09三角函数在单位圆的表示方法
单位圆上三角函数值的计算
单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。
在三角函数中，常常会涉及单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。
在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。
一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。
在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。
因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。
因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。
因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。
当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。
当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。
类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。
二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。
因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。
不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。
举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。
这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。
而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。
单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。
正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。
余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。
而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。
例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。
例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
单位圆中三角函数值规律
单位圆中三角函数值规律引言三角函数是数学中常见的一类函数，其中最常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在数学中，我们通常将这些函数与单位圆联系起来，以便更好地理解它们的性质和规律。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆，可以帮助我们直观地看到三角函数的几何意义。
本文将探讨单位圆中三角函数的值规律。
单位圆中的角度表示单位圆中的角度可以用弧度或者度数来表示。
在单位圆中，角度的起点为右侧的正x轴，顺时针方向为正方向。
我们通常以弧度来表示单位圆中的角度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度或者2π弧度。
正弦函数的计算方法正弦函数以sin(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的纵坐标即为sin(x)的值。
因此，可以通过单位圆上的点来计算正弦函数的值。
例如，当角度为30度或者π/6弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以sin(30°) = sin(π/6) = √3/2。
余弦函数的计算方法余弦函数以cos(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的横坐标即为cos(x)的值。
与计算正弦函数类似，可以通过单位圆上的点来计算余弦函数的值。
例如，当角度为45度或者π/4弧度时，对应的点为(√2/2, √2/2)，所以cos(45°) = cos(π/4) = √2/2。
正切函数的计算方法正切函数以tan(x)表示，其中x为角度。
在单位圆中，角度为x的点的纵坐标除以横坐标即为tan(x)的值。
因此，可以通过单位圆上的点来计算正切函数的值。
例如，当角度为60度或者π/3弧度时，对应的点为(1/2, √3/2)，所以tan(60°) = tan(π/3) = √3。
常见角度对应的三角函数值下表列出了一些常见角度对应的三角函数值：角度 (度) 角度 (弧度) 正弦值余弦值正切值0 0 0 1 030 π/61/2 √3/2√3/345 π/4√2/2√2/2 160 π/3√3/21/2 √390 π/2 1 0 无穷大从表中可以看出，0度对应的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
用单位圆解三角函数不等式
用单位圆解三角函数不等式三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们与极坐标系统有着莫大的联系，不仅在几何中有着广泛的应用，在代数学和微积分学也有着重要的作用。
此外，三角函数也会出现在许多各种类型的不等式当中，而这些不等式的解法通常会涉及到单位圆的概念。
因此，本文主要探讨的便是对于三角函数不等式如何使用单位圆来解决，也就是说，如何将单位圆概念与三角函数不等式联系起来。
首先，我们先来看看单位圆的概念，单位圆也称为圆心，是指以原点为中心，半径为1的圆，单位圆上的点可以用(x,y)的坐标来表示，其中x和y都为实数并且满足关系式x^2+y^2＝1。
之后，我们来研究三角函数的关系，其中的角的余弦、正弦和正切也称为三角函数，它们有一些关于x和y的非线性关系，我们具体来看：1．余弦函数：y = cosx2．正弦函数：y = sinx3．正切函数：y = tanx这三个函数之间的关系是这样的：cosx＝sinx/tanx我们知道，圆的半径满足关系式r^2＝x^2+y^2，当我们将这个公式代入余弦函数中，可以得出：r^2＝cos^2x＋sinx^2我们可以证明，当x=0时， r^2=1当x=π/2时， r^2=1所以，当我们让x的值从0变到π/2的时候，它总是在单位圆上面，也就是说，它的取值范围总是在-1到1之间，并且是满足三角函数的。
而三角函数也涉及到不等式，其中最常见的不等式为：|sin x |<a|cos x |<a|tan x |<a其中a可以是任意正数。
我们知道单位圆上的点满足 x^2+y^2＝1，且当x值从0到π/2时候，它的y也是在-11 之间。
因此，为了让三角函数不等式满足，我们只需要让a的取值满足a<1可。
我们可以将取值范围写为-1≤y≤1， -a＜y＜a，也就是说，只要y值在-aa 之间，就可以满足三角函数的不等式。
因此，我们可以看到，三角函数的不等式可以通过单位圆来解决，只要把圆心设置为原点，便可以确定半径为1单位圆，从而确定取值范围。
三角函数单位圆定义
三角函数单位圆定义单位圆是指半径为1的圆，它在数学中被广泛应用于三角函数的定义和性质的研究。
在一个笛卡尔坐标系中，单位圆的圆心位于原点(0,0)，并且半径为1。
由于半径为1，单位圆上的所有点到圆心的距离都是1。
单位圆可以用方程x^2 + y^2 = 1表示。
单位圆的定义直接导致了三角函数的定义。
三角函数是指根据一个角的大小，计算在单位圆上特定点的坐标。
在三角函数中，常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由sin、cos和tan来表示。
首先，我们来看正弦函数sin。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标就是sinθ的值。
也就是说，sinθ可以通过角度θ在单位圆上的y坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以sin0°=0。
当θ等于30度时，单位圆上的点位于正x轴与y轴的夹角为30度的位置上，其坐标为(0.866,0.5)，所以sin30°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的正弦函数值。
接下来，我们来看余弦函数cos。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的x坐标就是cosθ的值。
也就是说，cosθ可以通过角度θ在单位圆上的x坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以cos0°=1。
当θ等于60度时，单位圆上的点位于正x轴与负y轴的夹角为60度的位置上，其坐标为(0.5,-0.866)，所以cos60°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的余弦函数值。
最后，我们来看正切函数tan。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标除以x坐标得到的值就是tanθ的值。
也就是说，tanθ可以通过角度θ在单位圆上的点的坐标来求得。
例如，当θ等于45度时，单位圆上的点位于正x轴与正y轴的夹角为45度的位置上，其坐标为(0.707,0.707)，所以tan45°≈1。
三角函数圆圈
三角函数圆圈三角函数之圆在数学中，三角函数是研究角和三角形的函数，其中最基本的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学的各个分支中起着非常重要的作用，尤其在几何、物理和工程学中经常被使用。
三角函数与圆圈之间存在着密切的关系。
正弦函数和余弦函数可以被看作是一个圆上点在x轴和y轴上的投影，而正切函数则可以被看作是一个圆上点与x轴的切线斜率。
这种圆与三角函数的联系可追溯到几百年前的古代希腊数学家。
首先，我们需要知道一个重要的概念，那就是单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0,0)。
这个圆的方程是x^2 + y^2 = 1。
这个单位圆在数学中起到了非常重要的作用，因为它可以帮助我们理解三角函数的性质。
正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
在单位圆上，正弦函数的值可以通过一个圆上点的y坐标来表示。
例如，在点(π/6,1/2)处，正弦函数的值是1/2。
我们可以将这个点连接到坐标原点，形成一个直角三角形。
其中，直角边的长度等于点的y坐标，斜边的长度等于1（因为是单位圆），而邻边的长度则可以通过勾股定理计算得到。
这样，我们就可以计算出正弦函数的值。
余弦函数与正弦函数非常相似，只不过它的值是通过一个圆上点的x坐标来表示。
在同样的例子中，我们可以通过点(π/6,√3/2)来计算余弦函数的值。
同样地，我们可以将这个点连接到坐标原点，形成一个直角三角形。
这样，我们就可以计算出余弦函数的值。
正切函数也是一个周期函数，它的周期是π。
在单位圆上，正切函数的值可以通过斜边与直角边的比值来表示。
例如，在点(π/4,1)处，正切函数的值是1。
我们可以将这个点连接到坐标原点，形成一个直角三角形。
其中，直角边的长度等于点的y 坐标，斜边的长度等于点的x坐标，而邻边的长度则可以通过勾股定理计算得到。
这样，我们就可以计算出正切函数的值。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，还有很多其他的三角函数，如余割函数、正割函数和余切函数。
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
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09三角函数在单位圆的表示方法
1
在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。
三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示
已知三角函数值作出对应的角。
讲授与讨论相结合
三角函数在单位圆的表示方法
课本P14 图4-12
MP y y
r y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1
例 题 OM x x
r x ====1cos α
例 题
P20 第2 题
一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。
二、单位圆的定义
在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。
三、角α的正弦、余弦在单位上的表示
1．作图：（课本P14 图4-12 ）
此处略 …… …… ……… …… ……
设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，
简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x ,
当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x
若0<x OM 看作与x 轴反向 OM 具有负值x
2．MP y y r y ====1
sin α OM x x r x ====1
cos α 这就是说：角α的正弦等于它的终边和单位圆的交点的纵坐标，而它的余弦则等于交点的横坐标。
有向线段MP,OM,分别称作α角的正弦线,余弦线。
由图可知， -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1
即sin α与cos α的值域都是[-1,1]。
学生练习：P19习题4.3 第1题中的(1)(2)(3)
例1、作出角60 的正弦线、余弦线
学生练习：P20 第2题
例2、利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角
1︒ sin α=
21 2︒ sin α≥21 3︒ cos α=21(学生练习)
第二节课
四、角α的正切在单位圆上的表示
提问:x
y =αtan ,要使分母为1 ,即要使
x=1,如何选点? 首先观察角α是第一或第四象限角时的情况
设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，x 轴的正半轴与单位圆交于A 点, 过点A(1,0)作单位圆切线，与α角的终边交于T(x,y)。
AT OA
AT OM MP y x y =====αtan AT 正切线, 当角α是第二或第三象限角时的情况
设T(x,y)是角α的终边的反向延长线和过点A(1,0)作单位圆切线的交点,在角α的终边上取与点T(x,y)关于原点对称的点T 1(x 1,y 1)
因为x 1=-x, y 1=-y 所以AT OA
AT OM MP y x y x y ======11tan α T 1
这就是说角α的正切等于它的终边(或终边的反向延长线) 和过点A(1,0)作单位圆切线的交点的纵坐标.
把线段AT 叫做角α的正切线.
例3、利用单位圆寻找适合条件tan α=3
3的0︒到360︒的角 学生练习：做同步训练中的有关题目。
五、小结
强调黑体字。