北京市延庆区2020届高三3月模拟考试 数学
2020北京延庆区高三一模数学 2020.3 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D.3. 下列函数中最小正周期为的函数是A. B. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B.C. D.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 已知集合,且则的取值范围是12. 经过点且与圆相切的直线的方程是13. 已知函数则14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于17.（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前项和，，.（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18. （本小题14分）三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：班班班（Ⅰ）试估计班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.19. （本小题14分）已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14分）在数列中，若且则称为“数列”。
设为“数列”，记的前项和为（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.2020北京延庆区高三一模数学参考答案一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2．D ． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)-∞； 12. 3(2)3y x =±+； 13．132-；14．16,29； 15．7,42.10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15. 在ACD ∆中，sin 2sin 45AC CD =∠︒，在ABD ∆中，sin 1sin 3AB BD=∠∠，相除得：3sin 35∠=， 所以72sin sin(453)A ∠=︒+∠=，所以1sin 422ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=. 三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ， …………1分因为 //PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以 //PA EF …………4分 因为 ABCD 是正方形，所以 F 是AC 的中点所以 E 是PC 的中点 …………6分 （Ⅱ）（法一）因为 PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥ …………7分因为 ABCD 是正方形， 所以 BC CD ⊥因为 PO CD O =I所以 BC ⊥平面PDC …………10分 所以 BC PD ⊥ 因为 PD PC ⊥ 因为 BC PC C =I所以 PD ⊥平面PBC …………13分 因为 BE ⊂平面PBC 所以 PD BE ⊥所以 PD 与BE 成90︒角. …………14分 （法二）连接OF ，因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO ⊥CD ， PO ⊥OF . ………7分因为 ABCD 是正方形，所以 OFCD ⊥.所以 ,,OF OC OP 两两垂直.以,,OF OC OP 分别为x 、y 、z 建立空间直角坐标系O xyz -.………8分 则(0,0,2)P ，(0,2,0)D -，(4,2,0)B ，(0,1,1)E ， ………9分(0,2,2)PD =--u u u v ，(3,1,1)BE =--u u u v, ………10分0(3)(2)(1)(2)1PD BE ⋅=⨯-+-⨯-+-⨯u u u v u u u v（………1分）0= ………13分所以所以 PD 与BE 成90︒角. ………14分17. 解：选① （Ⅰ）因为10816,10a a ==，所以3d = …………2分 所以 187102111a a d =-=-=- …………4分 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =- …………6分令 3142024n -=，则32038n = 此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项. …………8分 不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0n a >， 即 3140n ->，解得：142433n >= ∴当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a < …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.…13分n S 无最大值 …………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.n S 无最大值 …1分（Ⅱ）（法二）21()325222n n n a a S n n +==-， 2514266b a -== …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为43251642622S =⨯-⨯=-.…13分n S 无最大值 …………14分选② （Ⅰ）10816,8a a ==Q ，4d ∴= …………2分18782820a a d ∴=-=-=- …………4分 1(1)20(1)4n a a n d n ∴=+-=-+-⨯424n =- …………6分令 4242024n -=，则42048n = 解得512n =2024∴是数列{}n a 中的第512项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 4240n -≥，解得：6n ≥∴当6n =时，0,n a =∴当6n >时，0,n a >当6n <时，0,n a < …………11分 ∴当5n =或6n =时，n S 的最小值为562016128460S S ==-----=-. …………13分 n S 无最大值 …………14分选③ （Ⅰ）10816,20a a ==Q ，2d ∴=- …………2分187201434a a d ∴=-=+= …………4分 1(1)34(1)(2)n a a n d n ∴=+-=+-⨯-236n =-+ …………6分令 2362024n -+=，则994n =-（舍去）2024∴不是数列{}n a 中的项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 2360n -+≥，解得：18n ≤∴当18n =时，0,n a =∴当18n >时，0,n a <当18n <时，0,n a > …………11分 ∴当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818(340)3062S S ⨯+===. …………13分n S 无最小值. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样 方法，A 班的学生人数估计为61203620⨯=． …………3分 只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D 包含的选法有3+2+4=9种， …………6分9()20P D ∴=. …………7分 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为920. ……………8分 只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分. （Ⅲ）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F 则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++===⨯U . ……………14分 （Ⅲ）另解：从A 班的6人中随机选2人，有26C 种选法，从B 班的7人中随机选1人，有17C 种选法，故选法总数为：2167157105C C ⋅=⨯=种 ……………10分 设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E ，则E 中包含以下情况：（1）从A 班选出的2人超15小时，而B 班选出的1人不超15小时， （2）从A 班选出的2人中恰有1人超15小时，而B 班选出的1人 超15小时， ……………11分所以21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯. ……………14分 只有21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯，而无文字说明，扣1分 有设或答，有11()35P E =，给3分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当. ∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分（Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f 22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分 （1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(a x f ……………9分法1：2)()(a af x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[ax ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，ax 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，所以a的取值范围为]1,0(. ……………14分用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1分. （2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('x 0 （0，a -） a -（∞+-，a ） )(x f ' -+)(x f 12-a 递减 )(a f -递增在（-∴,0)(a x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，12-ay101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<， 0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分） 即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得22222211,.c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， （试根法）所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 法二：设椭圆的右焦点为1F ，则1||3CF =，24,2a a ∴==，c =Qb ∴=，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 （Ⅱ）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， …4分设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， …5分 易知0∆>，且1212240,12x x x x k -+==+， …6分则PQ ==…7分3===，所以27,2k k ==(负舍)，所以直线l的方程为y x =. …8分 用Q 到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点11(,)Q x y ，3,PQ =Q 3,2OQ ∴=29,4OQ ∴= 22119,4x y ∴+= 又221124,x y +=Q解得：1122x y ∴== 所以直线l 的方程为11y y x x =，即2y x =. （Ⅲ）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为20x -=. …9分 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，只需使得4OQ MQ =， …10分法一：即34M Q x x = ① . …11分 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得，M …12分由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得，Q ， …13分代入①可得21470k -+=，即：27702k -+=（约分后求解）解得k =，所以y x =. …15分 法二：所以444(,)333m m OQ OM x y ==u u u v u u u u v ，即44(,)33m m Q x y . …11分设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得，M …12分所以Q ，因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=， …13分代入可得21470k -+=，即：27702k -+=解得814k =，所以814y x =. …15分 法三：所以00333(,)444OM OQ x y ==u u u u v u u u v ，即0033(,)44M x y . …11分点M 在线段AB上，所以0032044x y +-=，整理得0083x =，① …12分因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=，②把①式代入②式可得200970y -+=，解得013y =. …13分于是008433x =-=，所以，00814y k x ±==. 所以，所求直线l的方程为814y x =. …15分 21.解：（Ⅰ）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，所以3716n S n =+. …………………………3分 （Ⅱ）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==，由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解. 综上，15a =. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减， 注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1； 当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3. …………………………14分。
2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学试题(word版)含参考答案
1 / 232020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－13．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）AB．2CD．24．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b aa b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）2 / 23A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．3 / 23其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ． 14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小4 / 23值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；5 / 23（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分）6/ 237 / 23已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）8 / 23已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>．2020年3月（北京卷）全真模拟卷（1）数学答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，9 / 23{}1A B x x =<U ，故选A ．2．【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ． 3．【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距2c ==，故离心率为e =A ． 4．【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．10 / 238．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ． 9．【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ． 10．【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．11 / 2312．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．【答案】(3,23)±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得23y =±，所以点M 的坐标为()3,23±．14．【答案】2π2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22222⋅+⋅=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为 2π，故答案为2π， 2π． 15．【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b-12 / 23变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）56π． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ． 由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ． （2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直． 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，13 / 23则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r ，∴3cos θ=-，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决． 试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，14 / 23解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ． （2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，15 / 2323111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-16 / 2313(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统 计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由． 【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，17 / 23所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为： 0121625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得18 / 231(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． （2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增． 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤． 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11ea =-，2eb =时，b a -有最大值为11e +．19 / 2320．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅱ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道2EF x ⊥，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出c 、2ba的值，再根据222c a b =-，最后求出,a b 的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断0OM ON ⋅=u u u u r u u u r是否成立，可以判断以MN 为直径的圆是否过定点，也就能求出||||PM PN ⋅的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kx m =+，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，计算OM ON ⋅u u u u r u u u r的值，最后可以求出||||PM PN ⋅的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得2EF x ⊥轴，则2(,)bE c a，因为ABE ∆是边长为2的正三角形，所以2c =⨯=22b a =，且223a b -=，解得3a =，b =，所以椭圆方程为22196x y +=． （Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为x =M，N ，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，所以OM ON ⊥，20 / 23此时以MN 为直径的圆过原点，2218||||||5PM PN OP r ⋅===为定值； 当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，=22(5181)m k =+， 联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，可得222(23)63180k x kmx m +++-=，即有>0∆，122623km x x k +=-+，212231823m x x k-=+， 12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++， 可得OM ON ⊥，此时2218||||||5PM PN OP r ⋅===． 综上可得以MN 为直径的圆过原点，且||||PM PN ⋅为定值185． 21．（本小题14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>． 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析．21 / 23【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解．试题解析：()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是“独立的”．()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为：{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =．所以，M 至多有5个“关联子集”．若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”． 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾．所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集”， 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”． 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A ．若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”，所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-，1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-．1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-．22 / 23所以12345,,,,a a a a a 是等差数列．()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈．因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素．假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>，所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤，所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+，所以任取t T ∈，232n nt -≤+，任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素． (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立．因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立．所以12n n a a --≥．所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭， 而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，23 / 23所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=，因为4T ∈，所以121,3a a ==．因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+，所以22824n n a n --+-=，所以123n a a a a -+=+n ，矛盾． 所以命题成立．。
2020年3月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（3）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1 BC ．2iD ．i【答案】B【解析】由已知可得z ==B ．2．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A ．∅ B ．{1,2,3,4}C ．{2,4}D ．{1,3}【答案】D【解析】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，={1,3}U C A 则，故选D ．3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=，故选C ．4．已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是（ ）A ．n ∀∈N ，2n ≤B ．n ∀∈N ，2n <C ．n N ∃∈，2n ≤D ．n N ∃∈，2n >【答案】C【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤C ．5．已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】B【解析】由已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，∴()1,0F ，根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=，故选B ． 6．已知圆C 与直线y x =及40x y --=都相切，圆心在直线y x =-上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y +++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -++=【答案】D【解析】由题意可设圆心坐标为(,)a a -=1a =，∴圆心坐标为(1,1)-，又2R =，∴R =22(1)(1)2x y -++=，故选D ． 7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =．∴三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =()224229R R πππ=⨯=，故选C ．8．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5．2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的若视力4．1的视标边长为a ，则视力4．9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a-D ．91010a -【答案】C【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -，由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔=，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列，即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4．9的视标边长为4510a -，故选C ． 9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点； ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增； ④ω的取值范围是[1229510，)．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦． ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确； 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．10．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y 变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()()()()2123420,0,e 0,ln 1x y x x y x x y x y x x =>=>=>=>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A ．②，③，①，④B ．③，②，④，①C ．②，③，④，①D ．③，②，①，④【答案】A【解析】由x tana y tanb=⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于()3e 0xy x =>，显然3331,arctan ,4y b y y π>∴=>∴对应的图象为①；对于()44ln 1,arctan arctan1,4y x x a x y π=>∴=>=∴对应的图象为④； 对于1y 和2y ，当02x <<时，222,arctan2arctan x x x x >∴>，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y ∴>，1y ∴对应的图象为②，2y 对应的图象为③，故选A ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线22149y x -=的渐近线方程是 ．【答案】23y x =±【解析】Q 双曲线22149y x -=，∴双曲线22149y x-=的渐近线方程为22049y x -=，即23y x =±，故答案为23y x =±． 12．已知向量()()4,3,6,a b m =-=r r ，且a b ⊥v v，则m =_ ．【答案】8．【解析】向量()()4,3,6,,a b m a b =-=⊥r r r r ，则04630a b m ⋅=-⨯+=r r,，解得8m =．13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）【答案】15【解析】由题设，卦的种数为2615C =，故答案为15．14．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ；cos ABD ∠= ．【答案】5 10【解析】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，∴5BD =．cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=．15．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数321y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则(,)A B ϕ>； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ…；（4）设曲线x y e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞；以上正确命题的序号为 （写出所有正确的）． 【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由321y x x =-+，得232y x x '=-，则1|1A x k y ='==，2|8B x k y ='==，11y =，25y =，则||AB||(,)||A B k k A B AB ϕ-==<（1）错误；对于（2），常数函数1y =满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2y x '=，则1222A B k k x x -=-，||AB12|x x =- ()2,21A B ϕ∴===，（3）正确； 对于（4），由xy e =，得x y e '=，()1212,x x x x A B ϕ=，(),1t A B ϕ⋅<恒成立，即12||x x t e e -<1t =时该式成立，∴（4）错误，故答案为：（2）（3）． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，∴由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾． 试题解析：（1）证明：取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． ∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ //DE BC ，12DE BC =． ∵ H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，∴ //HF BC ，12HF BC =， ∴ //HF DE ，HF DE =，∴ 四边形DEFH 为平行四边形，∴ //EF HD ． ∵ EF ⊄平面1A BD ，HD ⊂平面1A BD ，∴ //EF 平面1A BD ．（2）证明：∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ AD AE =． ∴11A D A E =，又O 为DE 的中点，∴ 1A O DE ⊥．∵平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，∴ 1A O ⊥平面BCED ，∴ 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==∴ CO BO ⊥，∴ CO ⊥平面1A OB ，∴ 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，∵OC GE ⊥，∴EO EC =，这显然与1EO =，EC =∴线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．17．（本小题14分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且11431,2a b a b ==+=． 在①22a b =，②6243b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列为题： （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()()123f f f f n ++++L ．【答案】（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）()11312n m -=+，()()()()3212341n f f f f n n ++++=-+L ．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案． 试题解析：（1）若选①：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则21,132d q d q+=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． 若选②：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由651q b b =得13,3n n q b -=∴=， 又432,139,2,21n a b d d a n +=∴+=∴=∴=-．若选③：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则()2434411,2132dd d q⨯⎧+=++⎪⎨⎪++=⎩， 解得2,3d q =⎧⎨=⎩或2,3d q =⎧⎨=-⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． （2）∵m n a b =，∴1213n m --=，即()11312n m -=+， ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L ()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=． 18．（本小题14分）某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1．2；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释．试题解析：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人）， 得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人． （2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的期望012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程；（2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-．【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； （2）根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围． 试题解析：（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，则()11f x x'=-+，∴()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，∴切线方程为()()101y x --=-，即1y =-． （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值． 当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增，若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a<-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2a e =-． （3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1x g x x =-，（0x >），()21'lnxg x x-+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减；在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 11g x g e e ==-，∴11a e≤-． 20．（本小题14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ，B （不与左右顶点重合），连接2F A 2F B ，已知2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）设2122F F F A F B λμ=+u u u u v u u u u v u u u u v ，若1192λμ+=，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）550x ++=或550x -+= 【解析】试题分析：（1）根据周长得到2a =，根据离心率得到1c =，得到椭圆方程． （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =-，联立方程利用韦达定理得到122634ty y t +=+，122934y y t =-+，代入式子2122F F F A F B λμ=+u u u u r u u u r u u u r 计算得到答案．试题解析：（1）()()212122248ABF C AF AF BF BF a a a ∆=+++=+==，则2a =，而12c e a ==，则1c =，b C 的方程为：22143x y +=．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 不与左右顶点重合，则直线l 的斜率不为0，因此设直线:1l x ty =-，与椭圆C 的方程联立：221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>， 122634ty y t +=+①，122934y y t =-+② 11212122221212()y y F F F A AF F A AB F A F B F A y y y y =+=+=+---u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 21221212y y F A F B y y y y =-+--u u u r u u u r，因此212y y y λ-=-，112y y y μ=-，故12212112121111922y y y y y y y y y y λμ⎛⎫+=+=-+= ⎪-⎝⎭--，则122152y y y y +=-． 不妨设12y y >，解得122y y =-，即122y y =-③联立①②③，解得：t =，因此直线l的方程为：550x ++=或550x -+=． 21．（本小题14分）如图，将数字1，2，3，…，2n （3n ≥）全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为1a ，2a ，…，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，…，n b ．记1nn i ii S a b==-∑1122n n a b a b a b =-+-+⋯+-．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅰ）给定正整数n ．试给出1a ，2a ，…，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅰ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．【答案】（Ⅰ）3，5，7，9．（Ⅰ）2n S n =（Ⅰ）奇偶性相同．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，易知3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ），∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴21nn i i i S a b n ==-=∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()2121ni A B i n n =+==+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同． 试题解析：（Ⅰ）3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ）， ∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴()22111111)n n n n n nn iiiiiii i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()()21221212ni n n A B i n n =++===+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同．。
2020年3月北京市高三质量检测数学试卷(word版)含参考答案
2020年3月北京市高三质量检测数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28B ．21C ．14D ．75．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（ ）AB ．C ．D ．2+6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．47．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（ ） A 3B ．3C 3D ．38．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.92 1.96 1.78 1.76 1.74 1.72 1.80 1.82 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63a75 60 63 72 701a -b 65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为 ．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ． 13．在ABC △中，2,33A a c π∠==，则bc = ．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥． 其中，所有正确结论的序号是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小；在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．2020年3月北京市质量检测数学试卷参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}{}2102A B x x x x x x =-<<>=>-U U ，故选D ． 2．【答案】D【解析】由题意，复数()()()()313241211i i i ii i i 2i 1z ----====-++-，∴复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限，故选D ． 3．【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程为b y x a =±，又∵双曲线离心率为2，2c a ∴=，可得b ==，因此，双曲线的渐近线方程为y =，故选B ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=，则74714S a ==，故选C ． 5．【答案】C【解析】∵22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-，∴点P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r +=，故选C ．6．【答案】A【解析】如图所示，借助正方体得直观图为三棱锥P ABC -，∴三棱锥P ABC -的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=△，故选A ．7．【答案】D【解析】5π5π(cos ,sin )66M 即为312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2333tan tan 231313αα=-∴==-D ． 8．【答案】C【解析】由已知1012112+>S S S ，12111110S S S S ∴->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >，故选C ． 9．【答案】B【解析】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数； ②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数．A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误；B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确；C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误；D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误．综上选B ．10．【答案】B【解析】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛；只有5号可肯定进入跳绳决赛，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．【答案】4π【解析】由两个向量夹角公式得cos2θ⋅===⋅nnmm，因为[]0,,4θθπ∈π=Q．12．【答案】24【解析】由二项式412xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rrT C x C xx---+==，令420r-=，解得2r=，即展开式中的常数项为422443242421C-⨯=⨯=⨯，故答案为24．13．【答案】1【解析】由正弦定理知2sisinsin12sin,,,, 1.2n3666A aCbC B ccC bcπππππ∴==∴=π--=∴=∴=∴===,14．【答案】28x y=或2y x=【解析】分两种情形：①若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为：2x my=，不难验证两点()12,,4,22⎛⎫⎪⎝⎭适合，故28x y=；②若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的标准方程为：2y nx=，不难验证()()1,1,4,2适合，故2y x=．故答案为：28x y=或2y x=．15．【答案】①②③【解析】在曲线C上任取一点(),P x y，则44221x y mx y++=，将点()1,P x y--代入曲线C的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾．∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确．故答案为：①②③．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小； 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】试题分析：（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴可以证得平面PBC ⊥平面PCD ；（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r，求出法向量(0,1,1)n =-r ，根据公式求出两个法向量的余弦值，即可得出二面角E AD B --的大小；（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r ，又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，则AE u u u r 与DA u u ur 不垂直，证得AE 与平面PCD不平行．试题解析：（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥． ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ， 又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥．又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥，∴,,DA DC DP 两两垂直，∴以D 为原点如图建系，设1PD AB ==，∴0,0,0D （），(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r．设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r ，则DA n ⊥u u u r r ，DE n ⊥u u u r r ，∴0,1110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r ru u u r r ， 令1z =，得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r ，∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，∴二面角E AD B --的大小为45︒．17．（本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？ 【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】试题分析：先由已知条件结合所选条件求出数列{}n b 与数列{}n a 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解．试题解析：方案①，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，4427a b ==，∴5428d a a =-=-，1273(28)111a ∴=-⨯-=，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k kS S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<， 又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案②，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，25252,283a b a b +=∴=-=，∴522852a a d -==--，1273(28)111a ∴=-⨯-=， ∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案③，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1111,28a d =⎧⎨=-⎩，∴28139n a n =-+． 由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）2212S S > 【解析】试题分析：（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；（2）X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案；（3）根据数据的波动性得到答案． 试题解析：（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故62155p == ． （2）X 的可能取值为0,1,2，则()33905525P ξ==⨯=；()12321215525P C ξ==⨯=；()22425525P ξ==⨯=． 分布列为：()012252525255E X =⨯+⨯+⨯==． （3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故2212S S >．19．（本小题15分）已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集． 【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ；（2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析；（3）空集．【解析】试题分析：（1）求导得到()1a x af x x x-'=-=，计算得到答案． （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案．（3）原题等价于1()ln 10h x x x x =+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值1)02h >得到证明．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．()1a x af x x x-'=-=．令()0f x '=，得x a =．当x a >时，有()0f x '>，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增． 当0x a <<时，有()0f x '<，∴()f x 在(0,)a 上单调递减． 综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=．令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x ==， 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞，当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >．∴()0g a <，∴()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，∴()g x 有一个零点；当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增．此时21()ln 02g a a a a a =--+<，∴()g x 有一个零点．综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点． （3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集，等价于1()x f x x->在定义域内恒成立， 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立． 令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--． 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得x = 列表得11()1ln 22h =-∵12e <，∴1ln 12<．11 >，∴0h>，∴1()()0xh x f xx-=->恒成立．∴不等式1()xf xx-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值．试题解析：（Ⅰ）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切，∴半径b等于原点到直线的距离d，b d==b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=，故椭圆C的方程为22143x y+=．（Ⅱ）由椭圆C的方程可知(20)S,．若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，∴331122P Q⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,．则直线PS的方程为3260x y+-=，直线QS的方程为3260x y--=．令4x=，得(43)A,-，(43)B,，∴,A B两点的纵坐标之积为9-．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，由22(1)34120y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k+-+-=，依题意0∆≥恒成立．设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,． 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， ∴点A 的纵坐标为1122A y y x =-．同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-．∴12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k-=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值． 21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =．5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1．（Ⅱ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L ， ∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --． 当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．综上有：=i j i j m m x x --． （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，∴()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ， 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L ．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++．证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥， ∴()()()221n k p kq n p q +-+≥++． 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L ．当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意，∴121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．。
延庆区高三数学一模考试试卷
延庆区高三模拟考试试卷数学 2021.3本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =（A ）{}1-（B ）{}0,1 （C ）{}1,2,3- （D ）{}1,0,1,3-2．已知{}n a 为无穷等比数列，且公比01q <<，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是（A ）32a a < （B ）120a a ⨯>（C ）{}n a 是递减数列（D ）n S 存在最小值3．已知F 为抛物线C ：24y x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB ，则线段AB 的中点M 的横坐标为（A ）2（B ）3（C ）4（D ）54．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则该四棱锥的体积是 （A ）1（B ）2 （C ）3（D ）46．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（A ）2 （B）（C ）4 （D ）87．已知定义在R 上的幂函数m f x x =（）（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 8．设D 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1322AD AB AC =-+ （C ）3122AD AB AC =+ （D ）3122AD AB AC =-9．已知函数2011,,()221,0,x x f x x x x ≤⎧+⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式02)(>-xx f 的解集是（A ）(1,0)(0,1)-（B ）(1,1)- （C ）(0,1) （D ）(1,)-+∞10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的100mL 血液中酒精含量为[0,20)mg ，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到[20,80)mg 的即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过 （参考数据：468100.80.41,0.80.26,0.80.17,0.80.11====）（A ）4小时（B ）6小时（C ）8小时（D ）10小时第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数()()12a i z i =-+（i 为虚数单位）是纯虚数，则a =___________．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的一条渐近线过点(，则双曲线的离心率为.13．在二项式7)x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是___________．14．已知ABC ∆的面积为2,3AB B π=∠=，则sin sin BC =.15．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxf ae e x b -=+（其中a ，b是非零常数，无理数 2.71828e =…），对于函数()f x 以下结论正确的是. ①如果a b =，那么函数()f x 为奇函数； ②如果0ab <,那么()f x 为单调函数； ③如果0ab >，那么函数()f x 没有零点； ④如果1,ab =那么函数()f x 的最小值为2.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题共13分）已知函数2()3cos 2sin f x x x a x a =-+(0a >),再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，求函数()g x 的单调增区间. 条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()12f π=-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17．（本小题共14分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面11ADD A 为矩形，且侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，14AA =，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（Ⅰ）1//MN C DE 求证：平面； （Ⅱ）11D C E B --求二面角的余弦值.18．（本小题共14分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目。
(带答案解析)2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学
2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1 3．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A B C D 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b a a b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； 已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．*M N ⊆M n M a b c d ,,,a b c d +=+M {},,,a b c d M M M ()1{}2,4,6,8,10{}12,3,5,8，()2{}12345,,,,a a a a a {},i j a a M ⊆M A {},i j a a A ⊆12345a a a a a <<<<12345,,,,a a a a a ()3M x M ∈294n n x -+>2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A ．B．C．D ．【答案】A【解析】∵集合，∴，∵集合，∴，，故选A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．－D．－1【答案】D【解析】设且，则，得到，且，解得，故选D．3．双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的标准方程为：，故实半轴长为，虚半轴长为，故半焦距，故离心率为，故选A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A ．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为且它是奇函数，故A错误；因为函数的定义域为，它是偶函数，在为偶函数，故B正确；因为函数的定义域为，它是偶函数，但在有增有减，故C错误；因为函数的定义域为，故函数不是偶函数，故D错误，故选B．5．若，则下列不等式一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为：，对于A：当，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，所以，又因为，则，故不取等，即，故D正确，故选D．6．在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的展开式通项为，令，得．因此，的系数为，故选A．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（）A．100B．C．300D．400【答案】B【解析】设大圆锥的高为，所以，解得，故，故选B．8．设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为，或，显然由不一定能推出，由也不一定能推出，因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；③当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为，故结论①正确；当时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为，半径为1，它到直线的距离为，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则米跑以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分）；则总分为（分）；乙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丁各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）．综上，乙得分最多，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量，且，则．【答案】【解析】由向量，若，可得，故答案为6．12．已知分别为内角的对边，且，则__________．【答案】【解析】由正弦得，故（为外接圆的半径），故，又，故，由余弦定理可得，故答案为．13．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则点的坐标为．【答案】【解析】因为焦点，所以．设点，根据抛物线的定义得：，解得，所以点的坐标为．14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线．①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数，其中，是这两个函数图象的交点，当时，，所以函数的交点间的距离为一个周期，高为，所以．如图所示：①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为，故答案为，．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，，即为票价，当时，，则为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知四边形为直角梯形，，，，，为中点，，与交于点，沿将四边形折起，连接．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的平面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结交于，则为中点，设为中点，连结，则，且．由已知且，∴且，所以四边形为平行四边形．∴，即．∵平面，平面，所以平面．（2）解：由已知为边长为2的正方形，∴，因为平面平面，又，∴两两垂直．以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．可求得平面法向量为，平面法向量为，∴，所以二面角的平面角的大小为．17．（本小题14分）（数列开放题）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．试题解析：方案一：选条件①（1），，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案二：选条件②（1），，，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案三：选条件③，，解得或（舍去），，．（2），，，，．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，记其中老年人出行的人次为．以频率作为概率，求的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从市出发到市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望；（3）建议甲乘坐高铁从市到市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．试题解析：（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．（2）由题意，的所有可能取值为：因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量的分布列为：故．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从市到市．19．（本小题15分）已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据在上单调递增，且，分别解不等式以及，即可求出函数的单调增区间和减区间；（3）由题意得在上恒成立，设，用导数讨论函数的单调性，求出最小值，可得．再设，求出函数的最大值，即为的最大值．试题解析：（1）由，得，所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，得．因为，且在上单调递增，所以由得，，所以函数在上单调递增，由得，，所以函数在上单调递减．综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由，得在上恒成立．设，则．由，得，（）．随着变化，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增．所以函数的最小值为．由题意，得，即．设，则．因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．所以当，，即，时，有最大值为．20．（本小题14分）已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）以为直径的圆过原点，坐标为，且为定值【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C的方程；（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M、N两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M、N两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得轴，则，因为是边长为2的正三角形，所以，，且，解得，，所以椭圆方程为．（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为，可得，，则，所以，此时以为直径的圆过原点，为定值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，由直线和圆相切可得，即，联立直线方程和椭圆方程，可得，即有，，，，可得，此时．综上可得以为直径的圆过原点，且为定值．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合，，且．记，进而利用反证法求解．试题解析：是“关联的”关联子集有；是“独立的”．记集合的含有四个元素的集合分别为：，，，，．所以，至多有个“关联子集”．若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”．所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．所以一定不是“关联子集”，同理一定不是“关联子集”．所以集合的“关联子集”至多为．若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；所以都是“关联子集”，所以有，即，，即．，即，所以．所以是等差数列．不妨设集合，，且．记．因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．假设结论错误，即不存在，使得，所以任取，，因为，所以，所以，所以任取，，任取，所以，且中含有个元素．(i)若，则必有成立．因为，所以一定有成立．所以．所以，，所以，所以，有矛盾，(ii)若，，而中含有个元素，所以，所以，，因为，所以．因为，所以，所以，所以，矛盾．所以命题成立．。
北京市延庆区2020届高三数学一模考试试题 理(含解析)
∴
，得
，故
20. 设
是由 个实数组成的有序数组，满足下列条件：
①
，
；②
；
③
，
.
（Ⅰ）当
时，写出满足题设条件的全部 ；
（Ⅱ）设
，其中
，求
的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数 ，求 的个数.
【答案】(1) 详见解析;(2)
; (3)
【解析】试题分析：
(Ⅰ)利用题中所定义的 可得 共有 5 个可能的值；
0～ 500 元
500～ 1000～ 1500～ 1000 元 1500 元 2000 元
A类
20
50
20
10
B类
50
30
10
10
月均服装消费额不超过 1000 元的人群视为中低消费人群，超过 1000 元的视为中高收入 人群.
（Ⅰ）从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率； （Ⅱ）从 两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的 消费档次的概率； （Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计 两类人群 哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）. 【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B. 【解析】试题分析： (Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从 类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群 的概率为 0.7； (Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档 次的概率为 0.78 (Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得 两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是 B. 试题解析： （Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件 ，
两幅作品
①前排 2 幅,后排 3 幅,则前排的必须是 A,B,考虑其顺序,有
北京市延庆区2020年高三数学一模试卷
2020北京延庆区高三一模数学 2020.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数z=a2i−2a−i是正实数，则实数a的值为A. 0B. 1C. −1D. ±12. 已知向量a⃗=(1,k),b⃗⃗=(k,2),若a⃗与b⃗⃗方向相同，则k等于A. 1B. ±√2C. −√2D. √23. 下列函数中最小正周期为π的函数是A. y=sinxB. y=cos12x C. y=tan2x D. y=|sinx|4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. y=1x B. y=tanx C. y=e x−e−x D. y={x+2,x≥0x−2,x<05.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为4√33, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. 4+4√3D. 206. (2x2+1x)5的展开式中，x4的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系xOy中，将点A(1,2)绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于A. −2√55B. −√55C. √55D. −258. 已知直线a,b，平面α,β，α∩β=b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产A,B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2=0.3010）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线C：x 216−y29=1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点，且∠AFB=60°，则∆BOF的面积为A. 3√32B. 9√32C. 32D. 92第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。
北京延庆区高三3月模拟考试数学试题含答案
2020北京延庆区高三一模数学 2020.3 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D.3. 下列函数中最小正周期为的函数是A. B. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B.C. D.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 已知集合,且则的取值范围是12. 经过点且与圆相切的直线的方程是13. 已知函数则14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。
2020年3月北京高三适应性考试数学试卷含答案
数学 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(1,2)−（C ）(2,1)（D ）(2,1)−（2）已知集合{2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩（A ）{0,1}（B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}−（D ）{1,0,1,2}−（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是（A）y =（B ）21y x =−（C ）1()2x y =（D ）2log y x =（4）函数()f x =（A ）{|2x x ≤或3}x ≥ （B ）{|3x x −≤或2}x −≥ （C ）{|23}x x ≤≤（D ）{|32}x x −−≤≤（5）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是（A ）22(2)(1)1x y −+−= （B ）22(2)(1)1x y +++= （C ）22(2)(1)5x y −+−=（D ）22(2)(1)5x y +++= （6）要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π3个单位 （B ）向左平移π6个单位 （C ）向右平移π3个单位 （D ）向右平移π6个单位数学 第 2 页（共 6 页）俯视图（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4（8）已知点(2,0)A ，(0,2)B −．若点P 在函数y 的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（9）设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n ∀∈N ，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ．则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人 （C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人数学 第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京市延庆区2020届高三3月模拟考试试题 数学【含答案】
北京市延庆区2020届高三3月模拟考试试题数学第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D.3. 下列函数中最小正周期为的函数是A. B. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B.C. D.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 已知集合,且则的取值范围是12. 经过点且与圆相切的直线的方程是13. 已知函数则14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。