瞬时变化率--导数
课题:瞬时变化率—导数
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势
二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=
， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：
x
x f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度
(2) 位移的平均变化率：t
t s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t
t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度
求瞬时速度的步骤：
1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆
2.再求平均速度t
s v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，
t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：t
t v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，
t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
三、数学应用
例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
变式:1.求2
1()f x x =过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________
3.已知曲线()f x =
P(0,0)的切线斜率是否存在?
例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t
∆∆为（ ） Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度
例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=
22
1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度
(2)求t=3s 时的瞬时速度
(3)求t=3s时的瞬时加速度
点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景。
瞬时变化率
瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
高二数学选修课件第章瞬时变化率导数
在求解一些优化问题时，可以利用微分进行近似计算，如求解最小 值、最大值等问题。
05
高阶导数及其性质探讨
Chapter
高阶导数定义及计算方法
高阶导数定义
高阶导数是指函数导数的导数，即多次求导得到的导数。例如，函数f(x)的一阶导数为f'(x)，二阶导数 为f''(x)，以此类推，n阶导数为f^n(x)。
最值
函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。通过求导并 令导数为零，可以求得函数的驻点，进而判断驻点是否为最值点。
极值
函数在某一点处的极大值或极小值称为该函数在该点的极值。极值是函数局部性 质的一种表现，通过研究函数的极值可以了解函数的整体性质。
04
微分概念及其在近似计算中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
Chapter
本章知识点总结回顾
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点处的瞬 时变化率，其几何意义是函数图 像在该点处的切线的斜率。
高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高 阶导数，表示函数的变化率的变 化率。
01 02 03 04
导数的计算法则
包括基本初等函数的导数公式、 导数的四则运算法则、复合函数 的求导法则等。
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则 f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数 ），则f'(x) = 0
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若f(x) = a^x（a > 0 ，a ≠ 1），则f'(x) = a^x ln a
瞬时变化率——导数课件
随着数学与其他学科的交叉融 合，导数的应用将更加深入和 广泛，为解决实际问题提供更 加有效的工具。
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隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同 时求导来获得，注意处理复合变量和 函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重 要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可 以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是 通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描 述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润 、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解， 为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和 加速度，例如自由落体运动中，物体 的速度和加速度可以通过对高度关于 时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的 规律，例如在机械振动中，物体的振动频率 和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导 得到。
02_瞬时变化率——导数
一、瞬时速度
设物体运动所经过的路程为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时 间内的平均速度为
(tt00 t) (t f( t) f (ft 0 )0 ) s s f v v 。。 tt tt
当t0时， v 常数 这个常数就是物体在t0时刻 的瞬时速度.
三、导函数
1．如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都 对应一个确定的导数 f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个新的函数，这个函数称为 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x) 或 y′(或 y′x)．导函数通常简称为导数．
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动 1 2 符合方程 s gt ,请同学们计算 2 小明从3秒到5秒间的平均速度。
如何计算出在第3秒时的速度,即t=3时 的瞬时速度呢?
1 2 s gt (s表示位移,t表示时间) 2
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内 的平均速度 , 1 1 2 2 g (3 t ) g 3 s 2 1 2 v g (6 t ) t (3 t ) 3 2 当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g , 此即t 3秒时的瞬时时 速
重要结论:
平均变化率
x 0
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． Δy fx0＋Δx－fx0 如果当 Δx 趋近于 0 时， 平均变化率 ＝ 趋 Δx Δx 近于一个常数 l， 那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率．记作： fx0＋Δx－fx0 当 Δx→0 时， →l.上述过程通常也记作 Δx
3.1.2瞬时变化率——导数(一) 作业1 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版
3.1.2 瞬时变化率——导数（一）5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.已知f(x)=-x 2+10,则f(x)在x=23处的瞬时变化率是( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2答案：B 解析：x y ∆∆=xx ∆+---+∆+-]10)23([10)23(22=-3-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-3，选B. 2.曲线f(x)=x 3+1上对应于x=1处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.3D.-3答案：C 解析：x y ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(33=3+3Δx+Δx 2. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于3，选C. 3.求曲线y=x +1在点（1，2）处的切线的斜率.解：设在x=1处有改变量Δx ，则对应的函数的改变量为 Δy=1+221)1(1-∆+=+-∆++x x x . 则当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆=)22()22)(22(22+∆+∙∆+∆+-∆+=∆-∆+x x x x x x 221+∆+=x 无限趋近于42，即曲线y=x +1在（1，2）处的切线的斜率是42. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.在导数定义中,自变量的增量Δx （ ）A.Δx ＞0B.Δx ＜0C.Δx=0D.Δx≠0答案：D解析：Δx 表示一个趋向于0的无穷小量,可以大于0,也可以小于0,但不能等于0.2.设函数y=f(x),当自变量x 由x 0改变到x 0+Δx 时,函数的改变量Δy 为（ ）A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0) 答案：D解析：Δy 表示变量y 在区间［x 0,x 0+Δx ］上的增量.即Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).3.已知曲线y=2x 3上一点A(1,2),则A 处的切线的斜率为（ ）A.6B.4C.6+Δx+2(Δx)2D.2答案：A解析：求点A 处的切线的斜率即求f(x)在点A(1,2)处的导数.∵x y ∆∆=xx x f x f ∆⨯-∆+=∆-∆+3212)1(2)1()1(=6+6Δx+2(Δx)2, ∴Δx 趋向于0时,xy ∆∆趋向于6,所以f(x)在点A(1,2)处的导数为6,即点A 处切线的斜率为6. 4.已知某质点按规律s=2t 2+2t(米)作直线运动,质点在3秒时的瞬时速度为___________. 答案：14 m/s解析：求质点在3秒时的瞬时速度也就是求t=3时的导数.v=0lim →∆t t s ∆∆=0lim →∆t tt t t f t f ∆⨯+⨯-∆++∆+=∆-∆+)3232()]3(2)3(2[)3()3(22 =0lim →∆t (14+2Δt)=14(m/s). 5.已知y=x 3-2x+1,则y′|x=2=______________.答案：10解析：Δy=(2+Δx)3-2(2+Δx)+1-(23-2×2+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx,xy ∆∆=（Δx)2+6Δx+10, ∴y′|x=2=0lim →∆x ［(Δx)2+6Δx+10］=10. 6.如图,曲线y=x 3在x 0=0处的切线是否存在?若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.插入图片F03；Z3mm解:Δy=f(0+Δ x)-f(0)=(Δx)3,x y ∆∆=(Δx)2.当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于常数0,这说明割线会无限趋近于一个极限位置,即曲线在x=0处的切线存在,此时切线的斜率为0(x y ∆∆无限趋近于0),又曲线过点(0,0),故切线方程为y=0.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.一质点按规律s=2t 3运动,则在t=2时的瞬时速度为( )A.4B.6C.24D.48答案：Ct s ∆∆=tt ∆⨯-∆+3322)2(2=24+12Δt+2Δt 2. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于24. 2.一物体的运动方程是s=5t+23t 2,则下述四个结论中正确的个数是( ) ①物体在时间段［0,1］内的平均速度是213m/s;②物体在t=1 s 时的瞬时速度是8 m/s;③物体在时间段［0,1］内经过的位移是8 m;④物体在时间段［0,1］内经过的位移是213m.A.1B.2C.3D.4答案：C只有③错,选C.3.物体运动方程为s=41t 4-3,则t=5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625答案：C Δs=41（t+Δt ）4-3-（41t 4-3） =41［t 4+4t 3·Δt+6t 2·（Δt ）2+4t·（Δt ）3+（Δt ）4］-3-41t 4+3 =41·［（Δt ）4+4t·（Δt ）3+6t 2·（Δt ）2+4t 3·Δt ］. ∴t s ∆∆=tt t t t t t t ∆∙∆∙+∆∙+∆∙+∆44)(6)(4)(32234 =41［（Δt ）3+4t·（Δt ）2+6t 2·Δt+4t 3］. ∴当Δt 无限趋近于0时， s′=41（0+0+0+4t 3）=t 3. ∴s′|t =5=53=125.∴t=5时的瞬时速度为125.4.曲线f(x)=x 在点(4,2)处的切线的斜率是_______________. 答案:41 解析:x y ∆∆=24124+∆+=∆-∆+x x x .当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆无限趋近于41. 5.如图,A,B 是抛物线y=2-x 2上的两点,则割线AB 的斜率是_____________,当Δx 无限趋于0时,可得抛物线上过点A 的切线的斜率为_______________.插入图片F04;S*2;X*2答案:-2-Δx -2解析:x y ∆∆=xx ∆--∆+-22)12()1(2=-2-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-2. 6.曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角为_______________.答案:43π解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-4(1+Δx)-(1-4)=(Δx)3+3(Δx ）2-Δx.xy ∆∆=(Δx)2+3Δx -1. 当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于-1,所以曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的斜率为-1. 因为直线的倾斜角α∈［0，π）， 所以，所求切线的倾斜角α=43π. 7.抛物线y=x 2+bx+c 在点(1,2)处的切线平行于直线bx+y+c=0,求两条平行线间的距离.解:x y ∆∆=xc b c x b x ∆++-+∆++∆+)1()1()1(2 =2+Δx+b.当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于2+b ，即切线的斜率为2+b. ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧++=-=+.2,1,12,2c b c b b b 切线方程为x-y+1=0， 平行直线方程为x-y-2=0，两平行直线间的距离为223. 8.若一物体的运动方程为s=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+).3()3(32),30(1322t t t t 求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.解:当t=1时,s=3t 2+1,Δs=s （1+Δt ）-s （1）=3（1+Δt ）2+1-4=6Δt+3（Δt ）2. ∴t s ∆∆=tt t ∆∆+∆2)(36=6+3Δt. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于常数6，即物体在t=1时的瞬时速度为6. 当t=4时,s=2+3(t-3)2.Δs=s(t+Δt)-s(t)=s(4+Δt)-s(4)=2+3(4+Δt -3)2-2-3(4-3)2=3［6Δt+3（Δt ）2］， ∴t s ∆∆=6+3Δt.当Δt 无限趋近于0时,ts ∆∆无限趋近于常数6,即物体在t=4时的瞬时速度为6. 9.已知x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线,试求b 、c 满足的关系式.解：∵y=x 3+bx+c ，∴Δy=（x+Δx ）3+b （x+Δx ）+c-（x 3+bx+c ）=3x 2Δx+3x·（Δx ）2+（Δx ）3+bΔx. ∴xy ∆∆=3x 2+b+3x·Δx+（Δx ）2. ∴当Δx→0时，x y ∆∆→3x 2+b. ∴y′=3x 2+b.由于x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线.设切点(x 0,0),则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)2(.0)1(,0303020c bx x b x由②得x 0（x 02+b ）=-c ，两边平方得：x 02（x 02+b ）2=c 2，由①得x 02=3b -，将它代入上式得： 3b -（3b -+b ）2=c 2， ∴2743b -=c 2,即27432b c -=. 10.已知自由落体的运动方程为s=21gt 2,求: (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度;(2)落体在t 0时的瞬时速度;(3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒这段时间内的平均速度;(4)落体在t=2秒时的瞬时速度.解:平均速度v =ts ∆∆,瞬时速度v=0lim →∆t t s ∆∆. (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内（即Δt 时间内）取得的路程增量为Δs=21g （t 0+Δt ）2-21gt 02. 因此,落体在这段时间内的平均速度为:v =t s ∆∆=tt t t g t gt t t g ∆∆+∆=∆-∆+)2(2121)(2102020=21g(2t 0+Δt ）. (2)落体在t 0时的瞬时速度为v=0lim →∆t v =0lim →∆t 21g(2t 0+Δt)=gt 0. (3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒时,其时间增量Δt=t 1-t 0=0.1(秒),由(1)知平均速度为 v =21g(2×2+0.1)=2.05g≈2.05×9.8=20.09(米/秒). (4)由(2)知落体在t 0=2秒时的瞬时速度为v=g×2≈9.8×2=19.6(米/秒).。
1.1.2瞬时变化率-导数(二)学案
1.1.2瞬时变化率-导数（二）瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标（1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程。
理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度。
二、教学过程 （1）引入在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。
3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。
分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。
（2）新课讲解瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。
(2) 位移的平均变化率：t t s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时，t t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度。
瞬时变化率——导数(一)(含答案)
1．1.2 瞬时变化率——导数(一)一、基础过关1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________．3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)二、能力提升5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝______时的瞬时速度为1.6．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________． 7．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.9．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率．10．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．11．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．三、探究与拓展12．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答案1．－62．63．45°4．x －y －2＝05.1146．at 07．4＋Δt 48.149．解 ∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)Δx＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4. ∵当Δx 无限趋近于0时，3Δx ＋4无限趋近于4， ∴曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率为4.10．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－ ⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于v 0－gt 0. 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.11．解 令t 0＝6598，Δt 为增量． 则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝ －4.9×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝⎛⎭⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt＝－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5，∴Δt →0.∴h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt→0 即运动员在t 0＝6598s 时的瞬时速度为0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处．12．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18， ∵Δt 无限趋近于0时，Δs Δt＝3Δt －18无限趋近于－18， ∴物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12. 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt＝3Δt －12无限趋近于－12， ∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
导数--函数在某一点处的瞬时变化率
选修2－2 导数及其应用1.1.2 导 数 （总第49导学案）——函数在某一点处的瞬时变化率 一、【教学目标】1、理解并掌握导数的概念，会求函数在一点处的导数的方法。
2、了解导数的几何意义，会求函数在某点处的切线的斜率，进而求过此点的切线方程；3、能灵活运用导数的定义及导函数的定义求解有关问题。
二、【重点】 1、导数的概念及其几何意义； 2、导数的应用。
三、【难点】 导数概念及灵活应用 四、【知识梳理】 1、导数的概念：设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，),(b a x ∈o ，若→∆x 时，A xx f x x f x y →∆-∆+=∆∆)()(o o （常数），则称)(x f 在o x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在o x x =处的导数，记作)(o x f '，即A x f =')(o2、求函数)(x f y =在点o x 处的导数的算法： S1 求函数的增量)()(o o x f x x f y -∆+=∆S2 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(o o S3 求瞬时变化率，即0→∆x，A xy→∆∆，则A x f =')(o 3、导数的几何意义（作图分析）： 就是曲线)(x f y =在点P )(,(o o x f x 处切线的斜率。
4、求函数)(x f y =在o x x =处切线方程的方法：（1） 求曲线在该点处的切线的斜率（即求导数)(o x f '（2） 点斜式写出方程))((o o o x x x f y y -'=-，并化成一般式或斜截式。
5、导函数的概念：若)(x f 对区间),(b a 内任一点可导，即o x 变化，则)(x f 在各点的导数也随着o x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '，简称导数。
第1章 1.1.2 瞬时变化率——导数
1.1.2 瞬时变化率——导数1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)[基础·初探]教材整理1 曲线上一点处的切线阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P 时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P 处的切线．判断正误：(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )【答案】 (1)× (2)×教材整理2 瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P11～P12，完成下列问题．(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．判断正误：(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( )(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )【答案】 (1)√ (2)×2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．【解析】 ＝＝18＋3 ”t，当Δt→0时，＝18＋3×0＝18.∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18.【答案】 18教材整理3 导数阅读教材P13～P14，完成下列问题．1．函数在一点处的导数及其几何意义(1)导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．判断正误：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( )(4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( )【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．【解析】 ”y＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2 ”x，∴＝2，∴f′(2)＝2.【答案】 23．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2.又f(4)＝－2×4＋9＝1.故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.【答案】 －1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求瞬时速度、瞬时加速度 (1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．【精彩点拨】 先求出，再求瞬时速度．【自主解答】 (1)∵”s＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0”t－gt0”t－g( ”t)2，∴＝v0－gt0－g”t，∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋( ”t)3＋3 ”t＋3( ”t)2]－2＝2＋2( ”t)3＋6 ”t＋6( ”t)2－2＝2( ”t)3＋6( ”t)2＋6 ”t，∴＝＝2( ”t)2＋6 ”t＋6，∴当Δt→0时，→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】 (1)v0－gt0 (2)6求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．[再练一题]1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.【导学号：01580003】【解】 (1)＝＝＝(3－Δt)，当Δt→0时，3－Δt→3即物体的初速度为3 m/s.(2)＝＝＝＝－Δt－1，当Δt→0时，－Δt－1→－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．(3)＝＝＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数 求函数y＝在x＝2处的导数．【精彩点拨】 求Δy→计算→当Δx→0，得导数【自主解答】 令f(x)＝，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，当Δx→0时，→－1，∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3) ”x→0，得导数f′(x0)．[再练一题]2．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．【解】 ∵”y＝(1＋Δx)－－＝”x＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，当Δx→0时，1＋→2∴函数在x＝1处的导数等于2.[探究共研型]导数的几何意义及其应用探究10P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．探究3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 已知曲线f(x)＝.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．【精彩点拨】 (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．【自主解答】 (1)＝＝，当Δx→0时，→－.设过点A(1,0)的切线的切点为P，①则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，②解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－的切线的切点为Q，由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.所以切点坐标为或.故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．[再练一题]3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________.【导学号：01580004】【解析】 因为＝＝＝4＋2 ”x，当Δx→0时，4＋2 ”x→4，所以f′(1)＝4.所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.【答案】 4x－y－2＝0[构建·体系]1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是________．【解析】 ∵＝＝5＋Δt，∴”t→0，＝(5＋Δt)→5(m/s)．【答案】 5 m/s2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a”t＋a( ”t)2，所以＝4a＋a”t，故当t＝2时，瞬时速度为Δt→0时→4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 23．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】 ＝＝＝，令Δx→0时，→－.∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.【答案】 x＋2y＋4＝04．已知f′(1)＝－2，则当Δx→0时，→________.【解析】 ＝2·当Δx→0时，→f′(1)，∴2·→2f′(1)＝2×(－2)＝－4.【答案】 －45．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．【解】 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所以所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
苏教版高中数学选修2-2第一章第一节《瞬时变化率—导数》课件(共40张PPT)
Q 割线 切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
（即 y) △x>0时,点Q位于点P的右侧
x
M
X0＋x x
△x<0时,点Q位于点P的左侧
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：
1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx))
2.1 2
（2）计算运动员在2s到2＋Δt s（t∈[2，2＋ Δt]）内的平均速度.
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
k
PQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
问题二：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋ 10， 试确定t＝2s时运动员的速度.
（1）计算运动员在2s到2.1s（t∈[2，2.1]） 内的平均速度.
v H 2.1 H 2 13.59m / s
高中数学 选修２-２
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问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？