第120126号利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数,余弦函数的性质
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单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课件
三角恒等式与单位圆
三角恒等式的定 义
三角恒等式是三角函数之间的一些基本关系式，如sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
三角恒等式与单位圆的关系
三角恒等式可以通过单位圆上的三角函数值来证明。例如，在单位圆上，任意 一点的x坐标可以视为cos(x)，y坐标可以视为sin(x)。因此，点(cos(x), sin(x)) 必定位于单位圆上，满足sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
余弦函数的应用
余弦函数在数学、物理、工程等领域 有广泛应用。
在数学中，余弦函数用于解决三角问 题、级数展开等问题。在物理中，余 弦函数用于描述振动、波动等现象。 在工程中，余弦函数用于信号处理、 控制系统等领域。
04
单位圆与正弦函数余弦函数的关系
单位圆与正弦函数的关系
01
单位圆上正弦函数的定义
正弦函数的性 质
周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(x) = -sin(x)。
单调性
在区间[0, π/2]和[3π/2, 2π]内， 正弦函数是单调递增的；在区 间[π/2, 3π/2]内，正弦函数是 单调递减的。
有界性
正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
中心对称性
单位圆关于原点对称，即任意一点 P(x,y)在单位圆上，则其关于原点的对 称点(-x,-y)也在单位圆上。
旋转不变性
均匀性
单位圆上的各点密度相同，即单位长 度内包含的点数相同。
单位圆在旋转过程中形状和大小保持 不变。
单位圆的应用
三角函数定义
利用单位圆的性质，可以定义正弦函数和余 弦函数。在单位圆上，正弦函数表示的是点 到原点的距离与半径的比值，余弦函数表示 的是相邻的半径与连线之间的夹角。
第120126号利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数,余弦函数的性质
复习回顾: l
r r （其中 l是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）
特别地, 当r =1时， l
此时的圆称为单位圆，
这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。
设
类比提问：
置 疑
问
能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢？
， 探
索
总
结
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
•教材分析 •学情分析 •教学目标 •教法分析与学法指导 •教学过程设计
·三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
质
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２（角 旋转一周），
正弦线（MP）、余弦线（OM）重复出现。
正弦函数、余弦函数是周期函数。
动 态
演
示
，
研
究
性
质
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤；
Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于x轴对称，余弦线重合
动
态
课 堂 小 节 ， 布 置 作 业
•过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
•情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件
(2)在单位圆中,若角α= ,求 sin α与 cos α的值;
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α.
2.任意角的正余弦函数值的计算方法
= , =
其中 =
2 + 2
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
值、余弦函数值.
y
N
M
x
抽象概括
设任意角终边上除原点外的另外一点 , ，则角的正弦函数值和余
弦函数值分别为：
= , =
其中 =
2 + 2
学以致用
例3.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=
解析因为 x=5,y=-12,
所以 r= 52 + (-12)2=13,
单位圆与任意角的正弦函数，余弦函数
2023.02.20情Fra bibliotek导入在初中我们是如何定义锐角的正弦值和余弦值？
P
O
M
MP
sin α
OP
OM
cos α
OP
新知探究
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角α的
《探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质》PPT课件(河北省县级优课)
三角函数线与正余弦函数
人教A版选修4 §1.4.2
探究 与 发现
Page 1
三角函数线与正余弦函数
教材及学情分析 教 学 目标 教学重难点 教学过程
板书设计
Page 2
一、教材及学情分析
三角函数是中学数学的重要 内容，而三角函数线的概念 及应用贯穿整个三角函数的 教学。
借助三角函数线能推导 三角函数公式，求解三 角不等式，探索三角函 数的图像和性质。
y
MO
o
xx
p
OM
o
xx
p
Page 8
2 互动探究，形成概念
Page 9
2
互动探究，形成概念
思考1：当角α的终边在第一象限时，角α的正余
弦与Ｐ的纵、横坐标y、x之间有何关系？正弦线
余弦线如何变化呢？
y
sin y y
1
cos
=
x 1
x
P N
oM x
思考2：当角α的终边在第二象限时呢？
思考3：当角α的终边在其他象限时呢？当角α的 终边从零度角旋转一圈呢？
小结：知识方面：1.三角函数线的概念及做法；
2.三角函数线的应用
思想方法方面： 1.数形结合 2.分类讨论
作业：1.教材P40 练习
2.思考题：利用三角函数线研究以下问题
已知 （0， ），试比较，sin , tan的大小
2
Page 17
五、板书设计
一、复习引入 （5分钟）
二、探究知识 生成
课题
（10分钟） 学生板演
Page 10
互动探究，形成概念
由问题１、２、3你能重新画出角α的正 余弦函数的图象吗？你能重新理解正余 弦函数的周期性、奇偶性与单调性吗？ 说说看。
人教A版选修4 §1.4.2
探究 与 发现
Page 1
三角函数线与正余弦函数
教材及学情分析 教 学 目标 教学重难点 教学过程
板书设计
Page 2
一、教材及学情分析
三角函数是中学数学的重要 内容，而三角函数线的概念 及应用贯穿整个三角函数的 教学。
借助三角函数线能推导 三角函数公式，求解三 角不等式，探索三角函 数的图像和性质。
y
MO
o
xx
p
OM
o
xx
p
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2 互动探究，形成概念
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2
互动探究，形成概念
思考1：当角α的终边在第一象限时，角α的正余
弦与Ｐ的纵、横坐标y、x之间有何关系？正弦线
余弦线如何变化呢？
y
sin y y
1
cos
=
x 1
x
P N
oM x
思考2：当角α的终边在第二象限时呢？
思考3：当角α的终边在其他象限时呢？当角α的 终边从零度角旋转一圈呢？
小结：知识方面：1.三角函数线的概念及做法；
2.三角函数线的应用
思想方法方面： 1.数形结合 2.分类讨论
作业：1.教材P40 练习
2.思考题：利用三角函数线研究以下问题
已知 （0， ），试比较，sin , tan的大小
2
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五、板书设计
一、复习引入 （5分钟）
二、探究知识 生成
课题
（10分钟） 学生板演
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互动探究，形成概念
由问题１、２、3你能重新画出角α的正 余弦函数的图象吗？你能重新理解正余 弦函数的周期性、奇偶性与单调性吗？ 说说看。
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件
长公式和扇形的面积公式的应用，提
升数学运算素养.
胡琪老师制作
3
当 =
11π 3
=
6
2
2π
1
=.
3
2
值域
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
【解析】(1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos
x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值
时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的
弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k)=cos a，
a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每
增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均
不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均
是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k均是它们的周
期，最小正周期为2π.
周期性
π
例 5．若函数 f(x)是以2为周期的周期函数，
2k
+ ,
∈
分析：这两个函数的虽然含有
正余弦函数，但受分式和根式
的影响，正余弦函数的函数值
有限制，从而导致定义域不再
是R，这要结合单位圆来解。
单位圆上找到余弦值为二分之
α
一的位置
取个特殊角，比
如0试试
余弦值是1，满足
不等式
环节三
值域
值域
π
x＝2kπ＋2(k∈Z)
当___________________时，正弦
数y＝cosx取得最小值______.
-1
升数学运算素养.
胡琪老师制作
3
当 =
11π 3
=
6
2
2π
1
=.
3
2
值域
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
【解析】(1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos
x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值
时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的
弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k)=cos a，
a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每
增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均
不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均
是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k均是它们的周
期，最小正周期为2π.
周期性
π
例 5．若函数 f(x)是以2为周期的周期函数，
2k
+ ,
∈
分析：这两个函数的虽然含有
正余弦函数，但受分式和根式
的影响，正余弦函数的函数值
有限制，从而导致定义域不再
是R，这要结合单位圆来解。
单位圆上找到余弦值为二分之
α
一的位置
取个特殊角，比
如0试试
余弦值是1，满足
不等式
环节三
值域
值域
π
x＝2kπ＋2(k∈Z)
当___________________时，正弦
数y＝cosx取得最小值______.
-1
探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数余弦函数的性质
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,si正n 弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到? 直?3 角查坐表标y系?内s，in从?3 而? 确0.定86对60应的点 (x,sinx).
y
描点
(
?
3
,0 .8660
)
1-
y
P
0
-?
2
-?
- 3?
与x轴的交点
-1
o
-
??
?
2
63
2? 3
5? ?
6
7?
6
4?
3
3? 2
5? 3
11? 6
2?
x
(
?
2
,0)
(32? ,0)
图象的最低点 (? ,?1)
-1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
各单位长度而得到．
请单击：返回
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
P1
p
/ 1
-
-
-y
-
o1
M-1 1A
o
? 6
?
3
? 2
2? 3
5?
?
6
7?
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6
3
3?
5?
11?
2? x
2
3
6
-1 -
余弦函数 y ? cos x, x? ?0,2? ?的图象
y
1-
-
-o1
单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件 ppt课件
ppt课件
12
①角(弧度数) 一一对应 实数. ②对于每一个确定的角x，其终边位置是唯一确定的，与单位 圆的交点P(u，v)也是唯一确定的，因此角x的正弦(或余弦)函 数值是唯一确定的.
ppt课件
13
(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是 一样的.锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三 角函数是锐角三角函数的推广.
ppt课件
14
2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明 (1)根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象 限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐 标的正负确定余弦函数的符号，纵坐标的正负确定正弦函数的 符号. (2)判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断.
ppt课件
15
数值.
ppt课件
18
【解题探究】1.题(1)中 a 2 (－的1值)2是多少?
2
2.题(2)中角α是第几象限角？
【探究提示】1. a2 (－1)2 1.
2
2.因为点P(－2,－4)在第三象限，所以角α的终边落在第三象
限，即角α是第三象限角.
ppt课件
19
【自主解答】(1)选D.因为 故cos α= 3 .
所以cos 4＜0，sin 4＜0.
所以sin 4·cos 4＞0. ppt课件
34
【补偿训练】sin(－140°)cos 740°的值( )
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不确定
【解析】选C.－140°是第三象限角，所以sin(－140°)＜0，
740°=2×360°+20°，所以740°是第一象限角，所以
ppt课件
10
为理性思维和科学精神而教--评“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课例
................................--二二-―为理性思维和科学精神而教-评“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课例计海荣，陈柏良（浙江省杭州市西湖高级中学）摘要：课例着眼于“素养导向”，通过“问题串”的设计，引导学生进行连续的思维活动，发展学生的数学核 心素养。
课例在问题优化、育人价值挖掘、“策略性知识”概括等方面可进行改进。
深刻领会本节教材的地 位、作用和教学价值，有利于合理把握数学核心素养培养的“切入点”和“着力点”。
关键词：理性思维；科学精神；教学设计文章编号：1002-2171 (2021)2-0024-03新课程实施以来，一线教师对“核心素养导向的 数学教学”进行了积极实践。
杭州学军中学第十四届 学术节以“核心素养导向的课堂转型”为主题，组织了 河北省衡水中学康红叶、浙江省杭州学军中学詹长刚、宁波市镇海中学王振全3位老师以人教A版 新教材《数学》(必修第一册）中的“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”新授课内容为例进 行“同课异构”，给与会教师提供了 3节鲜活的课堂教 学案例。
本文以学军中学詹长刚老师的课堂实录为 例作一简评，同时谈谈笔者对本节课的数学理解和教 学设计中如何更好地发展学生数学核心素养的几点 拙见，与读者探讨。
1对本节课的简评1.1关注素养詹老师的教学设计，着眼于“素养导向”。
“问题 1”至“问题4”主要立足于“直观想象”核心素养的培养，后续利用单位圆对不等式“当〇<«<f时，则1< sin a+cos a<|”的证明，及“问题5”中对函数“/(a)=sin a+cos a”是否有最值的探究，培养学生的 逻辑推理核心素养，教学过程中比较重视提高学生的 观察和分析能力，体现了对数学运算核心素养的培养。
1.2问题驱动詹老师通过“问题串”的设计，促使学生实现对正 弦函数、余弦函数性质的自主发现。
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正弦线MP sinx
－１→０→１ 增函数
１→０→－１ 减函数
动 态 演 示 ， 研 究
请根据余弦线的变化规律， 完成余弦函数单调性讨论表格： 角
余弦线OM cosx
…… ……
-１→0→1 增函数
1→0→-1 减函数
动 态 演 示 ， 研 究 性 质
性质４：最大值、最小值
请根据对正弦线、余弦线的变化规律的观察,完成下表:
多 媒 体 展 示 区
…… …… ……
复习提问:
:
１.任意角
的正弦如何定义?
的正弦呢?
设 置 疑 问 ， 探 索 总 结
２.能否用几何图形表示出角
单位圆有关的有向线段MP叫做角 的正弦线。
有向线段OM叫做角 的余弦线
设 置 疑 问 ， 探 索 总 结
总结作法:
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
⒈学生已经掌握任意角三角函数的定义， 三角函数值在各象限的符号以及诱导公式一， 为单位圆中的三角函数线的寻找及其讨论 三角函数的性质在做好了知识准备； ⒉学生对于从三角函数得到三角函数线的 由数到形的理解存在一定的困难。
•知识与技能目标：
⑴利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值； ⑵利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数的性质。
Ⅲ.判定正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
动 态 。演 示 ， 研 究 性 质
性质3：单调性 请根据正弦线的变化规律思考正弦函数是否存在单调区间？ 如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还 → － +2k 2
2
+2k
3 → → +2k +2k +2k 2 2
得正弦线MP、余弦线OM。
设 置 疑 问 ， 探 索 总 结
2.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
观察角的终边在各位置的情形, 结合正弦线、余弦线和已学知识， 你能得出正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 并说明理由。
周期性、奇偶性、单调性、 最大值与最小值
动 态 演 示 ， 研 究 性 质
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２（角 旋转一周）， 正弦线（MP）、余弦线（OM）重复出现。
正弦函数、余弦函数是周期函数。
动 态 演 示 ， 研 究 性 质
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤； Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于x轴对称，余弦线重合
· 借助三角函数线可以推出三角函数公式，
求解三角函数不等式，探索三角函数的图 像和性质。因此，三角函数线是研究三角 函数的有利工具；
· 本节课利用单位圆中的三角函数线讨论三角
函数图像和性质，既是对利用三角函数的图象
研究其性质的一个补充， 又为下一小节的研究在方法上作铺垫； 并且再次强调了单位圆的直观作用， 拓宽了研究三角函数性质的视野。
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
有向线段的方向： 按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。
如图⑴： 有向线段OM,O为起点， M为终点，由O点指向M点；
⑴
有向线段的数值（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）： 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值； 设 与坐标轴反向，取负值。 置 疑 如图⑵：OM= 1,ON= -1，AP＝1/2。 问 ， 探 索 ⑵ 总 结
•难点：
利用与单位圆有关的有向线段， 将任意角的正弦、余弦函数值分别用它们的几何 形式表示出来。
1．教法选择：
利用几何画板，通过几何直观帮助学生 理解定义，引导学生主动探索发现；
2．学法指导：
类比产生知识迁移； 观察体验知识的形成过程。
• 设置疑问，探索总结 • 动态演示，研究性质 • 课堂小结，布置作业
角
……
…… 1
角
……
…… 1
正弦线MP -1 最小值 sinx
最大值
余弦线OM -1 最小值 cosx
最大值
动 态 演 示 ， 研 究 性 质
课堂小结：
①三角函数线（正弦线、余弦线）及其作法； ②结合正弦线、余弦线研究正弦函数、 余弦函数的性质。
课 堂 小 节 ， 布 置 作 业
布置作业：
1.思考题： tan
l 复习回顾: r （其中 l 是以角 作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径）
特别地, 当r =1时， l
此时的圆称为单位圆， 这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。 设 置 疑 问 ， 能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢？ 探 索 总 结
类比提问：
•过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
•情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
•重点：
三角函数线的定义及作法； 利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
•教材分析
•学情分析
•教学目标 •教法分析与学法指导 •教学过程设计
· 三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
y 如何用有向线段表示？ x
课 堂 小 节 ， 布 置 作 业
2.你能借助单位圆中的三角函数线， 讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？
利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M， 得正弦线MP、余弦线OM。 2.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线