平行线中的基本图形、辅助线做法
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
平行线中的辅助线作法
平行线中的辅助线作法教学目标一、知识与能力1、学生通过预习回顾平行线的性质，培养学生课前预习的数学习惯；2、利用平行线的性质和判定解题，培养学生的符号语言表达能力；3、通过添加辅助线构造基本图形，让学生具有初步的逻辑推理能力，发展几何直观二、过程与方法1、让学生通过动手操作，进一步巩固基本图形；2、在添加辅助线的过程中，让学生体会化未知为已知的数学解题思想。
三、情感态度与价值观1、在预习反馈中，让学生自主交流，培养学生在数学学习中的自信；2、在数学活动中，让学生学会与他人合作交流，获得成功的体验；2、让学生体验化未知为已知的思维方法，形成严谨求实的科学态度。
教学重点和难点一、教学重点1、回顾平行线中的基本图形；2、合理添加辅助线构造基本图形；3、学生逻辑推理能力的培养。
二、教学难点1、文字语言、符号语言、图形语言之间的转换；2、添加辅助线构造基本图形，化未知为已知数学思想的培养。
教学过程『自主预习』1.如图，AB// CD / B=61°，Z D=35，贝y/1= _____ ，/ A=__________ 。
2.如图，EF// ON OE 平分/ MON/ FEO=28 , 则/ MFE= 。
3.如图，直线a// b,点B在直线b上，且AB!BC /仁55°,则/ 2=基本图：两条平行线被第二条直线所截Ab B『合作探究』、含一个拐点的平行线【探究一】如图，AB// EF, CDLEF, / BAC=50 ,贝卩/ACD=【探究二】如图，已知AB// DE / ABC=70 , / CDE=140 ,则/ BCD=二、含两个拐点的平行线【探究三】如图，AB// CD / EFM/ NMF/仁130°,则/ 2=【探究四】如图，直线a// b,Z A=125,/ B=85°,则/ 1+Z2= ______________归纳：构造两条平行线被第二条直线所截的基本图解决问题『拓展升华』【思考题】如图①，已知AB//CD EOF是直线AB CD间的一条折线(1)试证明：/ 0二/ BEO# DFO(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则/ BEO / O/ P、/ PFC之间会满足怎样的数量关系？证明你的结论。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题是数学中的一种重要题型，需要通过逻辑推理和几何知识来证明给定的几何关系。
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用的策略，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线基本方法。
1. 平行辅助线法当我们需要证明两条线段平行时，可以在图形中引入一条辅助线来构建平行关系。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在平行关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条辅助线。
3. 利用平行线的性质进行推理，证明所需的平行关系。
2. 相等辅助线法当我们需要证明两个线段相等时，可以通过引入一条相等的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有相等关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条相等的辅助线。
3. 利用等边、等角等性质进行推理，证明所需的相等关系。
3. 垂直辅助线法当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条垂直的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有垂直关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条垂直的辅助线。
3. 利用垂直线的性质进行推理，证明所需的垂直关系。
4. 同位角辅助线法当我们需要证明两条直线的同位角相等时，可以通过引入同位角的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在同位角的直线。
2. 在相应的位置引入同位角的辅助线。
3. 利用同位角的性质进行推理，证明所需的同位角相等关系。
5. 其他辅助线方法除了上述介绍的常用辅助线方法外，还可以根据具体的几何证明题目选择其他辅助线的方法。
例如，可以利用中位线、角平分线、内切圆、外接圆等辅助线，根据题目要求灵活运用。
综上所述，几何证明题辅助线基本方法包括平行辅助线法、相等辅助线法、垂直辅助线法、同位角辅助线法等。
通过合理引入辅助线，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程，提高解题效率。
在实际解题中，我们需要综合运用不同的辅助线方法，根据题目要求灵活选择适合的策略。
第3讲 平行线辅助线(学生版)
第3讲平行线辅助线一、知识回顾：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．一、加截线(连接两点或延长线段)1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．(第1题)【解析】：∠BFE＝∠FEC.理由一：连接BC，如图①.∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC＝∠ECB.∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．(第1题)理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.∵AB∥CD，∴AG∥CD.∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠G.∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．二、过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．(第2题)【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝25°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.(第2题)方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.∵AB∥PM，∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°. 方法三：连接BC，略。
平行线中作辅助线的方法
A
B
解： ∠AEC =∠A+∠C 理由：过E点作EF∥AB
F E
∴∠A +∠AEF=180°
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠C +∠CEF=180°
∴∠A +∠AEF+∠C +∠CEF=360°
∵∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°
∴ ∠AEC=∠A+∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
G
D
∴∠1=∠HEF=50°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠2+∠FEG=180°
∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF
∴FEG=70°
=60°
典例精讲
A
H
13
B
如图,AB∥CD,∠1=50°,
E
∠2=110°则∠3=___6_0_°_____. C 2
方法二：延长HF与CD交于点F.
G
FD
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD ∴∠C = ∠CEF
F E
∵ ∠AEC= ∠AEF－∠CEF
∴ ∠AEC= ∠A －∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
∠C的关系，并说明理由。
A
B
解： ∠AEC =∠C －∠A
理由：过E点作EF∥AB
∴∠A = ∠AEF
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
A F
M C
B N
E D
典例精讲
如图：AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证： ∠BFE=∠FEC 。
A
B
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法平行线中常见的添辅助线的方法:（1）在平行线内(或外)一点作直线的平行线；（2）加截线（连接两点、延长线段相交）例:探究:（1）、如图1，若AB//CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗？（2）、反之,若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明.（3）、若将点E移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。
（4）、若将点E移至图3所示位置，情况又如何？（5）、若将点E移至图4所示位置，情况又如何?（6）、在图5中，AB//CD，∠B+∠D+∠F与∠E+∠G又有何关系?图1 图2 图3图4 图5平行线拓展延伸题一、填空题1、如图，已知AB ∥CD ，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。
2、如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
4、如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= 。
6、如图,已知AB ∥EF ，∠BAC=p ，∠ACD=x ，∠CDE=y ，∠DEF=q,用p 、q 、y 来表示x 得 。
二、选择题 如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°—α，∠APC=45°+α,∠PCD=30°—α，则α=（ )A 、10°B 、15°C 、20°D 、30°图1 图2 图32、如图2，CD AB //,且 25=∠A ， 45=∠C ,则E ∠的度数是( ） A 。
60 B. 70 C. 110 D. 803、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为( ）A 、α+β+γ=1800B 、α—β+γ=1800C 、α+β—γ=1800D 、α+β+γ=3600 5、如图,已知AB ∥EF ，∠C=90o ，则α、β和г的关系是（ )l 1l 212 3 AB DC1 23 EDCBAA BPCDA BC DE αβγA、β=α+гB、α+β+г=180oC、α+β—г=180oD、β+г—α=180o三、解答题 1如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。
初中数学平行线添加辅助线完全讲解
初学添加辅助线教学目的：使学生掌握添加辅助线的方法教学重点与难点：如何添加辅助线教学过程：说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；1. 缺角补角在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。
2. 缺线补线如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。
例题解析：例1. 如图所示，AB//CD ，∠A=∠C 。
求证；AD//BC 。
C小结：延长AD ，CD 是为了更好地认识和使用图形——三线八角，但没有决定性作用，可以不作为添加辅助线的必要部分。
本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。
例2. 如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED ，求证：AB//CD 。
A BEC D 【模拟试题】（答题时间：15分钟）1. 如图所示，已知AB//CD ，求证：∠+∠=∠BD B E DA BEC D2. 如图所示，已知M N l A B C //，°，°∠=∠=13040α，求证：A BM N ⊥。
AM F NB αl DC3. 如图所示，AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于G 、H ，GK 平分∠H G B ，HK 平分∠G H D 。
求证：G KH K⊥。
EA G BKC H DF。
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l 1
l 2
l 3 3
1
2
P
（3题）
相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律
姓名：
图形一：
推广
A
B
E
D
C
F
G
J H
I
三种辅助线得画法：结论就是： 辅助 线做 法
A
B
E
D
C
A
B
E
D
C
A
B
E
D
C
写法
如右下图，l ∥m ，∠1＝115º，∠2＝ 95º，则∠3＝
第1题 第2题
2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，
∠DBC
＝20°，则∠CAE 得度数就是
3、如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则∠3=
4、如图，AB ∥CD ，∠ABF=3
2∠ABE ，∠CDF=3
2∠CDE ，求∠E ∶∠F 得值。
C
D F B
A E
图形二：
A
B
E
D
C
A
B
C
D E
三种辅助线得画法：结论就是：
辅助
线做
法
A B
E
D
C
A B
E
D
C
A B
E
D
C
写法
图形三：结论就是：
L
F
A B
E
D
C
I J
K
H
G
Q R
S
T
U
M V
N
O P
对应练习：1、如左下图，直线AB∥CD，∠A＝70︒，∠C＝40︒，则∠E=
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：A B∥EF、
翻折问题
1、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，求∠BOD得度数。
A
C
B
D
E
第1题图
2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′得位置．若∠EFB ＝65°，求∠AED′得度数。
3、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150
∠=°，则∠BEF得度数就是多少
4、一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,求∠DP A′得度数。
同位角、内错角、同旁内角角平分线得规律
1、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，可以得出结论为：
2、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，可以得出结论为：
3、如图，A B∥CD，∠BAC得平分线与∠ACD得平分线交于点E，可以得出结论为：。