三角函数单位圆的定义
三角函数的单位圆与弧度制的转换
三角函数的单位圆与弧度制的转换三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程等领域。
在学习三角函数时，我们需要了解单位圆和弧度制的概念，掌握它们之间的转换关系。
一、单位圆的概念与表示方法单位圆是以原点为中心，半径为1的圆，它在三角函数中起到了重要的作用。
单位圆可以表示三角函数中的正弦、余弦和正切函数，并且与弧度制的转换密切相关。
二、弧度制的概念与转换方法弧度制是一种角度的计量单位，与我们平时常用的度分秒制不同。
在弧度制中，一个完整的圆的角度等于2π弧度（或360°），所以π弧度相当于180°。
我们知道，圆的周长等于2πr，而单位圆的半径为1，所以单位圆的周长等于2π。
所以单位圆上的角度与弧度是一一对应的关系。
而在转化角度为弧度时，可以使用以下公式：弧度数 = 角度数× π / 180（或角度数× π / 200），其中180（或200）是角度制中的一个完整圆的角度。
三、正弦函数在单位圆上的表示正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它可以通过单位圆上的点的纵坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是sinθ的定义在单位圆上的表示。
四、余弦函数在单位圆上的表示余弦函数与正弦函数类似，也可以通过单位圆上的点的横坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是cosθ的定义在单位圆上的表示。
五、正切函数在单位圆上的表示正切函数是另一个重要的三角函数，它可以通过单位圆上的点的纵坐标除以横坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是tanθ的定义在单位圆上的表示。
六、单位圆与弧度制的转换我们已经了解了单位圆和弧度制的概念，现在我们来看一下它们之间的转换关系。
对于任意一个角度θ，它在单位圆上对应的弧长等于θ的弧度数。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。
而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。
单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。
正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。
余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。
而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。
例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。
例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
用单位圆定义三角函数
用单位圆定义三角函数
三角函数是数学中一类重要的函数，它们描述着特定的物理关系。
在日常的学习生活中，我们经常会用到三角函数，那么它们的定义到底是怎么样的呢？
以一个单位圆为例，假定以原点O为圆心，半径为1，横轴、纵轴分别为圆心和圆上任一点之间的连线，通过圆心指向任意一点记为X1（也就是圆心处于第一象限），然后通过圆心指向另一点X2，X1、X2两点连线连接称为弧度。
由此得出圆心到点X1到点X2两点连线构成的角度称为角θ，我们把X1、X2两点构成的角度ω称为三角函数之弧度。
实际上，三角函数的定义就是以π（π的介绍请参考文末）为2π度的圆的一个角度，比如当弧度ω等于π时，它仍然是一个2π度的圆，即π弧度就对应着2π度,ω=1时就对应着180°，ω = 0.5时就对应着90°，ω = 0.25时就对应着45°，那么与每一个角度ω相对应的函数，也就成为三角函数。
举个例子，当ω=π时，它的三角函数Sin ω的值就是-1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。
当ω=π/2时，它的Sin ω的值就是1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。
其他的值可以通过计算得出。
总的来说，三角函数是从一个单位圆中定义出来的，它是以一个弧度ω作为自变量，计算出来的一系列函数数值进行映射，最终得出sin ω、cos ω和tan ω值，与角度ω成一定比例。
通过三角函数，我们可以用精确的数值计算出特定的物理关系，这对学习生活的应用非常重要。
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
三角函数单位圆定义
三角函数单位圆定义单位圆是指半径为1的圆，它在数学中被广泛应用于三角函数的定义和性质的研究。
在一个笛卡尔坐标系中，单位圆的圆心位于原点(0,0)，并且半径为1。
由于半径为1，单位圆上的所有点到圆心的距离都是1。
单位圆可以用方程x^2 + y^2 = 1表示。
单位圆的定义直接导致了三角函数的定义。
三角函数是指根据一个角的大小，计算在单位圆上特定点的坐标。
在三角函数中，常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由sin、cos和tan来表示。
首先，我们来看正弦函数sin。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标就是sinθ的值。
也就是说，sinθ可以通过角度θ在单位圆上的y坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以sin0°=0。
当θ等于30度时，单位圆上的点位于正x轴与y轴的夹角为30度的位置上，其坐标为(0.866,0.5)，所以sin30°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的正弦函数值。
接下来，我们来看余弦函数cos。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的x坐标就是cosθ的值。
也就是说，cosθ可以通过角度θ在单位圆上的x坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以cos0°=1。
当θ等于60度时，单位圆上的点位于正x轴与负y轴的夹角为60度的位置上，其坐标为(0.5,-0.866)，所以cos60°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的余弦函数值。
最后，我们来看正切函数tan。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标除以x坐标得到的值就是tanθ的值。
也就是说，tanθ可以通过角度θ在单位圆上的点的坐标来求得。
例如，当θ等于45度时，单位圆上的点位于正x轴与正y轴的夹角为45度的位置上，其坐标为(0.707,0.707)，所以tan45°≈1。
三角函数必背公式(高一版)
1三角函数1、特殊三角函数值：2、角α的弧度数公式：α=lr ；弧长：=l |α|·r =180r n π；S 扇=211||22lr r α== 3602r n π；3、三角函数的定义：①单位圆定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边与单位圆的交点，那么=αsin y，=αcos x，=αtan yx②一般定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点，那么=αsin y r，=αcos x r，=αtan y x，（其中r=22y x +）4、三角函数的正负性：一全正；二正弦；三正切；四余弦；5、同角三角函数的基本关系式：（可知一求二）（1）平方关系：22sin cos 1x x +=（2）商数关系：sin tan cos x x x=6．诱导公式：奇变偶不变；符号看象限.sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.tan(－α)＝－tan α.21,1]π(求三角函数对称轴、对称中心、单调区间：脱衣服；求三角值域问题：穿衣服。
28.和差公式：sin(α＋β)＝s in αcos β＋cos αsin β;sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βcos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βtan(α＋β)＝；tan(α－β)＝.9、二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2αtan 2α＝.10、降次公式：cos 2α＝；sin 2α＝；＝；tan 2α＝ αα2cos 12cos 1+-11、辅助角公式：a sin α＋b cos α＝(其中tan θ＝)注意：①使sin 系数为正；②a 与b 都取正。
12、正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 参数的求法：求A 看最值：A=2min -max ；求ω看周期：Tπω2=；求ϕ：代点；求B 看最值：B =2minmax +13、正弦函数y ＝sin x 的特殊5点坐标：） （0,0） （1,2π） （0,π） （1,23-π） （0,2π余弦函数y ＝cos x 的特殊5点坐标：） （1,0） （0,2π） （1,-π） （0,23π） （1,2π。
三角函数公式总结
三角函数公式总结三角函数是数学中常用的函数之一，它由三角形的边长比例定义，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。
下面是对这些三角函数的公式进行总结：1. 正弦函数（sin）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的纵坐标就是该角度的sin值。
(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：sin(π+θ) = - sinθ，sin(2π+θ) = sinθ，其中θ为任意实数。
2. 余弦函数（cos）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的横坐标就是该角度的cos值。
(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：cos(π+θ) = - cosθ，cos(2π+θ) = cosθ，其中θ为任意实数。
3. 正切函数（tan）：(1) 定义：tanθ = sinθ / cosθ(2) 周期性：tan(π+θ) = tanθ，tan(2π+θ) = tanθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：tan(0) = 0，tan(π/4) = 1，tan(π/2) = 无穷大（不存在）。
4. 正割函数（sec）：(1) 定义：secθ = 1 / cosθ(2) 周期性：sec(π+θ) = secθ，sec(2π+θ) = secθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：sec(0) = 1，sec(π/2) = 无穷大（不存在）。
5. 余割函数（csc）：(1) 定义：cscθ = 1 / sinθ(2) 周期性：csc(π+θ) = - cscθ，csc(2π+θ) = cscθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：csc(π/2) = 1，csc(π) = 无穷大（不存在）。
6. 余角关系：(1) sin(π/2 - θ) = cosθ(2) cos(π/2 - θ) = sinθ(3) tan(π/2 - θ) = 1 / tanθ这些是最基本的三角函数公式，它们在数学和物理等领域中的应用非常广泛。
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
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§1．2．1 任意角的三角函数
第一课时任意角的三角函数的定义三角函数的定义域和函数值【学习目标、细解考纲】
1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2、从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。
【知识梳理、双基再现】
1、在直角坐标系中，叫做单位圆。
2、设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
⑴叫做α的正弦,记作 ,即
.
⑵叫做α的余弦,记作 ,即
.
⑶叫做α的正切,记作 ,即
.
当α=时, α的终边在y轴上,这时点P的横坐标等于 ,所以无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 . 所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量,以
为函数值的函数,我们将它们统称为 .由于与之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为的函数.
3、根据任意角的三角函数定义，先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再
将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。
=y sin α =y cos α
=y tan α
【小试身手、轻松过关】
4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ）
A ．－55
B ．－ 5
C ．552
D ．25
5、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A ．sin α
B ．cos α
C ．tan α
D ． tan 1
α
6、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ）
A ．25
B ．－25
C ．0
D ．与α的取值有关
7、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42
x ，则sin α的值为 （
）
A ．410
B ．46
C ．42
D ．－410
【基础训练、锋芒初显】
8、函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）
A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈
B ．])12(,22[ππ
π++k k ，Z k ∈
C ．])1(,2[ππ
π++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈
9、若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2
θ是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角 10、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在
（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．
12、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=m m α，则sin α+cos α=______． 13、已知角θ的终边在直线y = 3
3 x 上，则sin θ= ；θtan = ． 14、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
15、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=
的值域是 （ ） A ．{1} B ．{1，3} C ．{-1} D ．{-1，3}
【举一反三、能力拓展】
17、(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；
【名师小结、感悟反思】
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
§1．2．1 任意角的三角函数
第二课时 诱导公式一 三角函数线
【学习目标、细解考纲】
灵活利用利用公式一；掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
【知识梳理、双基再现】
1、由三角函数的定义： 的角的同一三角函数的值 。
由此得诱导公式一
，
，
，其中。
2、叫做有向线段。
3、
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第象限角时）或其反向延长线（当α为第象限角时）相交于点T。
根据三角函数的定义：
sinα＝y＝；
cosα＝x＝；
y= 。
tanα＝
x
【小试身手、轻松过关】
4、=
2205sin （ ） A ．21 B ．21- C ．22 D ．2
2- 5、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-341cos 647tan ππ的值为 （ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．6
3 6、若π
4 <θ < π2
，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ
C ． tan θ>sin θ>cos θ
D ．sin θ>tan θ>cos θ
7、sin （－1770°）·cos1500°＋cos （－690°）·sin780°＋tan405°= ．
【基础训练、锋芒初显】
8、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ）
A ．π4
B ．3π4
C ．7π4
D ．3π4 或 7π4
9、若0<α<2π，且sin α<2
3 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ） A ．（－π３ ，π３ ） B ．（0，π３ ） C ．（5π３ ，2π） D ．（0，π３ ）∪（5π３
，2π） 10、依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin 4π5 ． 其中判断正确的有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11、4
25sin 2)311tan()415(cos 42πππ+--
的值为 （ ） A ．1
B ．13-
C ．12-
D ．()122- 12、化简：2222222425131117cos 3tan sin 9336233
cos 4
m n n m ππππ+--= ． 13、若－2π３
≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ． 14、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ．
15、试作出角α=
7π6
正弦线、余弦线、正切线．
【举一反三、能力拓展】
16、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．
⑴ sin x ≥22；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．
【名师小结、感悟反思】
1、用三角函数线可以解三角不等式、求函数定义域以及比较三角函数值的大小, 三角函数线也是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具；
2、熟记特殊角的三角函数值。