限界函数；

2）然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的限界函数的可能取值；

3）如果某孩子结点的限界函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT）中；

4）依次从表PT中选取使限界函数的值是极值的结点成为当前扩展结点；

5）重复上述过程，直到找到搜索到叶子结点，如果叶子结点的限界函数的值是极值，则就是问题的最优解，否则，找到其他极值结点重复扩展搜索。

步骤：

确定解空间树

确定限界函数

按广度优先搜索解空间树，计算限界函数的值，填入PT表

从PT表中寻找极值，继续扩展结点，直到找到限界函数值为极值的叶子结点。

了解可以使用分支限界法解决的问题：

TSP问题，多段图的最短路径问题，任务分配问题，批处理作业调度问题，0/1背包问题。掌握任务分配问题的分支限界法（P195-197），习题9-5

掌握0/1背包问题的分支限界法（P184-185），习题9-6

掌握批处理作业问题的分支限界法（P198-200），习题9-7