1.2.3单位圆中的三角函数线
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
1.2.3三角函数线 (共19张PPT)
三、基础知识讲解
2、三角函数线
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一
样的线段来表示tana 吗？
又如，若角a 表示第二象限角，仍过点A(1，0)作单
位圆的切线，设它与a 终边的反向延长线交于点T，
Q tan y MP
x OM
y
的终边
P(x,y)
MP AT AT OM OA
-1 M O
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
三、基础知识讲解 2、三角函数线 有向线段：带有方向的线段
例：如右图所示，角a 是第二象限角有向线段OM表 示以点O为起点，点M为终点的线段，即OM的方向 与x轴的正方向相反的线段， a 的终边 y 我们规定，方向与坐标轴的 正向相同的有向线段表示一 P(x,y)
确定 sin 1 的角 的取值范围. 2
2
6
2k或
5
6
2k ,k
Z 角的终边
y
1
P
y1 2
-1 O
M1
x
[ 2k , 5 2k ]
6
6
(k Z)
-1
例3.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角
及取值范围：
(1)sinα=cosα; (2)sinα<cosα;
(3)tanα<1;
2k或 5 2k ,k Z
的终边
三、基础知识讲解
的终边 y
2、三角函数线
P(x,y)
y 的终边
P(x,y)
-1 M O y
1x
-1
|MMPP=|=y|=ysi|n=|sina | |OOMM=|=x|=xco|=s|cosa |
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
1.2.3三角函数的诱导公式
1.2.3三角函数的诱导公式（1）【教学目标】能借助单位圆推导出四组诱导公式；进行简单的三角函数式化简、求值及恒等式证明．【教学重点】能正确运用四组诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． 【教学难点】四组诱导公式的推导和应用． 【教学过程】 一、引入： 1．角6π与613π，611π-的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，并求：sin 6π= ；sin 613π= ；sin )611(π-= ； cos 6π= ；cos 613π= ；cos )611(π-= ；tan 6π= ；tan 613π= ；tan )611(π-= ； 猜测公式一：；2．角6π与6π-的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，并求：sin )6(π-= ；cos )6(π-= ；tan )6(π-= ；猜测公式二： ；3．角6π与65π的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，并求：sin 65π= ；cos 65π= ；tan 65π= ； 猜测公式三： ；4．角6π67sin π二、新授内容： 例1．求值：（1）π617sin ； （2）π411cos； （3）)1560tan(︒-．例2．判断下列函数的奇偶性：（1）x x f cos 1)(-=； （2）x x x g sin )(-=； （3）x x x h tan )(2+=．例3．已知)6cos(απ-=33，求)65cos(απ+－)6(sin 2πα-的值．【变式拓展】（1）若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．（2）设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．三、课堂反馈：1．计算下列各三角函数值：sin()4π-= ； c o s (60)-= ； 7tan 6π= ； sin 225= ；3sin()4π-= ； 0tan1020= ； sin150= ； sin(750)-= ．2．cos(π-α)= —21， 02πα-<<，sin(πα+)= ．3．若3sin()65πα-=，则=+)65sin(απ． 4．判断下列函数的奇偶性：（1）()|sin |f x x =； （2）()sin cos f x x x =．四、课后作业： 姓名：___________ 成绩：___________ 1．化简：sin()cos()sin(2)cos()=πααπαπα+-+-- ．2．已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 3．已知sin(4π+α)=23，则sin(34π—α)= ．4．已知53)cos(-=+απ，且α为第四象限角，则)2sin(απ+-等于 ． 5．)(sin 2απ+－⋅+)cos(απ1)cos(+-α的值是 ． 6．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为 ． 7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝ ．8．求下列三角函数值：（1）sin 960；（2）43cos()6π-； （3）π3331tan ．9．（1）化简：sin cos()tan()απαπα+--；（2）化简：)(cos 2)sin()2sin(12ααπαπ--++-+．10．判断下列函数的奇偶性：（1）()3cos 1f x x =-； （2）3()sin f x x x =； （3）()cos(sin )f x x =．11．已知sin )6(π+x =41，求)65(cos )67sin(2x x -++ππ的值．12．已知 3)tan(=+απ，求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
1.2.1单位圆与三角函数线(讲授课)
利用三角函数线比较三角函数值的大小：
规律方法： 利用三角函数线比较三角函数值的 大小时，一般分三步：
①在单位圆中作出各角的三角函数线，角的位
置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负.
跟踪演练 1 是
2 6 2 sin 5 π ， cos 5 π ， tan 5 π 从小到大的顺序 .
(Ⅰ) x>0,y＝0
10
三角函数线的意义
sin MP cos OM tan AT
α的 终边
y P
M O
y
T P
α的 终边 A(1,0)
A(1,0)
T
x
O
M
x
当角α的终边与 y轴重合时,余弦 线变成一个点, 正切线不存在, 此时角α的正切 值不存在.正弦 值为1或-1;
(Ⅱ) x<0,y＝0
2 x－ 2 的定义域.
解：
π 3 . x |2 k π ＋ ≤ x <2 k π ＋ π ， k ∈ Z 即定义域为 3 4
利用三角函数线求函数的定义域
规律方法： 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式
(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三
(k∈Z)，
即
π π x∈nπ－3，nπ＋3
(n∈Z).
练习题：
1.角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符 号相异，那么α的值为(
π A.4 3π B. 4
) D
7π C. 4 3π 7π D. 4 或 4
2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( C )
高中数学同步教学课件 单位圆与三角函数线
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
1234
4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ox
当角α的终边在y轴上时，角α 的正切线不存在.
例1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） ；2 （2）
12
3
5
y
y
P
A MO x
MA
O
x
P
例2、在0～2π内，求使sinα= 成3 立的α的取值集合.
2
y
P2
P1
y 3 2
MO M x
2
1
变:在0～2π内，求使sinα> 成3 立的α的取值集合.
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
sin y MP MP (正弦线)
r OP
cos x OM OM(余弦线)
r OP
tan y AT AT(正切线)
x OA
y
PT
O MAx
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆; (2) 设α的终边与单位圆交于点P，作 PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线; (3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A， 过点A作x轴的垂线与角α的终边 (或其反向延长线)交于点T， 则有向线段AT是正切线.
y P(x,y)
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)），则sinα=y,cosα=x都是负数，此时角α的正弦
值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
-|MP|=y=sinα -|OM|=x=cosα
M Ox
P(x,y)
为了简化表示，能用有向线段表示上述的三角函数 值吗？
思考3：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，
x
正切值最合适？
tan y AT
x
y T
正切线：过点A(1,0)作单 位圆的切线，与角α的终 边或其反向延长线相交于 点T，则AT=tanα.
M O Ax
P
思考9：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何 含义如何？
y P
当角α的终边在x轴上时，角αP 的正切线是一个点；
Ox
当角α的终边在y轴上时，角α 的正切线不存在.
6
6
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z
-1
1
x1 x
2
5
3
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
3tan 1
y
3
1
4
-1
k
4
,
k
2
)k
Z
k
3
4
,
k
第3课时 三角函数线
y
T
P(x,y) α O MA
(1)掌握正弦线、余弦线、正切线的 概念及画法;
(2)利用三角函数线求角的范围.
单位圆：圆心在原点，半径等于单位 长度的圆叫单位圆.
有向线段：带有方向（规定了起点和 终点）的线段叫有向线段．
有向线段规定方向与x轴或y轴的正方 向一致的为正值，反之为负值．
P Ox
M Ox
P
定义：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x 轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP,OM分别为 角α的正弦线和余弦线.
思考5：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα+cosα>1吗？
y
P
OM x
MP+OM>O P=1
思考6：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的
sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即
MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角
时，你能检验这个表示正确吗？
y
y
P(x,y)
P(x,y)
MO x
OM x
y y
M Ox
P(x,y)
M
O
x
P(x,y)
思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦
线的含义如何？
y
P
y
3
2
)k
Z
1
O
Ax
-1 T
4
练习:写出满足 1 cos 3 的角的集合:
2y
2
2
Q1
3
P
6
-1
1
O
x
4 R
S
11
3
-1
6
(2k
6
,2k
2
3
2k
4
3
,2k
11
6
)k
Z
【课堂★小结】
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线确定角的集合.
练习．说出OM， MO， AT， TA ，
MP， AO的符号．
y T
M
A(1,0)
O
x
P
三角函数线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的
交点为P(x,y)，则sinα=y,cosα=x都是正数，你能分别用
一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
|MP|=y=sinα
|OM|=x=cos α
y α终边
y
PT
P
O
y
P M
O
MA x
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
P
PT
思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦 线的含义如何？
y
P
P Ox
思考9：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何 含义如何？
y P
当角α的终边在x轴上时，角αP 的正切线是一个点；
O
x
P T
思考8：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是负y数，此时用哪条有向线段表示角α的
x
正切值最合适？
tan y AT
x
y P
A
MO
x
T
思考8：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是正y数，此时用哪条有向线段表示角α的
2
练习：利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合:
(1)cosα= ; 2(2)cosα>- . 2
2
2
y
P1
MO
x
P2
x 2 2
例3、在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sin 1
2
5
6 -1
y
1
6
1
y
1 2
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
交点为P(x,y)，则 tan是正y数，用哪条有向线段表示角α
x
的正切值最合适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
思考7：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是负y数，此时用哪条有向线段表示角α的
x
正切值最Байду номын сангаас适？
y
tan y AT
x
MA