浅谈“单位圆”在三角函数中的应用(1)
单位圆在三角函数中的应用
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单位圆上的三角函数解析讨论
单位圆上的三角函数解析讨论在数学领域中，三角函数是一类非常重要且广泛应用的函数。
而在三角函数的研究中，单位圆上的三角函数解析讨论是一个非常有趣且有深度的话题。
本文将从单位圆的定义、三角函数的性质以及其在解析几何中的应用等方面进行探讨。
一、单位圆的定义与性质单位圆是指半径为1的圆，其圆心位于坐标原点(0,0)处。
单位圆的定义十分简洁，但其性质却非常丰富。
首先，单位圆上的点坐标可以用三角函数来表示。
例如，对于单位圆上的点P(x,y)，其坐标可以表示为P(cosθ,sinθ)，其中θ为点P与x轴正半轴的夹角。
其次，单位圆上的三角函数在数学中具有重要的几何意义。
以正弦函数sinθ为例，当θ为0时，sinθ等于0，对应的点P位于单位圆上的(1,0)处；当θ为90°时，sinθ等于1，对应的点P位于单位圆上的(0,1)处。
通过这种方式，我们可以将三角函数与单位圆上的点一一对应起来，从而建立起几何与代数之间的桥梁。
二、三角函数的性质与图像三角函数包括正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
这些函数在单位圆上的表现形式各异，但它们都具有一些共同的性质。
首先，三角函数的周期性。
以正弦函数sinθ为例，它的周期为2π，即当θ增加2π时，sinθ的值会重复。
这一性质使得三角函数在数学和物理等领域中得到广泛应用。
其次，三角函数的奇偶性。
正弦函数sinθ是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；而余弦函数cosθ是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。
这一性质使得三角函数在函数图像的对称性研究中起到重要作用。
再次，三角函数的图像特点。
通过绘制三角函数在单位圆上的图像，我们可以观察到它们的周期性、振幅、最大值和最小值等特点。
这些图像特点有助于我们更好地理解和应用三角函数。
三、三角函数在解析几何中的应用三角函数在解析几何中有着广泛的应用。
例如，在直角三角形中，我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来求解未知边长和角度。
单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用
1 单位圆在三角函数中的定义
单位圆是以原点O为中心，以半径为1的圆，三角函数的定义就是根据单位圆来定义的，因此三角函数中也用到了单位圆，由此可以看出单位圆在三角函数中有重要的作用和地位。
2 弧度角
在三角函数中，直角三角形一个角称为直角，其对应的角度也叫做直角角，单位圆上任意一点A(x,y)，到圆心原点O的距离就是半径（和单位圆一样），从原点O到点A之间的弧度就称为弧度角，也称作弧度。
弧度角在三角函数中是非常重要的一个概念，它与度数角之间的关系是一个弧度的多少度数等于180度。
3 三角函数中的概念
三角函数中还有六边形概念，其中原点O为顶点，半径r构成六边形，其边长为2r，因为半径是单位圆的半径，所以单位圆也构成六边形。
两个相邻的角构成一个角，这个夹角被表示为rad，
rad(radians)就是弧度角所表示的值，因此单位圆的重要性也体现在了这里。
4 三角函数的应用
三角函数是数学和物理学中最常用的函数之一，三角函数的应用广泛，几乎涉及到几何、物理和科学的各个领域，比如测量角度、求
取球面表面面积和体积等，三角函数一般有三个基本函数——正弦函数、余弦函数和正切函数，这些函数均来源于单位圆，因此单位圆对于三角函数的运算不可或缺。
5 结论
正如本文所介绍的，单位圆和三角函数的使用是相辅相成的，而单位圆的重要性在于它以1度的最小角度来表示三角函数，可以精准运算达到测量。
由此可见，圆有受三角函数这一概念的应用，而圆也回馈出了三角函数精确计算的可能。
浅谈单位圆在三角函数教学中的作用
浅谈单位圆在三角函数教学中的作用临猗中学 姚霞单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。
与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。
1．借单位圆定义任意角的三角函数。
如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。
那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；xy 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。
这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。
如课本第12页例1，求35π 的正弦、余弦和正切值。
解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。
2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。
图1图2 图3如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。
再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。
如课本19页例6，已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值。
先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现54cos ±=α的错误写法。
3．借单位圆推导诱导公式。
大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。
数学素材：为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数
为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A 版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”1．部分教师的疑惑和意见由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始．2．对三角函数发展历史的简单回顾回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算．任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．”任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关于木星和土星运动中的不等式的一篇得奖文章中给出了三角函数的一个十分系统的处理．在Euler1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度制．” 3．任意角的三角函数与锐角三角函数的关系从上述简单回顾可以看到，任意角的三角函数虽然与三角学（锐角三角函数）有渊源关系，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题．“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系” ，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”．另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究（其中很重要的是函数的三角级数展开式问题），一个主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量的应用．三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的” ，而这种应用又与当时的数学研究的中心工作──微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式（三角级数）的系数是用定积分表示的．所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．4．用“单位圆定义法”的理由用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cosa，y= sina是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰；“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；●对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；●对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；●对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；●对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● sina在[－，]内的单调性a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……另外，学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了．另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)．（3）符合三角函数的发展历史．前述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”．所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．（4）有利于后续学习．前已述及，“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述．另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便．例如，重要极限=1几乎就是定义的一个“推论”．5．教科书中的任意角的三角函数的引入方式“人教A版”首先通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义．教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数这样做的目的主要是为了以锐角三角函数为认知基础来学习任意角的三角函数，使学生初步体会用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数所具有的简单、方便并反映本质的好处，从而为“单位圆定义法”做好认知准备．需要注意的是，这样做并不表明任意角的三角函数与锐角三角函数之间有一般与特殊的关系．事实上，用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．6．几点说明（1）“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．例如，由苏联科学院院士、世界著名数学家И.М.维诺格拉多夫主编，苏联百科全书出版社出版，被陈省身先生誉为“对数学的贡献，将无法估计”的、具有世界性权威的《数学百科全书》（中译本在2000年由科学出版社出版）中，采用了“单位圆定义法”；中国大百科全书出版社的《中国大百科全书·数学》（1992年版）中采用了“终边定义法”．应当说，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．值得强调的是正弦、余弦和正切函数在R（正切除a=(k∈Z) 外）上处处有定义，而不是角a的终边上取点的任意性．事实上，在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这三个比值（如果有的话）都不会随点P 在a的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角a，上面三个比值都是唯一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．（2）《高中数学课程标准（实验）》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中，正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算（相除、取倒数等）而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的．这样理解各三角函数的关系，那么“用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义”的担心也就不必要了．（3）“人教A版”在给出三角函数定义后，有如下两个例题：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的终边经过点P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它们的作用主要是让学生熟悉定义．例1的解答要用锐角三角函数知识，例2的解答要用一定的平面几何知识，而许多学生的平面几何基础较差，所以有一定的困难，这是教学中需要注意的．另外，例2还有让学生研究“终边定义法”的意图，教科书“边空”的“小贴士”表明了这一点：“由例2可知，只要知道角a 终边上任意一点的坐标，就可以求出角a的三角函数值．因此，利用角a终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数．你能自己给出这种定义吗？”至于类似“已知角a终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角a的三角函数值”的问题，显然是一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关．参考文献：① [美]M. 克莱因. 古今数学思想（第二册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979，43②项武义. 基础数学讲义丛书?基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③同①，122~123④同②，82⑤同①，182⑥详见②，84~87。
利用单位圆解三角函数
利用单位圆解三角函数
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
而利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
什么是单位圆？单位圆是指半径为1的圆，它的圆心在坐标系的原点上。
在单位圆上，我们可以定义三角函数的值。
以正弦函数为例，对于一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
这样，我们就可以把三角函数的值与角度联系起来。
利用单位圆解三角函数的好处在于，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
例如，我们知道正弦函数的值域在[-1,1]之间，但是为什么会这样呢？如果我们画出单位圆，就可以看到，对于任意一个角度θ，sinθ的值都在-1和1之间，因为点P的纵坐标在-1和1之间。
利用单位圆解三角函数还可以帮助我们求解三角函数的值。
例如，如果要求sin(π/4)的值，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标和纵坐标都是√2/2，因此sin(π/4)=√2/2。
除了正弦函数，余弦函数、正切函数等三角函数也可以利用单位圆来解析。
例如，对于余弦函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sin(π/2-θ)，因此cosθ=sin(π/2-
θ)。
同样地，对于正切函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为1/tanθ，纵坐标为1，因此tanθ=sinθ/cosθ。
利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
通过画出单位圆，我们可以更好地理解三角函数的性质，同时也可以帮助我们求解三角函数的值。
巧用单位圆解决三角函数问题
、
引言
单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 是 三 角 函数 的 一 种 几 何 表 示 ， 任 意 角 三 角 函 数 值 都 可 以用 单 位 圆上 的 点 的 坐 标 或 者 单 位 圆 中 的 有 向线 段 （ 三 角 函数 线 ） 表示． 同 学 们 在 学 习 三 角 函数 时 ， 大 多 比较 注 重 三 角 函数 的 图像 和性 质 ，而 对 三 角 函 数 线 重 视 不 够． 其实用 三角 函数线解题 直观 、 简捷 ， 用 函 数 线 的 数 值 代 替 三 角 函 数 值 比 由定 义 所 规 定 的 比来 得 出 三 角 函 数 的 值 优 越 得 多． 因此 ． 三 角函数线 是讨论数学 的一个 重要 工具 ， 而 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函数 线 研 究 有 关 的 三 角 函 数 问 题 ， 思路 清晰 ， 方 便 直 观 ．本 文 通 过 实 例 谈 谈 如 何 巧 用 单 位 圆解 决 简 单 的 三 角
一
２ 彳ｑ 用单 位 圆 中三 角函 数 线 比较 函数 值 的 大 小
例２ ： 若０ ＜ ＜ １ ３ ＜ ， 试 比较 ｓ ｉ ｎ ｏ ｔ － ｃ ｔ ￣ｓ ｉ ｎ ｐ — ｐ 的大 小 ．
此题求 解方法 繁多 ． 仅 给 出 利 用 三 角 函 数 线 的简 捷 求 解
方法．
二 二
解 ： 由 于 詈 ， 等， … ， 孚的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 单 位
圆 的 内接 正 八 边 形 的８ 个顶点 ， 于 是 由 三 角 函 数 线 与 平 面 几 何
易知ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ
４
即ｓ ｉ ｎ ｏ ｌ — ｄ ＞ ｓ ｉ ｎ ｐ — ｐ ．
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
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浅谈“单位圆”在三角函数中的使用胡海光（宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013）摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。
探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的使用及解题中的使用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。
关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；使用1.引言新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。
因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。
基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆和三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象和性质，明白如何用单位圆和三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。
2.单位圆的认识单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。
2.1单位圆的定义所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
如下图所示：2.2为什么用单位圆上点的坐标定义三a角函数用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）利用单位圆定义了三角函数，而且圆具有很好的对称性。
（2）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性（3）有利于构建任意角的三角函数的知识结构。
“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量α的三角函数值和x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线和定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．① P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；|OP|2=1sin2α +cos2α =1；②对于圆心的中心对称性sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα；③对于x轴的轴对称性sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα；④对于y轴的轴对称性sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα；⑤对于直线y=x的轴对称性sin(－α)=cosα，cos(－α)=sinα；⑥sinα在[－，]内的单调性α：－ 0πx：－1010－1 sin在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……2.3用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义用单位圆上点的坐标定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象和性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。
3. 用单位圆认识三角函数线三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边和x 轴非负半轴重合，终边和单位圆相交和点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它和角α的终边或其反向延 长线交和点T .当角α,OM x =sin y r α==1x xr α==tan y x OM OAα=我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边和单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆和x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边和单位圆的交点；余弦线由原点指向垂 足；正切线由切点指向和α的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡和x 轴或y 轴同向的为正值，和x 轴或y 轴反向的 为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4.单位圆在公式推导和性质中的使用4.1“同角三角函数的基本关系”公式推导中的使用在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如2，公式推导：关系式一“1cos sin 22=+αα”，即OMP RT ∆中的勾股“122=+OMMP ”。
关系式二“αααtan cos sin =”，即相似三角形比式“AT OAATOM MP ==”。
4.2 如图5，角π+αα的终边和单位圆的交点P 1(x,y)，知角π+αx,－y)，推出诱导公式（二）：sin(π+α)=－sin αcos(π+α)=－cos αtan(π+α)= tan α如图6，角－α的终边和角α的终边关于x 轴对称， 由角α的终边和单位圆的交点P 1(x,y)，知角－α的终边和单位圆的交点为P 2(x,－y)， 推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sin α cos(－α)= cos α tan(－α)=－tan α同理可以推导出关于y 轴对称三角函数值，如图7 推出诱导公式（四）：sin(π－α)= sin α cos(π－α)=－cos α tan(π－α)=－tan α如图8，角2π－α的终边和角α的终边关于直线y=x 对称， 角2π+α的终边和角2π－α的终边关于y 轴对称， 由角α的终边和单位圆的交点P 1(x,y)， 知角2π－α的终边和单位圆的交点为P 2(y,x)， 角2π+α的终边和单位圆的交点为P 3(－y,x)， 推出诱导公式（五）：sin(2π－α)= cos αcos(2π－α)= sin α诱导公式（六）：sin(2π+α)= cos αcos(2π+α)=－sin α4.3在两角的和和两角的差的正弦和余弦的证明过程的使用证明：Cos(α-β)=Cos α·Cos β+Sin α·Sin β 利用单位圆的特殊性质，巧妙地简化解题的步骤4.4.在三角函数性质中的使用如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。
5. 单位圆和三角函数线在解题中的使用在高中数学中，引入了三角函数线，使三角函数具有了鲜明的几何特征。
单位圆结合三角函数线，是研究三角函数一种数形结合的工具，若能恰当地利用它，往往能使问题解决显得直观、新颖，过程简捷明了，以下简要介绍它们的具体使用。
5.1利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。
例1、求67π的正弦、余弦和正切值。
解：如图12，在直角坐标系中，作∠AO B=67π， 则∠AO B 的终边和单位圆的交点坐标为B(23-，21-) ∴ sin67π=21-，cos 67π=23-，tan 67π=33方法总结：先求出这个角的终边和单位圆的交点坐标，再利用定义求解。
5.2 利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题． 例：利用单位圆解不等式3tan α+3>0 。
解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－33 如图14，由正切线可知 k π－6π<α< k π+2π，k ∈Z ∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2π），k ∈Z5.3 利用单位圆中的三角函数线求函数定义域例：求函数y=21cos sin -+x x 的定义域。
解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥021cos 0sin x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥21cos 0sin x x如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解.∴函数的定义域为{x | 2 k π≤x ≤2 k π+3π, k ∈Z }. 小提示：首先要把不等式变为基本型（最简单的三角不等式），对于三角不等式组应分别确定区域，取其公共部分5.4 证明三角恒等式例5：求证：αα22sec tan 1=+；证明：如图16，在单位圆中作出角的正切线、余弦线，AT =αtan ，OM =αcos ，222221tan 1OT AT OA AT =+=+=+α， 又∵OM OA OP OT =，∴ααsec cos 11===⋅=OM OM OA OP OT ，∴αα22sec tan 1=+5.5 证明三角不等式例3：求证：若α为锐角，则1cos sin >+αα。
证明：如图5，在单位圆中，α是锐角，作出角α的正弦线、余弦线，||sin MP MP ==α，||cos OM OM ==α∵1||||||=>+OP OM MP ∴1cos sin >+αα。
6.小结通过以上总结单位圆在三角函数中的具体使用，让学生体验数形结合思想，进一步感受到用单位圆解题的简捷、直观、巧妙，因此，我们务必充分理解掌握单位圆的定义以及使用，为以后的学习做好铺垫.这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。
参考文献：[1] 王铁军. 挖掘新课程中“单位圆和三角函数线”的教学功能[J],2007.11 [2] 高振球. 单位圆在高一数学中的使用[J],2006.6 [3] 吴汝龙. 三角函数线的解题功能[J],2006.6[4] 普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4[M], 人民教育出版社,2004。