单位圆与三角函数线_ ppt课件
单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
09三角函数在单位圆的表示方法
09三角函数在单位圆的表示方法1在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。
三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示已知三角函数值作出对应的角。
讲授与讨论相结合三角函数在单位圆的表示方法课本P14 图4-12MP y yr y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1例 题 OM x xr x ====1cos α例 题P20 第2 题一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。
二、单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。
三、角α的正弦、余弦在单位上的表示1．作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 …… …… ……… …… ……设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x ,当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x若0<x OM 看作与x 轴反向 OM 具有负值x2．MP y y r y ====1sin α OM x x r x ====1cos α 这就是说：角α的正弦等于它的终边和单位圆的交点的纵坐标，而它的余弦则等于交点的横坐标。
有向线段MP,OM,分别称作α角的正弦线,余弦线。
由图可知， -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1即sin α与cos α的值域都是[-1,1]。
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
详细版单位圆与三角函数线.ppt
.精品课件.
5
新课讲授
一、单位圆：
1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y
2、单位圆与x轴的交点：（1，0）和（-1，0）
N
PT
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
o
α
MA
x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别
是点P在X轴、Y轴上的正射影
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6
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则 cos x ，sin y 都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
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7
正弦线和余弦线 问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，
此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M Ox
P（x，y）
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8
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
单位圆与三角函数线
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1
复习引入
初中锐角三角函数是如何定义的？
α O
P
┍ M
sinα=
cosα= tan α=
MP 当OP=1时，sinα=MP
OP
OM
cos α=OM
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o (Ⅲ)
x
单位圆与三角函数线_
M
o
x
P
α的终边 (Ⅳ)
α的终边 y
P
A
Mo
x
y α的终边 T
P o MA x
(Ⅱ)
T
y
y (Ⅰ)
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
单位圆与三角函数线_
MA
o
x
PTα的终ຫໍສະໝຸດ (Ⅳ)练一练例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
比大小可以利用什么性质？
单位圆与三角函数线_
例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑴sin 1;
2
⑵ sin 1 .
2
角的终边
y
1
●N
P
y 1 2
-1 O
1
x
-1
单位圆与三角函数线_
3cos1 4cos1
2
y2
1 3
-1 O
2k3,2k53kZ-1 单位圆与三角函数线_
1
x1 x
2
5
3
变式： 写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 的角α 2
的集合.
2
y
3
1
6
-1 O
1
x
11
4
-1
3
6
(2 k 6 |2,2 kk 6 2＜k2 3 α≤ 4 单2位 ≤k圆2 α与k ＜三角2函3 数2， 线4 k3 _或,2 1k 1， k1 6 Z) 1 k Z
3
6
课堂回顾：
1、三角函数定义的几何表示 2、三角函数线的画法 3、三角函数线的应用： ①利用三角函数线比较三角函数值的大小； ②利用三角函数线确定角的集合或范围.
单位圆与三角函数线_
探究:
1) sinα- cosα>0
2) sinα+cosα>0 ?
用定义 转化为直线
用三角函数线
单位圆与三角函数线_
单位圆与三角函数线_
必修四 三角函数
1.2.2
单位圆与三角函数线_
本节课的任务:
11、、将会三画角任函意数角值的用三图角形函表数示线出。来。 2、会简单应用三角函数线。
单位圆与三角函数线_
复习引入:
1、角的弧度制的定义？ 2、在直角坐标系内画出弧度为2、3、
4、5的角的终边的大体位置。 3、三角函数的定义是什么？ 4、当半径r为1时，角的弧度制和三角
y P
α的终边
α
x
O
M A(1,0)
u M u u P r 称 为 角 的 正 弦 线 ， 即： sinMP
O u u M u u r 称 为 角 的 余弦线 即 ： cosOM
思考： 正切线等如何构造？
单位圆与三角函数线_
α的终边 y P
Mo
x
(Ⅱ) y
y α的终边 P
oM x y (Ⅰ)
M
1、有向线段
或由原点指向外面
u u u ru 大 u u 小 u r： u u r 长 u u 度 r 记 作 ： M P 、 O M 、 N Q 、 O N
2、有向线段的数量
y
正负：与坐标轴同向为正
反向为负
Q
大小：长度
B NO
PPOM,MP
M Ax
OA 1 OB1 单位圆与三角函数线_
三角函数线
3
2问、题你：能1否、找它到们其的它三的角角函与数 值有的何三关角系函？数值
关系？
3 单位圆与三角函数线_
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.
解：由三角函数线得 sin1<sin1.5 cos1>cos1.5
思考：正弦值有无最大值？
函数的定义会怎样？
单位圆与三角函数线_
单位圆 我们把 半径为1的圆叫做单位圆
在单位圆上，角终边和圆交
点的横坐标就是 （ cos）
纵坐标就是（ sin ） y P(cos,sin)
x
单位圆与三角函数线_
坐标能否用图像表示？
y PPOM,MP
Q
QON, NQ?
NO M x
单位圆与三角函数线_
方向：由轴上的点指向外面