线性方程组n维向量
线性方程组2.n维向量
,
例 3 . 零向量可由任意向量组线性表示 ， 只要取组合系数全部为零即可 。
9
称向量组
1 1 , 0 0 , 2 0 , 1 , 0 0
n 0 , 0 0 , 1 为 n 维基本
则 有 :任 意 一 个 n 维 向 量
单位 向量组
1
的一组解
x1 c1 , x 2 c 2 x n c n
也可以记为 c1 c2 cn 并且称 是线性方 程组 ⑴ 的一个解向量 ，简称 是线性方程组 ⑴ 的 一个解 。
特殊向量 : . 分量全是零的向量称为 零向量 ,
4
1 零向量
记为 0 0 , 0 0 , 简记为 0 .
n 维向量是平面(空间)解析几何中，2 (3) 维几何 向量的推广，只不过当 n ＞3 时，它没有几何上的直 观意义，只是沿用几何上的术语而已。
例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成 一个七维向量， m , x , y , z , v x , v y , v z 其中m 表示导弹的质量 ，
x1 1 , 1 , 0 x 2 1 , 2 , 1 x 3 x1 2 x 2 , x 2 x 3
0 , 0 , 1
( 向量相等即向量的对应分量相等 )
x1 x 2 1 x1 2 x 2 2 x2 x3 3
1
.
分 配 律 .
8 1
.
7
7
结 合 律
例 2 . 已知 1 1 , 4 , 0 , 2 , 设向量
2
3 , 1 , 2 , 5 ,
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数-n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
第一节n维向量与向量组[1]
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三、线性相关性的判定
定理1.向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量(不妨设 能由其余向量线性表示. 即有
α x α x
1 1 2
2
αx
n
n
β
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个 n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
1 , 2 , 3线性无关.
定理3 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.反言之, 若向 量组B 线性无关, 则向量组A也线性无关 .
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
线性代数第3章 n维向量与线性方程组
29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无 关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可 由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一 的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个 向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向 量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们 是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无 关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合 定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问： 向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明 因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解 设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性 定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的 线性相关性.
33
3-1 n维向量及其运算
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
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特别地, 齐次线性方程组（Ⅱ）一定有解.
齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解 r( A) n
齐次线性方程组（Ⅱ）仅有零解 r( A) n
与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较 ➢ 解的状况 一定有解 ➢ 解的判断 定理1 如果方程个数m小于未知量个数n，一定有非零解.
【说明】当m<n时,一定有 r( A) n ,则齐次线性 方程组一定有非零解.
§3.1 消元法解线性方程组
§3.2 n维向量——线性表示，相关、无关概念
§3.3 向量组的秩——极大无关组
是向量组
§3.4 矩阵的秩 ——讨论向量组的工具 的代表!
§3.5 线性方程组解的一般理论
【回顾】1˚线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
0 1
amn
bm
（1）
c1r
c1n
d1
r1
， 无解
c2r
crr
c2n cr n 0 0
d2
（2）
dr1
0
，有解
r n 有唯一解
dr
d
r
1
rn
有无穷多解， 恰有 n r
0
个自由未知量.
0 0
一、 线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 L xnn (I) 有解
定理2
齐次线性方程组(Ⅱ)系数
矩阵的秩 r( A) r n
该方程组有基础解系，
且任一基础解系中解向
量的个数为 n r .
【证明思路】
对增广矩阵施以初等行变换(必要时可重新排列未知量的顺序)
1 0 L
0
1
L
0 b1r1 L 0 b2r1 L
b1n 0
b2n
0
M M M M
M M
AL
0
0
(II) 或
k1
k2
M
性质1
1
k1
k2
M
,2
l1
l2
M
是(Ⅱ)的解
1
kn
2
kn
ln
也是(Ⅱ)的解.
k1
性质2
k2
M
是(Ⅱ)的解
c 也是(Ⅱ)的解.
(c为任意常数)
kn
重要推论 1 ,2 ,L ,s 是（Ⅱ）的解
c11 c22 L css 也是（Ⅱ）的解.
代入与原方程组同解的方程组(*):
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr
brr 1 xr1
brn xn
1 b1r 1 r1 L b1nn
线性无关，
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1,2 , ,nr 亦线性无关.
“无关增维仍无关”
(2)证明方程组的任一解都可由 1,2, ,nr线性表示.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
设 1, , r , r1, ,n T 为该方程组的一个解.
0
0
b1r2
b1n
brr
2
brn
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
下面证明1 ,2 , ,nr 是齐次线性方程组的一个基础解系.
(1)证明1,2 , ,nr 线性无关.
由于 n r 个
nr
维向量
1 0,
0
1,
,
0 0
L
1 brr1
L
brn
0
0 0 L 0 0
L 0 0
M M M M
M M
0 0 L 0 0 L 0 0
对应的齐次线性方程组
x1
b1r1 xr1
b1n xn
(*)
xr brr1 xr1 brn xn
与原方程组同解, 其中
xr1 ,L , xn 为自由未知量.
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数, 并代入(*)：
a21 x1 a22 x2 L LL
a2n xn
b2
(I)
0 0
(II)
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm 0
a11
a21
M
,
2
am1
b1
b2
M
,
a12
a22 M
,L
,n
am2
0
0
0
M
a1n
a2n
M
amn
,
a11 a12 L
3˚ 等价的两向量组 秩相等.
【回顾】消元法解线性方程组
a11
a21
A
ar1
a
m
1
c11 c12 0 c22 0 0
0
0
0 0
0 0
a12 a1n b1
a22 a2n b2
ar2
arn
br
...
(其中 ci i
0, i
1,2,..r)
d 0 am2
A
a21
a22
L LL
a1n b1 b1
a2n
b2
A
b2
M
bm
0
x11 x22 L xnn (I)
am1 am2 L
amn bm
bm
x11 x22 L xnn 0 (II)
2˚ 线性表示的核心定理
可以由 1 ,2 ,L ,n线性表示
线性方程组 x11 x22 L xnn () 有解.
2. 齐次线性方程组解的结构
定义 齐次线性方程组解向量组的极大无关组称为齐 次线性方程组的基础解系. 【注1】齐次线性方程组的基础解系不唯一. 【注2】齐次线性方程组的基础解系 1 ,2 ,L ,s 满足: ①是方程组的解; ②线性无关;
③解向量组的任一向量都可由 1 ,2 ,L ,s 线性表示.
【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.
r( A) r( A)
系数矩阵的秩等于 增广矩阵的秩
推论1 线性方程组(I)无解 r( A) r( A)
推论2 线性方程组(I)有唯一解 r( A) r( A) n
【注】 可以由1 ,2 ,L s 线性表示
则1 ,2 ,L s 线性无关
表示法唯一.
推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r( A) r( A) n
定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组仅有零解 的充分必要条件是系数行列式 D≠0.
【说明】 D≠0,一定有 r( A) r(1,2 ,L ,n ) n,则齐
次线性方程组一定仅有零解.
二、齐次线性方程组解的结构
x11 x22 L xnn 0
1. 齐次线性方程组解的性质
解向量记作 (k1, k2 ,L , kn )
xr1 1 0
0
xr2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
依次得
x1
b1r 1
,
b1r 2
,
xr brr 1 brr 2
b1n , . brn
从而求得原方程组的 n r 个解：
b1r1
brr
1
1 1 ,