高中数学-单位圆与三角函数线同步练习

高中数学-单位圆与三角函数线同步练习
知识点一：单位圆与三角函数线 1．下列判断中错误的是
A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B ．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C ．α和2π＋α具有相同的正切线
D ．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2．已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为
A ．(sinα，cosα)
B ．(cosα，sinα)
C ．(sinα，tanα)
D ．(tanα，sinα)
3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是 A ．正弦线P M →，正切线A′T′→
B ．正弦线M P →，正切线A′T′→
C ．正弦线M P →，正切线AT →
D ．正弦线P M →，正切线A T →
4．对三角函数线，下列说法正确的是
A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________. 知识点二：三角函数线的简单应用
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin π6＝sin 7π6；②cos(－π4)＝cos π4；③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5.其中判
断正确的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A ．(π4，π2)∪(π，5π4
)
B ．(π
4，π)
C ．(π4，5π4
)
D ．(π4，π)∪(5π4，3π2
)
8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是 A ．sinα＋cosα B ．tanα＋sinα C ．cosα－tanα D ．sinα－tanα 9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．(由大到小排列) (1)sin 3π5，sin 4π5，sin 9π
10：__________；
(2)cos 3π5，cos 4π5，cos 9π
10：__________；
(3)tan 3π5，tan 4π5，tan 9π
10：__________.
10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)3π4；(2)－4π
5.
能力点一：利用三角函数线比较三角函数值大小 11．如果0<α<π
4
，那么下列不等式成立的是
A ．cosα<sinα<tanα
B ．tanα<sinα<cosα
C ．sinα<cosα<tanα
D ．cosα<tanα<sinα
12．若－3π4<α<－π
2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是
__________．
13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________． 能力点二：利用三角函数线确定角的范围
14．使sinx≤cosx 成立的x 的一个变化区间是
A ．[－3π4，π4]
B ．[－π2，π2]
C ．[－π4，3π
4
] D ．[0，π]
15．角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为 A.π4或3π4 B.3π4或7π4 C.
π4或5π4 D.π4或7π4
16．y ＝1＋2cosx 的定义域为__________．
17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sinα≥
32；(2)cosα≤－12
.
能力点三：三角函数线的综合应用
18．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限内，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
19．当α＝3 rad 时，利用三角函数线分析点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第几象限．
20．求函数y ＝1＋2sinx ＋lg(2cosx －1)的定义域．
21．利用三角函数线证明若0<α<β<π
2，则有β－α>sinβ－sinα.
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y 轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin π6＝－sin 7π6，cos(－π4)＝cos π
4
，
tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π
5
，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y ＝x 上时，直线y ＝x 与单位圆的交点为(22，22)，(－2
2
，－22
)． 此时，α＝π4和5π
4
，如图所示．
当α∈(π4，5π
4)时，恒有MP>OM ，
而当α∈(0，π4)∪(5π
4
，2π)时，
则有MP<OM ，因此选C.
8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0， ∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0. 9．(1)sin 3π5>sin 4π5>sin 9π
10
(2)cos 3π5>cos 4π5>cos 9π
10
(3)tan 9π10>tan 4π5>tan 3π
5
10．解：作图如下．
(1)
所以，3π4
的正弦线为M P →，余弦线为O M →，正切线为A T →.
(2)
所以，－4π5的正弦线为M P →，余弦线为O M →，正切线为A T →
.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα 13．sin1>cos1 14．A 15．C
16．[2kπ－2π3，2kπ＋2π
3](k∈Z ) 由函数有意义，x 需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥
－1
2
.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x 的范围是2kπ－2π3≤x≤2kπ＋
2π
3(k∈Z )．
17．解：(1)作直线y ＝
3
2
交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π
3
，k∈Z }．
(2)作直线x ＝－1
2交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域即为角
α的终边的范围．
故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π
3，k∈Z }．
18．解：∵点P 在第一象限内，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
sinα－cosα>0，
tanα>0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sinα>cosα，tanα>0.
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π， 可知π4<α<π2或π<α<5π4
.
19．解：因为5π
6<3<π，作出单位圆如图所示，
设M P →，O M →
的数量分别为a ，b ，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0. 因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|， 所以sin3＋cos3＝a ＋b<0.
故当α＝3 rad 时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋2sinx≥0
2cosx －1>0⎩⎪⎨⎪⎧
sinx≥－1
2cosx>12
⎩⎪⎨⎪⎧
2kπ－π6≤x≤2kπ＋7π
6k∈Z 2kπ－π3<x<2kπ＋π3
k∈Z 2kπ－π6≤x<2kπ＋π
3
(k∈Z )．
sinx≥－12，cosx>1
2
的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－π6≤x<2kπ＋π
3，k∈Z }．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α、β的终边分别交于点Q 、
P ，过P 、Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别是M 、N ，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ ，sinβ＝MP. 过点Q 作QH⊥MP 于H ，
则HP ＝MP －NQ ＝sinβ－sinα. 由图可知HP<
－
＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.。