单位圆与三角函数线,诱导公式

课题：三角函数线和诱导公式

学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念

2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。

学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

自主学习

1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。

2、三角函数线

设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交

于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长

线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），

（1）为正弦线，有向线段的方向是

规定与y轴正方向相同为，反之为。

（2）为余弦线，有向线段的方向是

规定与x轴正方向相同为，反之为。

（3）为正切线，有向线段的方向是

规定与y轴正方向相同为，反之为。

点P的坐标与角a的正余弦的关系

为。

点T的坐标与角a的正切的关系为。

（2）（3）（4）

注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。

典型例题：

例1 分别作出

3

34

ππ

和-的正弦线、余弦线和正切线。

练习课本P21，练习A ，1

例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出

角a 的集合。

练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )

A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5

B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2

C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1

D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5

2.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有

( ) A ．a

例3、当α∈⎝⎛⎭

⎫0，π2时，求证：sin α<α

（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）

A 在x 轴上

B 在y 轴上

C 在直线y=x 上

D 在直线y=-x 上

（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系

A a>b>c

B a>c>b

C c>b>a

D b>a>c

(3)在

02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）

（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）

A （sina ，cosa ）

B （cosa ，sina ）

C （sina ，tana ）

D （tana ，sina ）

课后巩固

（1）满足 的a 的集合为 。

（2）设有向线段MP 和OM 分别表示角 的正弦线和余弦线，则下列不等

式成立的是 ① MP0>MP

③ OM

（3）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

ππππππ 5A B 4244（，）（，） （，） 553C D 44442ππππππ （，） （，）（，）1sin 2α≥1718π4π56π-23π125π-

（4）如果42ππ

θ<<，那么下列各式正确的是（）

Acos θ

C tan θ

（5）函数1y sin x cos x 2=+-的定义域 。

（6）如果π4<α<π2

，那么下列不等式成立的是 ( ) A ．cos α

sin （2kπ+α）=sinα k ∈z

cos （2kπ+α）=cosα k ∈z

tan （2kπ+α）=tanα k ∈z

公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα

cos （π+α）=－cosα

tan （π+α）=tanα

公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （－α）=－sinα

cos （－α）=cosα

tan （－α）=－tanα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα

cos （π－α）=－cosα

tan （π－α）=－tanα

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα

cos （2π－α）=cosα

tan （2π－α）=－tanα

公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π/2+α）=cosα

cos （π/2+α）=－sinα

tan （π/2+α）=－cotα

公式七：sin （3π/2+α）=－cosα

cos （3π/2+α）=sinα

tan （3π/2+α）=－cotα