第一章 单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。
二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。
三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。
四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。
3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。
Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。
2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。
4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。
6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。
7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。
Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。
3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。
4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。
Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。
2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。
4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。
Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
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1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
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本 课 时 栏 目 开 关
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1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
7.2.2单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
【变式训练1】 作出
9π
- 的三角函数线.
4
解:如图所示,
9π
- 的正弦线为,余弦线为,正切线为 .
4
探究二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2π
(1)sin 3 与
4π
sin 5 ;
2π
(2)tan 与
3
4π
tan .
5
分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较
与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦
线是 ,余弦线为,正切线为 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角
函数线.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)三角函数线的长度等于三角函数值.( × )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
故OM<MP<AT.
答案:B
√3
60°= 2 ,cos
1
60°= ,tan
2
60°=√3,
3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(
π
A.sin 6 =sin
B.cos
π
4
7π
6
=cos
π
3π
C.tan 8 >tan 8
D.sin
3π
4π
>sin
5
5
答案:BD
π
4
)
4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在
位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在
的区域写出角的取值集合.
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
高中数学(新教材)《单位圆与三角函数线》课件
(教师独具内容) 课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出 角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息． 教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结 合． 教学难点：三角函数线的运用.
核心概念掌握
课前自主学习
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[解] (1)作直线 y＝23交单位圆于 P，Q 两点，则 OP 与 OQ 为角 α 的终 边，如图①.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边， 如图②.
答案 (1)× (2)√ (3)×
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
2．做一做 (1) 如图，在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线P→M，正切线A→′T′ B．正弦线M→P，正切线A→′T′ C．正弦线M→P，正切线A→T D．正弦线P→M，正切线A→T
课后课时精练
知识点二 三角函数线
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
如图，设单位圆的圆心在原点，角 α 的顶点在圆心 O，始边与 x 轴的正 半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，点 P 在 x 轴上的正射影为 M，点 P 在 y 轴上的正射影为 N，过 A(1,0)作单位圆的切线交 α 的终边 OP 或其反向延长 线于点 T，则
(1)把向量O→M，O→N，A→T分别叫做 α 的 □01 余弦线 、 □02 正弦线 、 □03 正切线 ，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
高中数学同步教学课件 单位圆与三角函数线
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
1234
4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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知识预览
1.有向线段： 带有方向的线段. 2.三角函数线：如图，
已知角α的终边位置.则由三角函数的定义可知点 P 的坐标 为(cosα,sinα).点 T 的坐标为(1,tanα).其中 sinα =MP,cosα=OM,tanα=AT.把有向线段 MP、OM、AT 叫做α的正 弦线、余弦线和正切线.
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【 例
利用三角函数线求定义域 2 】 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ：
2cosx − 1 ;(2)y=lg(3-4 sin 2 x ). (1)y=
思路分析： 本题考查利用三角函数线求函数定义域.解 答本题可首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用 三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围.
答案：B
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角α= 8 π 的正弦线和余弦线，那
么下列结论中正确的是( ) A.MP<OM<0 B.OM>0>MP C.OM<MP<0 D.MP>0>OM
答案：D
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3.比较大小：sin1＿＿＿＿
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●想一想：正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？
提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线 提示： 由原点指向垂足；正切线由切点指向α的终边所在直线与切 线的交点.
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自测自评
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终 边( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=x 上或在直线 y=-x 上
答案：B
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3.设α是第四象限角，则 sinα和 tanα的大小关系是( A.sinα>tanα B.sinα<tanα C.sinα≥tanα D.不确定
)
解析：画出三角函数线即可判断出来.如图： sinα=MP,tanα=AT, 而 MP>AT, 所以 sinα>tanα.
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2 求下列函数的定义域： (1)y= 2 cos x − 3 ; (2)y=lg sinx+ cos x .
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解：(1)要使函数有意义，则须 2cosx- 3 ≥0，即 cosx≥ 如右图所示，
3 2
.
过点(
3 ,0)作 2
x 轴的垂线与单位圆交于点 P、P′，则 cos
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基础达标
一、选择题 ) 1.对三角函数线，下列说法正确的是( A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C.任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D.任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
sin
π
3 (填“>”或“<”).
答案：<
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4.有三个命题：
5π ① 6 和 6 的正弦线相等；
π
4π ② 3 和 3 的正切线相等； π 5π ③ 4 与 4 的余弦线相等.
π
其中真命题是＿＿＿＿＿.
答案：①②
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5.利用单位圆中的三角函数线， 确定满足 sinα-cosα>0 的α的范围.
2 2
2π 4π π π- 3 ,2kπ+ 3 )∪(2kπ+ 3 ,2kπ+ 3 )(k∈Z).即(kπ- 3 ,kπ
π
π
+ 3 )(k∈Z).
π
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规律归纳 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以 下几点： (1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线； (2)先找到“正值”区间，即 0~2π间满足条件的角θ的范围， 然后再加上 2π的整数倍； (3)注意区间是开区间还是闭区间.
答案：C
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6.若 4 <θ< 2 ，则下列不等式成立的是( A.sinθ>cosθ>tanθ C.sinθ>tanθ>cosθ
π
π
)
B.cosθ>tanθ>sinθ D.tanθ>sinθ>cosθ
解析：结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正 切线最长，余弦线最短，且都为正，故 tanθ>sinθ>cosθ.
3 3 3 3 sin 4 π =MP,cos 4 π =OM,tan 4 π =AT，即 4 π 的正弦线为 MP，余弦
线为 OM,正切线为 AT.
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规律归纳 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点， 然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和 余弦线. 2.作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于 一点 T，即可得到正切线 AT ，要特别注意，当角的终边在第 二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来 作正切线.
标为( −
1 3 2, 2 )
1 3 .答案：( − 2 , 2 )
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8.满足 sinα<
3 2
1 ,cosα> 2 且α∈(0,2π)的角α的取值范
围为＿＿＿＿＿＿＿.
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解析：如图所示，
满足 sinα<
1 3 2 ,cosα> 2
答案：A
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2 4.若α是三角形的内角，且 sinα+cosα= 3 ,则这个三角形
是( ) A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 π 解析：若 0<α≤ 2 ,则 sinα+cosα≥1,∴α为钝角.
答案：D
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π
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作三角函数线 【例
3π 1】作出 4
的正弦线、余弦线和正切线.
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解：在直角坐标系中作单位圆， 如右图所示，
3 以 Ox 轴为始边作 4 π 角，角的终边与单位圆交于点 P，作
PM⊥Ox 轴，垂足为 M，由单位圆与 Ox 轴正方向的交点 A 作 Ox 轴 的 垂 线 与 OP 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
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解：如右图，
设角α终边与单位圆的交点为 P（x，y） ，sinα=y,cosα=x.若 sin
π
α=cosα,即 y=x，角α的终边落在直线 y=x 上，此时α=kπ+ 4 . 若 sinα-cosα>0，即 y-x>0，此时角α的终边落在 y=x 上方，反之
5π 落在 y=x 下方， 因此角α的范围为 2kπ+ 4 <α<2kπ+ 4 (k∈Z).
3 2
∠xOP=cos∠xOP′=
,而∠xOP= 6 ,∠xOP′=- 6 ,∴满足条件
π π
π
π
的所有角 x 的集合是{x|2kπ- 6 ≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}.
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利用三角函数线证明三角不等式
π 【例 3】求证：当α∈ 0, 2 ，sinα<α<tanα.
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2.三角函数线的作用与单位圆有关的三角函数线是对任 意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数的几 何表示，使我们对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮 助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律， 加深了形与数的结合.它的主要作用是解三角不等式， 证明三角 不等式，求函数定义域及比较大小，同时也是以后将要学习的 同角三角函数基本关系式，三角函数图象与性质及三角变换的 基础.
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解：(1)如图.
1 π π ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ- 3 ,2kπ+ 3 ］(k∈ Z).
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(2)如图.
3 3 3 ∵3-4 sin x >0,∴ sin x < 4 ,∴- 2 <sinx< 2 .∴定义域为(2k
5.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5
)
解析：作出α=1,β=1.2,γ=1.5 的三角函数线观察即可.
答案：D
人教A版必修四·新课标·数学
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二、填空题 7.点 P 从(1,0)出发， 沿单位圆 x + y