浅谈单位圆在三角函数中的应用

浅谈单位圆在三角函数中的应用
单位圆在学习三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。

所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。

单位圆的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。

下面简单谈一下单位圆在三角函数教学中的应用。

1、利用单位圆定义任意角的三角函数：
如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 α的正弦为： sin α=y ，
α的余弦为： cos α=x ，
α的正切为： tan α=x y
(x ≠0)
用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。

2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号：
根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y 的符号，余弦的符号决定于横坐标x 的符号，正切是由纵坐标y 、横坐标x 的符号决定：同号为正，异号为负。

因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2：
3、利用单位圆的对称性研究诱导公式
借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式。

在直角坐标系的单位圆中，不难看出，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，它们和单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反。

单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出
诱导公式。

如图5，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角π+α的终边与单位圆的交点为P 2(－x,－y)，
推出诱导公式（二）：sin(π+α)=－sin α
cos(π+α)=－cos α
tan(π+α)= tan α
如图6，角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角－α的终边与单位圆的交点为P 2(x,－y)，
推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sin α
cos(－α)= cos α
tan(－α)=－tan α
如图7，角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角π－α的终边与单位圆的交点为P 2(－x, y)，
推出诱导公式（四）：sin(π－α)= sin α
cos(π－α)=－cos α
tan(π－α)=－tan α
如图8，角
2π
－α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称， 角
2π+α的终边与角2π
－α的终边关于y 轴对称， 由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)， 知角
2π
－α的终边与单位圆的交点为P 2(y ,x)， 角2π
+α的终边与单位圆的交点为P 3(－y ,x)，
推出诱导公式（五）：sin(
2π
－α)= cos α cos(
2π－α)= sin α 诱导公式（六）：sin(
2π+α)= cos α cos(2π
+α)=－sin α
4、利用单位圆中的有向线段表示三角函数值（三角函数线）：
三角函数线是三角函数的一种几何表示，在旧教材中，三角函数线通过“终边定义法”，引入单位圆，花了一节课的时间专门学习，内容详细，没有例题设置，需要用练习中的习题在堂上评讲。

而在新课程中，因为三角函数线的作用有限，三角函数线只是作为一种工具一代而过，目的是淡化这一概念，同时突出单
位圆的作用。

由于应用了“单位圆定义法”，三角函数线就变得很简单，是“数”与“形”的结合而已。

5、利用单位圆中的有向线段（三角函数线）作三角函数的图象：
如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。

6、利用单位圆讨论三角函数的性质.
看函数的性质首先看定义域，我们知道对于任何一个角可以任意的旋转运动，它的定义域是整个实数，由于三角函数定义是终边和单位圆交点的坐标，所以它的值域也是非常清楚的。

最值问题，对正弦函数来说在π/2处达到最大值，在3π/2处达到最小值。

周期性，周期性在有单位圆以后，也是非常明显的问题，要比函数图象好的多，所以周期性2π这个性质，也是可以通过单位圆看得非常清楚的。

除了周期性和最值以外，我们还可以看三角函数的符号。

因为正弦函数是纵坐标，纵坐标在x轴上方是正，下面是负的。

横坐标cos在y轴这边是正，那边是负。

再者单调区间，正弦函数随y值的增大而增大，余弦函数随x值的增大而增大。

再看一个α和-α，不管是α角在哪，-α和α的终边是关于x轴对称的。

也就是它们的横坐标相等、纵坐标相反。

所以奇偶性，或者说对称性就很明显了。

如果这个再加上2kπ的话，这就是一个诱导公式。

所以函数的最基本的性质从单位圆里，都可以看得非常清楚。

而且可以看出诱导公式。

所以在我们研究三角函数性质的时候，除了传统的画出图象来研究以外，同时充分利用单位圆也是很有必要的。