平均变化率瞬时变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
帮你认识变化率
帮你认识变化率导数的概念这一节内容中谈到了两个变化率，一个是平均变化率，还有一个是瞬时变化率，这两个变化率有着什么样的特点呢？一、平均变化率与瞬时变化率1．平均变化率事物的变化率往往是相关的两个量的变化量的比值。
如：气球的膨胀率为半径的变化量比体积的变化量；位移的变化率为位移变化量比时间变化量。
如果某个问题中的函数关系用()f x 表示，那么问题的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，简记作f x ∆∆。
（1）平均变化率是指函数值的“增量”（即“改变量”）f ∆与相应的自变量的“增量”x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
（2）平均变化率的几何意义为函数()f x 图象上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的割线的斜率。
（3）某段时间内的平均速度v （即平均变化率），描述的是在这段时间内运动速度的平均状态。
2．瞬时变化率在实际问题中，非匀速直线运动的瞬时速度、化学反应速度、物体温度变化速度以及几何曲线切线的斜率等实质上都是瞬时变化率。
（1）瞬时速度：平均速度实际就是平均变化率，当t ∆趋近于0时，总存在一个常数0v 与商00()()S t t S t t+∆-∆无限接近。
这个常数反映了物体在某时刻运动的快慢。
（2）切线斜率：实质就是当x ∆趋近于0时，曲线()y f x =在00[,]x x x +∆上的平均变化率与一个常数A 无限接近，常数A 就是曲线在此位置的切线的斜率。
我们对上面分析的两个方面进行抽象、归纳、延伸，即撇开这些量的实际意义，捉住它们在数量关系上的共性，就是瞬时变化率的概念。
3．必须注意的几个问题（1）正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线()y f x =上的一点P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线PT ，则这一确定的直线PT 称为曲线()y f x =在点P 处的切线。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
平均变化率与瞬时变化率
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年 高:1.5米 时间:一年
问题：哪一株植物生长速度快？
情景引入二
在经营某商品中，甲用5年时 间挣到10万元，乙用5个月时间挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙 两人的经营成果，你认为哪个人获 利速度最快？
情景引入三
如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积 相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请 分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的 函数关系图象，用直线段连接起来。
自主学习
1. 自主学习课本P53页的实例分析1， 思考我们用什么量来衡量物体运动快慢？
2. 自主学习课本P53-54页的实例分析2， 思考我们用什么量来衡量体温的变化快 慢？
函数的平均变化率
对一般的函数y=f（x），当自变量x从 x1 变到x2时， 函数值从f (x1)变到 f (x2) ，它的平均变化率为
x2 x1
x
例题讲解
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分
别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重
的平均变化率，分析增重快慢 实际意义 婴儿出生后，体
重的增加是先快
W(kg) 11
后慢 解： 婴儿从出生到第3个月的平均变化率是：
8.6 6.5
6.5 1)) x2-x1
0
=△x
f(x2)-f(x1) =△y
x
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2 )) 连线的斜率.
思考探究:
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单
《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】
第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。
高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修
对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－
高中数学1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修第二册
Δ
当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,
∴4a=8,解得a=2.
角度2.求函数的瞬时变化率
1
【例4】 估算函数y=x- 在x=1处的瞬时变化率.
解 因为
1
1
Δ
Δ
Δy=(1+Δx)-1+Δ-(1-1)=Δx+1+Δ,所以Δ
=
Δ
1+Δ=1+ 1 .
Δ+
Δ
1+Δ
1
(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.( √ )
2.如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内
的瞬时速度都为0?
提示 不能.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
平均变化率
角度1.求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,
=
( 0 +Δ)-( 0 )
;
Δ
趋于的那个确定值即为所求函数在某点处的瞬时变
变式训练4已知函数f(x)= √ ,估算f(x)在x=1处的瞬时变化率为
解析 由题意可得
(1+Δ)-(1)
Δ
=
当 Δx 趋于 0
√1+Δ-1
Δ
=
1
,
√1+Δ+1
1
1
时,
趋于 ,因此
2
√1+Δ+1
时速度.
无限趋近于常数v,即为t0时刻的瞬
变式训练3一质点M按函数s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),
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1.1.1平均变化率
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义
三、教学过程
一、问题情境
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率
2121
()()
f x f x x x --。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。
4。
平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
三、数学运用
例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，
乙两人的经营成果？
小结：仅考虑一个变量的变化是不行的。
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器
(d)
20
甲中水的体积0.1()52
t
V t -=⨯ （单位：3
cm ），
计算第一个10s 内V 的平均变化率。
例3、已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
五、练习
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
2、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率。
（发现：y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？）
瞬时变化率与导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40
5.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
T(月)
6
3
9
12
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动
员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反
映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于此时的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 2 导数的概念
（一）则函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
h
t
o
000
0()()lim
lim
x x f x x f x f
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作'
0()f x 或0'|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
（二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处
的导数的方法之一。
三．典例分析
例1．（1）求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3导函数．。