【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-7-1(选修4-1)
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2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.4.1空间几何体的三视图、表面积与体积
第一部分 高考专题串串讲
第一版块 专题知识突破
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析·真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考情剖析 三视图几乎是每年必考的内容之一，难度中等及以下，一是考
查识图(由直观图判断三视图或由三视图想象直观图)；二是以三视 图为载体考查面积、体积的计算.
不可能是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．四面体
D．三棱柱
解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形， 而圆柱无论从哪个方面看均不可能是三角形，所以选 A.
答案 A
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此 几何体的表面积是( )
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
答案 A
[方法规律] 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球 心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.
对点训练
5.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面
边长为 2，则该球的表面积为( )
81π A. 4
B．16π
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
解析 如图，几何体为三棱柱． 答案 B
2．(2013·课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体 三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以 为( )
第一版块 专题知识突破
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析·真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考情剖析 三视图几乎是每年必考的内容之一，难度中等及以下，一是考
查识图(由直观图判断三视图或由三视图想象直观图)；二是以三视 图为载体考查面积、体积的计算.
不可能是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．四面体
D．三棱柱
解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形， 而圆柱无论从哪个方面看均不可能是三角形，所以选 A.
答案 A
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此 几何体的表面积是( )
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
答案 A
[方法规律] 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球 心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.
对点训练
5.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面
边长为 2，则该球的表面积为( )
81π A. 4
B．16π
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
解析 如图，几何体为三棱柱． 答案 B
2．(2013·课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体 三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以 为( )
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-6-2文、3理(专题六 概率与统
条形统计图计算抽取的高中生近视人数．
该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为 10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数
为 2 000×2%×50%＝20，故选 A.
答案 A
2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为 [12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没 有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为( )
真题感悟 1.(2014·广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 ①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽
样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别为( )
A．200,20
B．100,20
C．200,10
D．100,10
解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据
(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等 比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量 的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积.
对点训练 1.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中 抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，则应从一年级本科生 中抽取________名学生．
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-1-5(专题一 集合与常用逻辑用
答案 D
4．(2014·湖南卷)若 0<x1<x2<1，则( )
解析 设 f(x)＝ex－lnx，则 f′(x)＝x·exx－1.当 x>0 且 x 趋近于 0 时，x·ex－1<0；当 x＝1 时，x·ex－1>0，因此在(0,1)上必然存在 x1≠x2， 使得 f(x1)＝f(x2)，因此 A、B 不正确；设 g(x)＝exx，当 0<x<1 时，g′(x) ＝x－x21ex<0，所以 g(x)在(0,1)上为减函数．所以 g(x1)>g(x2)，即exx11 >exx22，所以 x2ex1>x1ex2.故选 C.
当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． ②当 a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞) 上单调递减．
所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0； 当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而 g(x) 在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e. 设函数 h(x)＝xe－x－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而 h(x) 在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f(x)>1.
4．(2014·湖南卷)若 0<x1<x2<1，则( )
解析 设 f(x)＝ex－lnx，则 f′(x)＝x·exx－1.当 x>0 且 x 趋近于 0 时，x·ex－1<0；当 x＝1 时，x·ex－1>0，因此在(0,1)上必然存在 x1≠x2， 使得 f(x1)＝f(x2)，因此 A、B 不正确；设 g(x)＝exx，当 0<x<1 时，g′(x) ＝x－x21ex<0，所以 g(x)在(0,1)上为减函数．所以 g(x1)>g(x2)，即exx11 >exx22，所以 x2ex1>x1ex2.故选 C.
当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． ②当 a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞) 上单调递减．
所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0； 当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而 g(x) 在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e. 设函数 h(x)＝xe－x－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而 h(x) 在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f(x)>1.
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.7.3不等式选讲(选修4-5)
第44页，共49页。
所以 x 的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2 的解，解不等 式得12≤x≤52，
所以 x 的取值范围为12≤x≤52.
第45页，共49页。
[方法规律] 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将 其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
第41页，共49页。
考点三
不等式的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数 f(x)的图象；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求
实数 x 的范围．
第42页，共49页。
课堂笔记
2x－3，x≥2， (1)由题意知，f(x)＝1，1<x<2，
对点训练 2.设 f(x)＝x2－x＋13，实数 a 满足|x－a|<1，且|x－a|≠0，|x＋a －1|≠0，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
第38页，共49页。
证明 ∵f(x)＝x2－x＋13， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|， 又∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝ 2(|a|＋1)． ∴原不等式成立．
第29页，共49页。
即|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}，
所以aa－＋22 11＝＝12，，
解得 a＝3.
第30页，共49页。
[方法规律] 解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的 一般步骤
(1)令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根． (2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间． (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所 得的不等式在这个区间上的解集． (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
所以 x 的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2 的解，解不等 式得12≤x≤52，
所以 x 的取值范围为12≤x≤52.
第45页，共49页。
[方法规律] 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将 其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
第41页，共49页。
考点三
不等式的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数 f(x)的图象；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求
实数 x 的范围．
第42页，共49页。
课堂笔记
2x－3，x≥2， (1)由题意知，f(x)＝1，1<x<2，
对点训练 2.设 f(x)＝x2－x＋13，实数 a 满足|x－a|<1，且|x－a|≠0，|x＋a －1|≠0，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
第38页，共49页。
证明 ∵f(x)＝x2－x＋13， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|， 又∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝ 2(|a|＋1)． ∴原不等式成立．
第29页，共49页。
即|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}，
所以aa－＋22 11＝＝12，，
解得 a＝3.
第30页，共49页。
[方法规律] 解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的 一般步骤
(1)令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根． (2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间． (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所 得的不等式在这个区间上的解集． (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.2.3平面向量
答案
C
→ 4．(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO 1 → → → → ＝2(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．
→ 1 → → 解析 由AO＝2(AB＋AC)可得 O 为 BC 的中点，则 BC 为圆 O → → 的直径，即∠BAC＝90° ，故AB与AC的夹角为 90° .
课堂笔记 (1)由已知得 3e1－e2 a· b 3e1－2e2· cosβ＝ ＝ |a||b| a2· b2 9|e1|2－9e1· e2＋2|e2|2 ＝ ， 2 2 2 2 9|e1| ＋4|e2| －12e1· e2· 9|e1| ＋|e2| －6e1· e2 1 ∵e1 与 e2 是单位向量，其夹角为 α，且 cosα＝3， 1 ∴|e1| ＝|e2| ＝1，e1· e2＝|e1||e2|cosα＝3.
2 2
∴cosβ＝
1 9－9×3＋2 2 ＝3 2. 1 1 9＋4－12× · 9＋1－6× 3 3
(2)由于菱形边长为 2，所以 BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从 而 CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.
→ → 由AE· AF＝1， → → → → 得(AB＋BE)· (AD＋DF) → → → → → → → → ＝AB· AD＋AB· DF＋BE· AD＋BE· DF ＝2×2×cos120° ＋2· (2μ)＋2λ· 2＋2λ· 2μ· cos120° ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，
真 题 感 悟 1.(2014· 福建卷)在下列向量组中， 可以把向量 a＝(3,2)表示出来 的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.3.1等差数列、等比数列
(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)． ③等比数列中，q≠－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数 列．
注意：(1)a2 n＝an－1an＋1 是 an－1，an，an＋1 成等比数列的必要不充 分条件． (2)利用等比数列前 n 项和的公式求和时，不可忽视对公比 q 是否为 1 的讨论.
(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． ③等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等差数列．
注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成 an＝pn ＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝An2＋Bn 的形式(p，q，A， B 为常数)．
014＝(a1＋a3＋a5＋„＋a2 013)＋(a2 007
1－21 007 21－21 007 ＋a4＋a6＋„＋a2 014)＝ ＋ ＝3×21 1－2 1－2 B.
－3，故选
答案 B
考点二
等差、等比数列的判定与证明
【例 2】 (2014· 陕西卷)设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系
考点一
等差、等比数列基本量的计算
【例 1】 (2014· 湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1， a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 是否存在正整数 n， 使得 Sn>60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-2-1(专题二 三角函数、平面向量)
解析 由于 y＝sin3x＋cos3x＝
π sin3x＋2，因此只需将
π 2sin3x＋4，y＝
2cos3x＝ 2
π y＝ 2cos3x 的图象向右平移12个单位，即
π 2sin3x＋4的图象，故选
可得到 y＝
π π 2sin3x－12＋2＝
sinα· cosα 等于(
)
2 B．－5 1 D．－5
2 2 C.5或－5
解析 由已知得 sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2. sinαcosα ∴sinα· cosα＝ 2 sin α＋cos2α －2 tanα 2 ＝ 2 ＝ ＝－5，故选 B. tan α＋1 4＋1
答案 B
3－1 3．若 α∈(0，π)，sinα＋cosα＝ 2 ，则 tanα 的值为( 3 A．－ 3 或－ 3 C．－ 3 3 B．－ 3 3 D．－ 2
真 题 感 悟 π 1.(2014· 陕西卷)函数 f(x)＝cos2x－6的最小正周期是( π A.2 C．2π B．π D．4π
)
解析
2π 2π 由周期公式 T＝|ω|，得 T＝ 2 ＝π，故选 B.
答案 B
2．(2014· 全国大纲卷)设 a＝sin33° ，b＝cos55° ，c＝tan35° ，则 ( ) A．a>b>c C．c>b>a B．b>c>a D．c>a>b
π f6＝________.
解析 本题可逆推，由 y＝sinx 的图象推 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图
π π 象．将 y＝sinx 的图象向左平移6个单位长度得到 y＝sinx＋6的图
象，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到 f(x)＝
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-5-3(专题五 解析几何)
高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建2 【例 1】 (2014· 广东卷)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个 5 焦点为( 5，0)，离心率为 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切 线相互垂直，求点 P 的轨迹方程．
答案 D
2．如图所示，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为 8，且点 A，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
(1)试求顶点 P 的轨迹 C1 的方程； (2)若动点 C(x1，y1)在轨迹 C1 上，试求动点 C2 的方程．
x1 y1 Q 3 ， 的轨迹 2 2
|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2.
(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法” 来简化运算． 3．定点与定值问题
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么 就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这 些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一 个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变化 的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、 数式变换等寻找不受参数影响的量．
解 (1)由题意，可得顶点 P 满足|PA|＋|PB|＝6， 结合椭圆的定义， 可知顶点 P 的轨迹 C1 是以 A， B 为焦点的椭 圆， 且椭圆的半焦距长 c＝1，长半轴长 a＝3，则 b2＝a2－c2＝8. x2 y2 故轨迹 C1 的方程为 9 ＋ 8 ＝1.
2 x2 y 1 1 (2)已知点 C(x1，y1)在曲线 C1 上，故 9 ＋ 8 ＝1.
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真 题 感 悟
1．(2014· 广东卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上 △CDF的面积 且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于点 F，则 ＝________. △AEF的面积
解析 因为 ABCD 是平行四边形， 所以 AB∥DC， 且 AB＝DC， △CDF的面积 CD2 CD AB 于是△CDF∽△AEF，且 ＝ ＝3 ，因此 ＝ AE AE AE △AEF的面积 ＝9.
82＋122－62 43 即 cos∠ACP＝ ＝48， 2×8×12 在△ ACB 中，根据余弦定理 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC· BCcos ∠ 43 ACB＝8 ＋9 －2×8×9×48＝16，
2 2
所以 AB＝4.
答案
4
知识方法· 考点串联
连点串线成面 构建知识体系
1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么 在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等． ②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一 腰．
答案 2 3
考点二
圆的内接四边形问题
【例 2】
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝4，D 是 AC 的
中点，E 是 BC 上一点，AE 与 DB 交于点 F，∠BAE＝∠CBD. (1)求证：C，D，F，E 四点共圆； (2)已知 BF＝2，求 FD 的长．
课堂笔记 (1)因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB. 因为∠BAE＝∠CBD， 所以△ABE∽△BCD. 所以∠AEB＝∠BDC. 所以 C，D，E，F 四点共圆． (2)由(1)，知△ABE∽△BCD，
解 (1)因为 EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因为 A、B、C、D 四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故 ∠ECD＝∠EBA. 所以 CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因为 EF＝EG， 故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC. 连接 AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又 CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA，所以∠ FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180° .故 A、B、G、F 四点共圆.
答案 21
2．如图所示，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上．延长 BC 到 D 使 BC＝CD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 E.若 AB＝6，ED ＝2，则 BC＝________.
解析 连接 OC，则 OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90° ， ∵∠OAC＝∠OCA， ∴∠OAC ＋∠ACE ＝90° ，又△ACB ≌△ACD，则∠OAC ＝∠ EAC，∴∠EAC＋∠ACE＝90° ，∴∠AEC＝90° ， 在 Rt△ACD 中，CD2＝ED· AD，又 CD＝BC，AD＝AB 将 AB ＝6，ED＝2，代入得 CD＝2 3，所以 BC＝2 3.
答案
3
3．(2014· 湖南卷)如图，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥ BC，AB＝ 3，BC＝2 2，则⊙O 的半径等于________．
解析
如图，连接 BO，由已知 AO⊥BC，可得 E 是 BC 的中
点，即 BE＝ 2，故 AE＝ AB2－BE2＝1.在 Rt△BOE 中，OB2＝BE2 3 ＋OE2，即 r2＝( 2)2＋(r－1)2，解得 r＝2.
答案 4
5．(2014· 重庆卷)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作 割线 PBC 依次交圆于 B，C.若 PA＝6，AC＝8，BC＝9，则 AB＝ ________.
解析
如图所示，根据切割线定理，得 PA2＝PB· PC，
Байду номын сангаас
又因为 PC＝PB＋BC， 且 PA＝6，BC＝9， 所以 36＝PB· (PB＋9)， 解得 PB＝3. 在△PAC 中，根据余弦定理 AC2＋PC2－AP2 cos∠ACP＝ ， 2AC· PC
(2)圆内接四边形问题一般转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆 外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，然后再利用题目中 所给条件解决问题． ①在平面几何中求角的大小， 经常考虑用三角形内角和定理及 其推论； ②在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理.
对 点 训 练
3．(2014· 江苏卷)如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位 于 AB 异侧的两点，证明：∠OCB＝∠D.
对 点 训 练
5．(2014· 天津卷)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的 平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延 长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠ CBF；②FB2＝FD· FA；③AE· CE＝BE· DE；④AF· BD＝AB· BF.则所 有正确结论的序号是( A．①② C．①②③ ) B．③④ D．①②④
[方法规律]
(1)与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切
割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理，辅助线来 搭桥，第三比作介绍． (2)在几何证明中， 如果题目给的条件较为分散， 可以通过添加 辅助线，使分散的条件适当集中，要善于从式子结构中联想相关的 定理，多个角度思考问题，从中找出可行方案．如果能熟练掌握几 个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更 明确，更快捷.
(2)平行截割定理及其推论 ①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得 的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形 与原三角形对应边成比例． 2．相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理
a．两角对应相等的两个三角形相似． b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． c．三边对应成比例的两个三角形相似． ②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
对 点 训 练
AB BC AC 7 1．如图所示，在△ABC 和△DBC 中，DB＝DC＝BC＝3，若 △ABC 与△DBC 的周长之差为 12 cm， 则△ABC 的周长为________．
解析 由相似三角形的性质定理： 相似三角形周长的比等于相 7 x 似比，设△ABC 的周长为 x，则3＝ ，解得 x＝21. x－12
(2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比， 面积比等于相似比的 平方． (3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与 斜边的乘积， 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘 积．
3．圆的切线 (1)切线的性质及判定 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理： 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆 的切线． (2)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等．
答案
9
2．(2014· 陕西卷)如图，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半 圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________.
解析 由已知得四边形 BCFE 为圆的内接四边形，因此∠AEF ＝∠ACB，∠AFE＝∠ABC，所以△AEF∽△ACB，于是有 而 AC＝2AE，BC＝6，所以 EF＝3. AE EF ＝ ， AC CB
证明 因为 B，C 是圆 O 上的两点， 所以 OB＝OC. 故∠OCB＝∠B. 又因为 C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D.
4．如图所示，A、B、C、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A、B、 G、F 四点共圆．
所以
AB BE ＝ . BC CD
因为 AB＝AC＝4，D 是 AC 的中点， 所以 BC×BE＝AB×CD＝8. 又由(1)知 C，D，E，F 四点共圆， 所以 BF×BD＝BE×BC＝8， 因为 BF＝2， 所以 BD＝4. 所以 FD＝BD－BF＝2.
[方法规律] 圆内接四边形问题求解策略 (1)四点共圆(圆内接四边形)的判定与性质，在近几年高考中常 常出现，多与其他知识点综合考查，往往作为证明其他命题结论的 桥梁，解决此类问题的关键是掌握对角的互补关系，外角与其内角 的对角的相等关系，同边所形成的弦、角的等量关系等．
第一部分
高考专题串串讲
第一版块
专题知识突破
专题七
选考内容
第一讲 几何证明选讲(选修4－1)
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析· 真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考 情 剖 析 1.主要考查三角形相似的应用、圆中的切割线定理、同弧圆周 角之间的关系，以及圆的相关性质，对上述内容的考查大多以圆为 载体，在三角形中进行计算或证明． 2．考查的形式因省份不同而不同，既有选择题与填空题，也有 解答题，难度一般不大，属于中低档题.
高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系
考点一 【例 1】
相似三角形的判定与性质
如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB＝BC，AD 是 BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径．
(1)求证：AC· BC＝AD· AE； (2)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F，若 AF＝4，CF ＝6，求 AC 的长． 课堂笔记 (1)证明：连接 BE，则△ABE 为直角三角形．
[方法规律] 选择判定定理．
判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活
(1)证明三角形相似，往往可以转化为证明角相等，而证明角相 等的方法有：弦切角、圆周角、圆心角等相关结论． (2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例， 而证明线 段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理 等.