单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。
二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。
三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。
四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。
3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。
Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。
2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。
4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。
6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。
7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。
Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。
3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。
4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。
Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。
2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。
4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。
Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
「课题：单位圆和三角函数线(教案)」
课题:7．3．2单位圆和三角函数线.教学目标：1.理解三角函数的几何意义，掌握用单位圆中的有向线段表达三角函数值的方法,能由已知角正确作出它的三角函数线．2．能够根据角的终边与单位圆交点的坐标：（)求特殊角的三角函数值及确定各三角函数值在各象限的符号,并牢记它们，能熟练应用.3.通过三角函数线的教学培养学生数形结合的思想和能力.教学重点:三角函数线及各象限的角的三角函数值符号．教学难点：三角函数线的概念和性质．教学方法：启发点拨,讲练结合．教学用具:三角板、圆规、投影片.教学过程：一、复习引入1.复习提问(1)已知角终边上一点，点到原点的距离为ｒ,试说出角的余弦、正弦和正切值.又问:另外的3种函数——正割、余割和余切与它们有何关系?怎样定义的？（２)以上定义的各种比值与点在角终边上的位置有没有关系？为什么？其中余弦和正弦这两种比值分别等于什么？(,分别是角的终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量.)(3)如果在(1）中取=１,那么点就是单位圆(以坐标原点为圆心,半径为1的圆)上的一点，此时可以写成怎样的表达式？2.引入7.3.2单位圆与三角函数线从刚才的提问我们可以知道：角终边与单位圆交点的横、纵坐标分别等于的余弦和正弦，即有(),亦即=(),由于|｜＝1,所以cｏs和sｉn分别是角终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量．于是作出在轴和轴上的正射影,我们便可得到的几何表示.（出示预先准备好的小黑板，请同学作出在轴、轴上的正射影和,对于向量的方向应注意强调，并予以纠正．)二、新课1.三角函数线由于的数量(或坐标)可用来表示,所以有,同理．于是定义为的余弦线, 为的正弦线．请同学思考正切线如何作呢?启发:因为=，如果能在角的终边上取一点,使得它的横坐标为1,那么点的纵坐标不就表示了的值吗?而要使点的横坐标为１,那么点的纵坐标就必在过单位圆与轴正向的交点(１,0）的单位圆的切线上．教师边讲边作出，当的终边在第二、三象限时,提示学生让的终边的反向延长线与过的单位圆的切线相交找到点.怎样说明就是的正切线呢？启发:由作图可知(１,），即=（１，tａｎ)，因在轴上的正射影为,即有=，所以定义为的正切线.强调:三角函数线都是有向线段，在作图及表示它们时要注意它们的方向，分清始点和终点，书写顺序不能颠倒.(作图板演时分别用不同颜色的笔区别开三种函数线．）例1如图2所示，,边与单位圆相交于点,求点的坐标.解：设点的坐标为（、)，则所以点的坐标为.例2 求下列各角的三角函数值:（1)０；(2)；(3)；(4)(5)2．解：由角的终边与单位圆交点坐标可得：(以上三角函数值要求会熟练推导，并牢固记忆.)三、小结单位圆是从“形”与“数”两方面研究三角函数的一种十分有用的工具．利用这个工具我们得到了：“角的终边与单位圆交点坐标为)”这一重要结论．由此我们研究了以下三个问题：（1)得到了三角函数值的一种几何表示,即三角函数线;(２）求特殊角的三角函数值.（3)得到了三角函数值在各象限的符号规律(全、、、).四、作业1.复习课文.做第215页练习,第1，2,3题，第1,２题．2.预习下一节.五、板书设计。
单位圆与三角函数线说课
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二、学情分析
学生已经掌握了任 意角三角函数的定 义，为三角函数线 的寻找做好了知识 准备 。关于轴上 向量的概念在解析 几何初步中已经学 习过，已明确轴上 的向量是既有大小 又有方向的量
高一学生个性活泼 ，思维活跃，动手 实践、合作探究的 积极性高
高一学生的知 识迁移能力、 知识的运用能 力、独立思考 的意识与能力 以及解决问题 的能力还有欠 缺
有向线段MP的数量等于角的正弦，把 有向线段MP叫做正弦线 有向线段OM的数量等于角的余弦，把 有向线段OM叫做余弦线
提高学生自主分析问题，解 决问题的能力。同时使学生 观察数到形的转化。
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3、合作探究，归纳应用 教学过程
问题三：类比正弦线，余弦线归纳出正 切线的定义。
设计意图
学生分组合作，教师巡 视，解决疑难
作法：
练习4：
例1：
例2：
小结：
例3：
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七、教学反思 在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学 生积极、主动地参与学习；使教师与学生、学生 与学生之间保持有效互动的过程；为学生的自主 建构创设平台，鼓励学生参与讨论、表述思想、 展示自我，形成对知识真正的个性化的理解，获 得对本学科的积极体验与情感．
设计意图
进一步加深对正切线的 理解，体会数形结合的 思想，并为以后学习诱 导公式做好铺垫。
y P T Q β α NO M A x
T/
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3、合作探究，归纳应用 教学过程 设计意图
问题六：当α终边落在坐标轴上时， 强调：α终边落在x轴上时， 正弦线、正切线分别变成一 情况又如何？
个点， α终边落在y轴上时， 余弦线变成一个点，正切线 不存在。当角α终边与角β 的终边位置关于坐标轴对称 时，它们的正切线有何关系？ 让学生意识到和上节课用代 数定义计算的结果吻合。从 而体现数与形的完美结合。
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
《单位圆与三角函数线》优秀教案
1.2.2 单位圆与三角函数线1.单位圆：一般地，圆心在原点，半径为 的圆叫做单位圆；2.正射影：过点P 作PM 于直线l 于M ，则点M 是点P 在直线l 上的正射影（简称射影）；3.三角函数线的概念设任意角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过点P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N ．由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)．其中cos α＝ ，sin α＝ .也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 ．又设单位圆在点A （单位圆与x 轴的正半轴的交点）的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则=αtan ；我们把有向线段 , , 分别叫做α的 、 和 ；【例 题】例.分别作出3π,65π,45π和4π-的正弦线，余弦线和正切线.【练习题】1.已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为--------------------------------( )A ．(sin α，cos α)B ．(cos α，sin α)C ．(sin α，tan α)D ．(tan α，sin α)2.若tan θ≥0，那么θ的范围是-----------------------------------------------------------------( )A ．[0°，90°)B ．[0°，90°)∪(180°，270°)C ．[k ·180°，k ·180°＋90°)(k ∈Z)D ．[k ·360°，k ·360°＋90°)(k ∈Z)3.若α是第一象限角，则ααcos sin +的值与1的大小关系是---------------（ ）A.1cos sin >+ααB.1cos sin =+ααC.1cos sin <+ααD.不能确定4.使x x cos sin ≤成立的x 的一个区间是---------------------------------（ ） A.]4,43[ππ- B.]2,2[ππ- C.]43,4[ππ- D.],0[π 5.利用单位圆，可得满足22sin <α，且),0(πα∈的α的集合为 . 6.设24παπ<<，角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b 和c,由图比较a,b,c 的大小。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。
单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程：一、备考三角函数的.定义，表示：定义从代数的角度阐明了三角函数就是一个比值。
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值。
三、新授：1. 介绍(定义)单位圆圆心在原点o，半径等于单位长度的圆。
此处略设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于p，坐标轴正半轴分别与单位圆交于a、b两点过p(x,y)作pmx轴于m，过点a(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于t，过点b(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于s。
3. 直观了解向量(具有方向的量用正负号则表示)有向线段(带有方向的线段)。
方向可行与坐标轴方向相同，长度用绝对值则表示。
例：有向线段om，op 长度分别为当om=x时若 om看做与x轴同向 om具备正值x若 om看作与x轴反向 om具有负值x4.存有向线段mp,om,at,bs分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一，利用三角函数线比较以下各组数的大小：1 与2 tan 与tan3 cot 与cot求解：例如图所述：tan tancot cot例二，利用单位圆寻找适合下列条件的0到的角 1 sin 2 tan解： 1 230 90或例三求证：若时，则sin1 sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边无此x轴上 sin1=m1p1 sin2=m2p2∵m1p1 m2p2 即sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 p15 练 p20习题4.3 2。
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1.2.2单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学重点难点：
1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.
2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学方法与教学手段：
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.
2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.
3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
教学过程
一、复习引入：
复习三角函数的定义
二、讲解新课：
1. 观览车模型，并建立平面直角坐标系。
2.（边描述边画），以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆有一个交点P（x，y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请学生观察，
（1）sinα等于什么？
（2）随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？
（3）MP就是sinα的几何表示，也叫做正弦线。
（4）能找到余弦线吗？
（5）能找到正切线吗？
3．当α是第二象限角时情形怎样？
4．完整叙述单位圆与三角函数线：
A ：画单位圆，
B ：设α的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于M ，则有向线段MP 是正弦线。
C ：有向线段OM 是余弦线。
D ：设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T ，则有向线段AT 就是正切线。
简单介绍: “有向线段”（带有方向的线段）的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。
则有向线段MP 、OM 、AT 的数量等于角α的正弦、余弦和正切的值
5、视情形可补充余切线、正割线和余割线.（动态演示，在不同象限的角的三角函数线）。
三、例题讲解：
例1. 分别作出 2334
ππ、-的正弦线、余弦线和正切线 例2.
解不等式cos .2
x > 例3.
求函数lg(2sin 1)y x =-+
的定义域。
思考：当x ∈（0，
2π）时，有 sinx ＜x ＜tanx? 四：巩固练习：
练习1.画出角31056493ππππ、、、的正弦线，余弦线，正切线。
练习2.在]02π⎡⎣，上，满足1sin 2
x ≥ 的x 的取值范围是（ ） A 06π⎡⎤⎢⎥⎦⎣， B 566ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣， C 263ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣
， D ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 练习3. 若1cos 2
x ≥
，则x 的取值范围______。
练习4. 若-1＜tanx ＜1，则x 的范围_______。
四、本节小结：
本节课我们学习了
1.单位圆:
把半径为1的圆叫做单位圆。
2.三角函数线：
（1）余弦线OM ，正弦线ON ，正切线AT
（2）其中余弦线，正弦线的起点是O ，终点是P 点在x 轴，y 轴上的射影。
（3）正切线的起点是A（1，0），终点T是过A的x轴的垂线与?的终边或其反向延长线的交点。
（4）OM，ON，AT数量OM，ON，AT是可正、可负、可零。
三角函数线与坐标轴方向一致为正，相反为负，起点与终点重合为零。
六、课堂练习：第22页练习A、B
七、课后作业：第35页习题1-1A：4、1-1B：5。