线性代数彭玉芳第一章n维向量和线性方程组 (2)
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
线性代数Ⅰ教学大纲
《线性代数Ⅰ》教学大纲英文课程名称: Linear Algebra Ⅰ课程编号：1131302, 1131402总学时： 48 （理论课学时：48）总学分：3先修课程：初等代数适用专业：经管、政法、信息类各专业开课单位：数理学院统计学教研室执笔人：张秀丽审校人：窦方军一、课程教学内容第一章行列式第一节二阶与三阶行列式二阶行列式；三阶行列式。
第二节全排列及其逆序数全排列；逆序数三、；奇偶排列。
第三节n阶行列式的定义n阶行列式；上、下三角行列式。
第四节对换对换的定义与性质；n阶行列式的其它定义形式。
第五节行列式的性质行列式的性质；利用性质计算行列式。
第六节行列式按行（列）展开余子式、代数余子式；行列式按行（列）展开定理；范得蒙行列式。
第七节克拉默法则克拉默法则的内容与证明；克拉默法则的推论与应用。
第二章矩阵及其运算第一节矩阵矩阵的概念；几种常见的矩阵。
第二节矩阵的运算矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式。
第三节逆矩阵逆矩阵的概念；矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的求法与性质。
第四节矩阵分块法分块矩阵的概念；分块矩阵的运算。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换矩阵的初等变换；矩阵等价；行阶梯形矩阵及行最简矩阵。
第二节初等矩阵初等矩阵的概念；初等矩阵的性质；用矩阵的初等变换求逆矩阵。
第三节矩阵的秩矩阵秩的概念；用初等行变换求矩阵的秩。
第四节线性方程组的解齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；用矩阵的初等行变换求解齐次线性方程组。
第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合向量组的线性组合；向量组的线性组合的性质与判别。
第二节向量组的线性相关性向量组的线性相关与线性无关。
向量组线性相关的性质第三节向量组的秩向量组秩的概念；极大线性无关组；向量组的秩与矩阵秩的关系。
第四节线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的性质；齐次线性方程组解空间；齐次线性方程组的基础解系及求法；非齐次线性方程组解的结构。
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
工程数学线性代数第六版第一章
法3： (i1 , i2 ,, in )
数 i 前面比 i 大的数的个数
n
n
数 in1 前面比 in1 大的数的个数
数 i 前面比 i 大的数的个数
2
2
例1： 求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。
解：（法1） m1 3, m2 1, m3 0, m4 1, m5 0
(32514) 3 1 1 5
（法2） 前 后
(32514) 2 1 2 0 0 5
（法3） 后 前
(32514) 1 3 0 1 0 5
例2： 求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。 9
考虑，在 1，2，3 的全排列中
有 3 个偶排列： 有 3 个奇排列：
123，231，312 132，213，321
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国， 当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数 学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至 今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的 一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法） 则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻变换，再证一般对换。
定理2： n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占 一半，各为 n! 个。 2
a a a 其任一项可写成： 1 j1 2 j2 3 j3
线性代数第-章1.4PPT课件
向量空间的性质
总结词
向量空间具有一些重要的性质，如加法的结合律、交换律和分配律，数乘的结合律和分配律等。
详细描述
向量空间的加法满足结合律和交换律，即对任意向量u、v、w∈V，有u+(v+w)=(u+v)+w和u+v=v+u；数乘也 满足结合律和分配律，即对任意标量k、l∈F和任意向量u∈V，有k(l(u))=(kl)(u)和k(u+v)=ku+kv。
线性组合的应用
向量表示
线性组合可以用来表示向量，使得向量的运算更加简洁明了。
线性方程组
线性组合可以用来求解线性方程组，通过将方程组中的未知数表示 为已知向量的线性组合，简化方程组的求解过程。
向量空间
线性组合是向量空间中向量运算的基本形式之一，可以用来研究向 量空间的性质和结构。
04
向量的线性相关性
中任意向量可以由这组基线性表示。
基的个数
02 一个向量空间的一组基的个数是有限的，且等于该向
量空间的维数。
基的特性
03
基中的向量是线性无关的，且可以作为该向量空间的
坐标系。
基的性质
唯一性
一个向量空间的一组基是唯一的，即如果存在另一组基也可 以表示向量空间中的任意向量，则这两组基之间存在一一对 应的关系。
05
向量组的秩
秩的定义
01
秩的定义
向量组的秩是指该向量组构成的 矩阵的秩，即该矩阵的最高阶非 零子式的阶数。
02
03
秩的符号表示
秩的性质
用符号“秩”表示，常用大写英 文字母表示，如A的秩记作r(A) 。
向量组的秩是该向量组线性无关 的向量的个数，与向量组的维数 有关。
线性代数教学大纲
《线性代数》课程目录Linear Algebra课程编号：学时：36课程性质：必修选课对象：理工类各专业，经济管理学类各专业先修课程：高中数学内容提要：第一章的内容以行列式为中心，介绍行列式的概念、性质与计算及克莱默法则求解线性方程组的方法。
第二章介绍了矩阵这一十分有用的工具，讨论了矩阵的运算、初等变换及矩阵的相关性质。
第三章以矩阵为工具，进一步讨论了线性方程组的求解及解的结构。
第四章介绍了矩阵的特征值理论。
第五章介绍了二次型理论。
建议选用教材：《线性代数》第二版，彭玉芳尹福源沈亦一编，高教出版社，1999年主要参考书：《线性代数》第三版，同济大学数学教研室编，高教出版社， 1999 年《线性代数习题集》上海财经大学应用数学系编，上海财大出版社，2004 年《线性代数》居余马等编，清华大学出版社， 1995 年《线性代数解题指导》王中良编，北京大学出版社，2004年《线性代数》课程教学大纲一、课程的目的和任务《线性代数》是一门基础理论课，由于线性问题广泛存在于经济科学、管理科学及技术科学的各个领域，特别是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题，因此课程所介绍的方法广泛地应用于这个学科，这就要求工科学生必须具备有关的基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。
通过这门课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和必要的基本运算技能，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力以及解题的技能与技巧，同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练，从而为学生学习后续课程及进一步提高打下必要的数学基础。
二、课程基本要求《线性代数》是高等学校数学教学的重要组成部分，是现代工程科学和经济管理中必备的数学基本理论和基本知识，是进一步学习其它数学分支的基础课程。
要求学生能掌握线性代数中行列式、向量空间、矩阵、线性方程组、二次型的基本理论，学会解线性方程组。
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例1 计算行列式 解
D 1 3
1 1
按对角线法则，有
D 2 1 (2) (3) 1 3 111
11 3 2 11 (3) 1 (2) 23
补充例2 计算行列式
1
2 -4
D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
T
a 32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a 31
D=D
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
j 备注：交换第 i行（列）和第 行（列）， 记作 ri rj (ci . c j )
作业：11页,习题一1题（4）（6）（8）（10)
二、行列式的性质
记 D
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a n1 a n 2
a11
T
a21 an1 a22 an 2 a2 n ann
a12 ,D a1n ann
T 行列式 D称为 行列式 的 D 转置行列式.
小结：三阶行列式
三阶行列式的计算
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21 a31 a12 a22 a32
( ) ( ) ( ) a13 a11 a23 a21 a12 a22
a33 a31 a32 () () ()
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 2.二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 a11 a12 D 若令 a21 a22 (方程组的系数行列式) b1 b2 a12 a22 a11 a21 b1 b2
D1 x 1 D 则上述二元线性方程组的解可表示为 D2 x2 D
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个数 分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
a11 (ka22 )a33 a12 (ka23 )a31 a13 ( ka21 )a32 a13 (ka22 )a31 a12 (ka21 )a33 a11 (ka23 )a32
x 2 5 x 6,
由 x2 5 x 6 0 得
x 2 或 x 3.
练习：计算行列式
2 1 3 2 4 3
0 1
1 1
0 1 1 a
(1) 5 2 1
(2) 1 1 a
x1 (3) x2 x3
y1 1 y2 1 y3 1
1 cos 1 sin 1 (4) 1 sin 1 cos 1 1 1 1
性质5 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍 数 ，等于用 数 乘以此行列式 . k k 备注：第 i行（列）乘以 k ，记作 验证
ri k (c .i k )
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a11 D1 ka21 a31
例2
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 k a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
kD
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第 i行（列）提出公因子 ， k 记作 ri k (c.i k )
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
D1
D2
(二)、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式 为零．
验证 我们以4阶行列式为例.
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34 ka11 ka12 ka13 ka14
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
D2 21 x2 3 D 7
练习：1.计算
(1)
a 1
1 a
(2)
sin cos
cos sin
2.解方程组
x 2 y 2 (1) x 3y 0
3 x1 6 x2 4 (2) 2 x1 3 xt( 若记 D det(aij ), D ， 则 bij ) .
T
bij a ji
T . D D
性质1 行列式与它的转置行列式相等,即
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 即D DT
证明 若记 D det(aij ), DT ， 则 bij ) det(
bij aij i , j 1, 2,, n
根据行列式的定义，有
DT
p1 p2 pn
(1)t ( p1 p2 pn ) b1 p1 b2 p2 bnpn
p1 p2 pn
(1)t ( p1 p2 pn ) a p1 1a p2 2 a pnn
D
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成 立的对列也同样成立.
1 7 5
验证
1 7 5 3 5 8 196 6 6 2
6 6 2 196 3 5 8 1 7 5
1 7 5
于是
6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2
性质3 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
互换相同的两行，有
，所以
.
D D
D0
性质4 如果行列式有一行（列）全为零，则此行列式为零
主对角线
a11
a12
副对角线
a21 a22
a11a22 a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
例1 计算行列式
3 2 (1) (3) (4) 5 2 2 5 4
(2) a 1 1 a a ( a ) 11 a 2 1
以三阶行列式为例验证：
a11
a12
D = a 21 a 22 a 31 a 32
a 23 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a13
a11 D T = a12 a13
a 21 a 22 a 23
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
也可以将前两列写在后面，然后按 照实线乘积取正，虚线乘积取负的和。
( ) ( ) ( ) a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a11 a23 a21 a12 a22
a33 a31 a32 () () ()
2 3
1 1 -2
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
补充例3 求解方程
1 1 2 3 4 9