线性代数N维向量空间第4节基与维数
线性代数 N维向量空间 第4节 基与维数
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即 , V, kR, 有+V, kV,
closure conditions
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr . {k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
1, 2, …, s——生成元(generator).
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension) 1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示. r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V). n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n; 零空间没有基, 规定dim{0} = 0. 例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间来自§ 4.4 向量空间例1. 检验下列集合是否构成向量空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
线性代数N维向量空间第4节基与维数
03 不同的基可以用来表示同一个向量空间，但基的 个数是唯一的。
04
基与维数的应用
在线性变换中的应用
01
线性变换
基与维数在研究线性变换中具有重要作用。线性变换是向量空间中的一
种保持线性关系的变换，其可以通过基底表示。通过确定基底，可以确
维数定理
对于任何向量空间，其维数等于其基中向量的个数。
下节预告
向量空间的子空间
介绍如何定义和识别一个向量空 间的子空间，以及子空间的性质 和特点。
子空间的维数
探讨如何计算子空间的维数，以 及子空间维数与原向量空间维数 的关系。
向量空间的线性变换
介绍线性变换的概念、性质和分 类，以及线性变换在向量空间中 的重要作用。
线性代数n维向量空间第4节基与维数
目录 Contents
• 引言 • 向量空间与基的定义 • 维数的概念 • 基与维数的应用 • 总结与回顾
01
引言
主题概述
本节将介绍向量空间中的基与维数概 念，这是线性代数中重要的基础概念 之一。
通过学习本节，学生将理解向量空间 中基的作用，掌握维数的计算方法， 并能够在实际问题中应用这些概念。
逆矩阵与伴随矩阵
逆矩阵和伴随矩阵也是矩阵理论中的重要概念，它们的计 算也涉及到基与维数。逆矩阵是线性变换的逆过程，而伴 随矩阵则代表了线性变换的另一种形式。
在几何学中的应用
向量空间
基与维数可以用来描述向量空间的结构和性质。向量空间中的每一个元素都可以由基底线性表示，而维数则代表 了向量空间中独立元素的个数。
仿射变换
仿射变换是几何学中的一种重要概念，它可以由线性变换表示。通过确定仿射变换的基底和维数，可以研究其性 质和特征，进而应用于几何学中的各种问题。
线性代数4-7章
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关 证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积 定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一 组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
维数和基的个数的关系
维数和基的个数的关系
维数和基的个数是线性代数中的重要概念。
在n维向量空间V 中，如果存在一组线性无关的向量{v1,v2,……,vn}，那么就称为V 的一组基，基的个数记作dim(V)。
同时，如果存在一组向量
{v1,v2,……,vm}，能够生成V，即V中的任何向量都能够表示成它们的线性组合，那么就称为V的一个生成组，生成组中向量的最大个数记作rank(V)。
显然，rank(V) ≤ dim(V)。
维数和基的个数之间的关系可以由一个简单的定理描述：任何有限维向量空间V中的每个基含有相同数量的向量。
这个定理告诉我们，无论选择哪个基，它们的个数都是相同的。
这个定理也可以用来证明另外一个重要的结论：任何有限维向量空间V的任意两个基中，都存在一种线性变换把一个基变换成另一个基。
这个结论被称为基变换定理。
总之，维数和基的个数是线性代数中不可分割的重要概念，它们之间有着紧密的联系和相互依存的关系，对于研究线性代数的各种理论和应用都具有重要意义。
- 1 -。
线性代数基和维数
定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无 关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果 能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是 的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一 组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任 一向量 必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.
基与维数的几种求法
基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。
(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。
那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。
如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。
基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。
解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。
基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。
⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。
⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。
证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。
方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。
例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。
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Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量空间.
称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过
渡矩阵(transition matrix).
由r = r(1, 2, …, r) r(P) r可得r(P) = r.
故|P| 0, 即P可逆.
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.8. 设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的 两组基, V 在这两组基下的坐标
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外,
A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成
L(A1, A2, A3, A4)的整一理pp组t 基.
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第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0,整即理pptx = Py, 进而y = P1x10.
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2,Байду номын сангаас
A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
第四章 n维列向量空间
§4.4 向量空间
§4.4 向量空间
一. 向量空间(vector space)的概念 1. n维实(列)向量的全体
Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xnR} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:
关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) 0; (4)
(1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0,
KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
关于数乘: (5) 1· =; (6) k(l) = (kl);
(7) (k+l) = k +l;
(8) k(+) = k +k.
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即
, V, kR, 有+V, kV,
closure conditions
(4) 1, 2, …, sRn,
s
L(1, 2, …, s) = { kii | 诸kiR}.
i=1
——由1, 2, …, s生成的向量空间 (generated/spanned by 1, …)或 {1, 2, …, s}的线性包(linear closure).
1, 2, …, s——生成元(generator).
零空间没有基, 规定dim{0} = 0.
例2. 求例1中的各向量整理空ppt 间的基与维数. 5
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.7. 1, 2, …, s的极大无关组是 L(1, 2, …, s)的基
dimL(1, …, s) = r(1, …, s).
特别地, A = (A1, A2, …, As),
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L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, 整A理4p)pt的一组基和维数.
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第四章 n维列向量空间
{k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
基下的坐标(coordinate).
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
四. 基变换与坐标变换
设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的两组基,
则存在rr矩阵P使
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P.
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第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension)
1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示.
r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V).
n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n;