时 瞬时变化率——导数
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2
1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第5章导数及其应用1、2瞬时变化率__导数提升训练苏教版选择性必修第一册
瞬时变化率——导数基础过关练题组一 曲线的割线、切线的斜率1.已知函数f (x )=x 2图象上四点A (1,f (1))、B (2,f (2))、C (3,f (3))、D (4,f (4)),割线AB 、BC 、CD 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )A.k 1<k 2<k 3B.k 2<k 1<k 3C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 22.过曲线y =x 2+1上两点P (1,2)和Q (1+Δx ,2+Δy )作曲线的割线,当Δx =0.1时,割线的斜率为 ;当Δx =0.001时,割线的斜率为 .3.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是-2,在点P 处的切线恰好过坐标原点,则实数c 的值为 .题组二 瞬时速度与瞬时加速度4.(2020江苏苏州中学高二下阶段调研)一个物体的位移s 关于时间t 的运动方程为s (t )=1-t +t 2,其中s 的单位:m,t 的单位:s,那么物体在t =3 s 时的瞬时速度是 ( )A.5 m/sB.6 m/sC.7 m/sD.8 m/s5.(2020江苏无锡一中高二下期中)一辆汽车做直线运动,位移s 与时间t 的关系为s =at 2+1,若汽车在t =2时的瞬时速度为12,则a = ( ) A.12 B.13 C.2 D.36.(2020江苏常熟高二下期中)火车开出车站一段时间内,速度v (单位:m/s)与行驶时间t (单位:s)之间的关系是v (t )=0.4t +0.6t 2,当加速度为2.8 m/s 2时,火车开出去 ( )A.32 s B.2 s C.52 s D.73 s7.(2020北京陈经纶中学高二下期中)若一辆汽车在公路上做加速运动,设t 秒时的速度为v (t )=12t 2+10,其中v 的单位是m/s,t 的单位是s,则该车在t =2 s 时的瞬时加速度为 .8.已知某物体的运动方程是s ={3t 2+2,0≤t <3,29+3(t -3)2,t ≥3,则该物体在t =1时的瞬时速度为 ;在t =4时的瞬时速度为 .9.航天飞机升空后一段时间内,第t s 时的高度为h (t )=5t 3+30t 2+45t +4,其中h 的单位为m,t 的单位为s .(1)h (0),h (1),h (2)分别表示什么?(2)求第2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.题组三导数的定义及其应用10.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为()A.f'(x0)=limΔt→0t(t0+Δt)-t(t0)ΔtB.f'(x0)=limΔt→0[f(x0+Δx)-f(x0)]C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)D.f'(x0)=t(t0+Δt)-t(t0)Δt11.汽车在笔直公路上行驶,如果v(t)表示t时刻的速度,则导数v'(t0) ()A.表示当t=t0时汽车的加速度B.表示当t=t0时汽车的瞬时速度C.表示当t=t0时汽车的位移变化率D.表示当t=t0时汽车的位移12.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=.13.函数f(x)=√t2+1在x=0处的导数为.题组四导数的几何意义14.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是()A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率15.已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是()A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)16.(2020江苏连云港智贤中学高二下月考)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则f(1)+f'(1)=.题组五求曲线的切线方程17.(2021江苏镇江八校高三上期中联考)曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程是()A.x-2y-1=0B.x+2y-1=0C.x-y-1=0D.x+y-1=018.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则()A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-119.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是.20.过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程为.能力提升练题组一瞬时速度与瞬时加速度1.(2020江苏无锡锡东高级中学4月线上检测,)若小球自由落体的运动方程为s(t)=12gt2(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为t,在t=2的瞬时速度为v2,则t和v2关系为()A.t>v2B.t<v2C.t=v2D.不能确定2.()一物体沿斜面自由下滑,测得下滑的位移s与时间t之间的函数关系为s=3t3,则当t=1时,该物体的瞬时加速度为()A.18B.9C.6D.3题组二导数的定义及其应用3.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二下质检,)已知函数f(x)可导,则limΔt→0t(1-Δt)-t(1)-Δt等于()A.f'(1)B.不存在f'(1) D.以上都不对C.134. (2019江苏南通启东中学高二下月考,)若函数f(x)满足f'(x0)=-3,则当h无限趋近无限趋近于.于0时,t(t0+t)-t(t0-3t)t5.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组三导数的几何意义6.(2020江苏南京中华中学高二上段测,)函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)为函数f(x)的导函数,则下列结论正确的是 ()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)7.(多选)(2021江苏无锡一中高三上10月检测,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-t(t)-t(t)的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强t-t弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则结论正确的是()A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强8.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是 ()A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(t1+t22)>t(t1)+t(t2)2D.f(t1+t22)<t(t1)+t(t2)2题组四求曲线的切线方程9.(2020江苏淮安淮阴中学高二下期末,)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为.10.(2019江苏南通海安中学高二下月考,)已知曲线f(x)=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A(1,1),若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,则所有满足条件的实数t组成的集合为.11.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1t,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率)答案全解全析 基础过关练1.A k 1=t (2)-t (1)2-1=4-1=3,k 2=t (3)-t (2)3-2=9-4=5,k 3=t (4)-t (3)4-3=16-9=7,则k 1<k 2<k 3,故选A. 2.答案 2.1;2.001解析 ∵Δy =(1+Δx )2+1-(12+1)=2Δx +(Δx )2,∴Δt Δt=2+Δx ,∴割线的斜率为2+Δx.当Δx =0.1时,割线的斜率为2+0.1=2.1. 当Δx =0.001时,割线的斜率为2+0.001=2.001. 3.答案 4 解析抛物线在点P处切线的斜率为k =limΔt →0ΔtΔt =limΔt →0[(-2+Δt )2-(-2+Δt )+t ]-(6+t )Δt=limΔt →0-5Δt +(Δt )2Δt=-5,因为点P 的横坐标是-2, 所以点P 的纵坐标是6+c , 故直线OP 的斜率为-6+t 2,根据题意有-6+t 2=-5,解得c =4.4.A 因为Δt Δt =t (3+Δt )-t (3)Δt=1-(3+Δt )+(3+Δt )2-1+3-9Δt=Δt +5,所以当Δt 无限趋近于0时,Δt +5无限趋近于5,即物体在t =3s 时的瞬时速度是5m/s,故选A.5.D 因为Δt Δt =t (2+Δt )-t (2)Δt=t (2+Δt )2+1-4t -1Δt=a Δt +4a ,所以当Δt 无限趋近于0时,a Δt +4a 无限趋近于4a ,所以汽车在t =2时的瞬时速度为4a ,即4a =12,解得a =3.故选D. 6.B 设当加速度为2.8m/s 2时,火车开出x s . 则Δt Δt =t (t +Δt )-t (t )Δt=0.4(t +Δt )+0.6(t +Δt )2-0.4t -0.6t 2Δt=0.4+1.2x +0.6Δt ,当Δt 无限趋近于0时,0.4+1.2x +0.6Δt 无限趋近于0.4+1.2x ,所以0.4+1.2x =2.8,解得x =2.故选B. 7.答案 2m/s 2解析 因为Δt Δt =t (2+Δt )-t (2)Δt=12(2+Δt )2+10-12×4-10Δt=12Δt +2,所以当Δt 无限趋近于0时,12Δt +2无限趋近于2,即物体在t =2s 时的瞬时加速度为2m/s 2.8.答案 6;6解析 当t =1时,Δs =3(1+Δt )2+2-3×12-2=3(Δt )2+6Δt , ∴Δt Δt=3Δt +6,∴limΔt →0ΔtΔt=6,即当t =1时的瞬时速度为6.当t =4时,Δs =29+3(4+Δt -3)2-29-3(4-3)2=3(Δt )2+6Δt , ∴ΔtΔt =3Δt +6,∴limΔt →0ΔtΔt=6,即当t =4时的瞬时速度为6.9.解析 (1)h (0)表示航天飞机发射前的高度;h (1)表示航天飞机升空后第1s 时的高度; h (2)表示航天飞机升空后第2s 时的高度.(2)航天飞机升空后第2s 内的平均速度为t (2)-t (1)2-1=5×23+30×22+45×2+4-(5×13+30×12+45×1+4)1=170(m/s).(3)第2s 末的瞬时速度为limΔt →0ΔtΔt =limΔt →0t (2+Δt )-t (2)Δt=lim Δt →05(2+Δt )3+30(2+Δt )2+45(2+Δt )+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=limΔt →05(Δt )3+60(Δt )2+225ΔtΔt=225(m/s).因此第2s 末的瞬时速度为225m/s . 10.A 由导数的定义知A 正确.11.A 由于v (t )表示t 时刻的速度,因此v'(t 0)表示当t =t 0时汽车的加速度,故选A. 12.答案 2解析 由题意得,Δy =f (1+Δx )-f (1)=a (1+Δx )+4-a -4=a Δx ,∴lim Δt →0ΔtΔt=a ,∴f'(1)=a =2. 13.答案 0解析 Δy =√(0+Δt )2+1-√0+1 =2√(Δt )2+1+1=2√(Δt )2+1+1,∴ΔtΔt =√(Δt )2+1+1,∴当Δx →0时,√(Δt )2+1+1→0,即limΔt √(Δt )2+1+1=0,∴f (x )在x =0处的导数为0,即f'(0)=0.14.D f'(x 0)的几何意义是函数y =f (x )的图象在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.15.A 由题意可知,f'(a ),f'(b ),f'(c )分别是函数f (x )在x =a 、x =b 和x =c 处切线的斜率,则有f'(a )<0<f'(b )<f'(c ),故选A. 16.答案 5解析 由导数的几何意义可得,f'(1)=1,又M (1,f (1))在切线上,所以f (1)=1+3=4,则f (1)+f'(1)=4+1=5.17.D 由题意得,f'(1)=lim Δt →0ΔtΔt=limΔt →0(1+Δt )-(1+Δt )2-1+1Δt=lim Δt →0(-Δx -1)=-1,所以曲线y =f (x )=x -x 2在点(1,0)处的切线方程为y =-1×(x -1),即x +y -1=0,故选D. 18.B 由题意得,f'(1)=limΔt →0ΔtΔt=lim Δt →0(1+Δt )2+t (1+Δt )+t -1-t -tΔt=limΔt →0(Δt )2+2Δt +t ΔtΔt=2+a.∵曲线y =f (x )=x 2+ax +b 在点(1,1)处的切线方程为3x -y -2=0, ∴2+a =3,解得a =1.又∵点(1,1)在曲线y =f (x )=x 2+ax +b 上, ∴1+a +b =1,解得b =-1, ∴a =1,b =-1.故选B. 19.答案 2x -y -1=0 解析设切点坐标为(x 0,y 0),y =f (x )=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔt →0t (t 0+Δt )-t (t 0)Δt =2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0. 20.答案 27x -4y -23=0和y =1 解析 Δt Δt=(t +Δt )3+1-t 3-1Δt=3t (Δt )2+3t 2Δt +(Δt )3Δt=3x Δx +3x 2+(Δx )2, 则limΔt →0ΔtΔt=3x 2,因此y'=3x 2. 设过点M (1,1)的直线与曲线y =x 3+1相切于点P (x 0,t 03+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率k =3t 02①,过点M 和点P 的切线的斜率k =t 03+1-1t 0-1②,由①-②得3t 02=t 03t 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k =0或k =274,因此过点M (1,1)且与曲线y =x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y -1=274(x -1)和y =1,即27x -4y -23=0和y =1. 易错警示要注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别,在某点处的切线中该点为切点,过某点的切线中该点可能是切点,也可能不是切点.能力提升练1.C t =t (3)-t (1)3-1=12t ×(32-12)2=2g ,因为Δt Δt =t (2+Δt )-t (2)Δt=12t (2+Δt )2-2t Δt=2g +12g Δt ,所以当Δt 无限趋近于0时,2g +12g Δt 无限趋近于2g ,所以v 2=2g ,即t =v 2.故选C. 2.答案 A信息提取 ①物体下滑位移s 与时间t 之间的关系式为s =3t 3;②求t =1时,该物体的瞬时加速度.数学建模 本题以物理中的瞬时加速度为背景构建函数模型,将物理中的瞬时加速度转化为数学中的瞬时变化率来求解.求解时可先由位移函数求得瞬时速度,再由瞬时速度求得瞬时加速度. 解析ΔtΔt =t (t +Δt )-t (t )Δt =3(t +Δt )3-3t 3Δt =9t 2+9t Δt +3(Δt )2,当Δt 无限趋近于0时,9t 2+9t Δt +3(Δt )2无限趋近于9t 2,即该物体的瞬时速度v 与时间t 的关系为v (t )=9t 2.Δt Δt=t (1+Δt )-t (1)Δt=9(1+Δt )2-9Δt=9Δt +18,当Δt 无限趋近于0时,9Δt +18无限趋近于18,所以当t =1时,该物体的瞬时加速度为18.故选A. 3.A 因为Δx →0,所以(-Δx )→0,所以lim Δt →0t (1-Δt )-t (1)-Δt =lim -Δt →0t (1-Δt )-t (1)-Δt =f'(1).故选A. 4.答案 -12解析 当h 无限趋近于0时,t (t 0+t )-t (t 0-3t )t =4×t (t 0+t )-t (t 0-3t )4t,因为f'(x 0)=-3, 所以lim t →0t (t 0+t )-t (t 0-3t )4t =-3, 所以lim t →0t (t 0+t )-t (t 0-3t )t =4×limt →0t (t 0+t )-t (t 0-3t )4t =-3×4=-12. 5.解析 f'(10)=1.5表示服药后10min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1min,血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/mL .f'(100)=-0.6表示服药后100min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1min,血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/mL.6.B 由题图可知,f (x )在x =2处的切线斜率大于在x =3处的切线斜率,且斜率为正, ∴0<f'(3)<f'(2), ∵f (3)-f (2)=t (3)-t (2)3-2,∴f (3)-f (2)可看作过(2,f (2))和(3,f (3))的割线的斜率,由题图可知f'(3)<f (3)-f (2)<f'(2),即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.7.ABC设y=-t(t)-t(t)t-t,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-t(t2)-t(t1)t2-t1,由题图易知y甲>y乙,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,A正确;由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,B正确;在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,C正确;由计算式-t(t)-t(t)t-t可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,D错误.8.AD由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率t(t1)-t(t2)t1-t2为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率t(t1)-t(t2)t1-t2为正,故B不正确;f(t1+t22)表示t1+t22对应的函数值,即图中点B的纵坐标,t(t1)+t(t2)2表示当x=x1和x=x2时所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f(t1+t22)<t(t1)+t(t2)2,故C不正确,D正确.故选AD.9.答案4x-y-2=0解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-x3-(a-1)x2-ax,即a=1,∴f(x)=x3+x,∴f'(1)=limΔt→0t(1+Δt)-t(1)Δt=lim Δt→0(1+Δt)3+(1+Δt)-2Δt=limΔt→0[(Δx)2+3Δx+4]=4,f(1)=2,∴曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y -2=4(x -1),即4x -y -2=0. 10.答案 {4} 解析 f'(1)=limΔt →0t (1+Δt )-t (1)Δt=limΔt →0t (1+Δt )2+t (1+Δt )+14-t -t -14Δt=lim Δt →0(2a +b +a Δx )=2a +b.因为曲线f (x )=ax 2+bx +14与直线y =x 相切于点A (1,1),所以{t +t +14=1,2t +t =1,解得{t =14,t =12,所以f (x )=(t +12)2,由f (x -t )≤x (1≤x ≤9)得(t -t +12)2≤x (1≤x ≤9),解得(√t -1)2≤t ≤(√t +1)2(1≤x ≤9),由此可得(√t -1)max 2=4≤t ≤(√t +1)min 2=4(1≤x ≤9), 所以所有满足条件的实数t 组成的集合为{4}.11.解析 由{t =t 2,t =1t ,得{t =1,t =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=limΔt →0t (Δt +1)-t (1)Δt =limΔt →0(Δt +1)2-12Δt=lim Δt →0(Δx +2)=2,g'(1)=lim Δt →0t (Δt +1)-t (1)Δt =lim Δt →01Δt +1-11Δt=lim Δt →0(-1Δt +1)=-1.所以两条切线的方程分别为y -1=2(x -1),y -1=-(x -1),即y =2x -1与y =-x +2,两条切线与x 轴的交点坐标分别为(12,0),(2,0),所以两切线与x 轴围成的三角形的面积为12×1×|2-12|=34.。
瞬时变化率
瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
导数——平均变化率与瞬时变化率
导数——平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】⼀. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率⼆. 本周教学⽬标：1、了解导数概念的⼴阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的⼏何意义．三. 本周知识要点：（⼀）平均变化率1、情境：观察某市某天的⽓温变化图2、⼀般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（⼆）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上⼀点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c⽆限地趋近于点P，割线PQ⽆限地趋近于某⼀极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为，即当时，⽆限趋近于点P的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某⼀时刻（某⼀位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某⼀点A处的瞬时速度的⽅法：要确定物体在某⼀点A处的瞬时速度，从A点起取⼀⼩段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表⽰物体经过A点的瞬时速度.当位移⾜够⼩时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．我们现在已经了解了⼀些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律⽤函数表⽰为s＝s（t），也叫做物体的运动⽅程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移⾜够⼩，现在位移由时间t来表⽰，也就是说时间⾜够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt⾜够短，就是Δt⽆限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率⽆限趋近于⼀个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度⽆限趋近于⼀个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．3、导数3、导数设函数在（a,b）上有定义，．若⽆限趋近于0时，⽐值⽆限趋近于⼀个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．⼏何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每⼀个，都对应着⼀个确定的导数，从⽽构成了⼀个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．【典型例题】例1、⽔经过虹吸管从容器甲中流向容器⼄，t s后容器甲中⽔的体积（单位：），计算第⼀个10s内V的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为即第⼀个10s内容器甲中⽔的体积的平均变化率为．例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为函数在[1，2]上的平均变化率为函数在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为例4、物体⾃由落体的运动⽅程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这⼀时段的速度.解：取⼀⼩段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）当Δt⽆限趋于0时，⽆限趋于3g＝29.4 m/s．例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越⼩，求出的越接近某时刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．（3） Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的⽅程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的⽅程．解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2∴切线的斜率为2．切线的⽅程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、⼀直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）A. 从时间到时，物体的平均速度；B. 在时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为时物体的速度；D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y＝2x2上⼀点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线⽅程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线⽅程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、⼀球沿⼀斜⾯⾃由滚下，其运动⽅程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求⼩球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）时，k＝∴点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线⽅程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－24、解：时，k＝∴切线⽅程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16∴时，y′|x＝3＝166、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s。
高二数学选修课件第章瞬时变化率导数
在求解一些优化问题时，可以利用微分进行近似计算，如求解最小 值、最大值等问题。
05
高阶导数及其性质探讨
Chapter
高阶导数定义及计算方法
高阶导数定义
高阶导数是指函数导数的导数，即多次求导得到的导数。例如，函数f(x)的一阶导数为f'(x)，二阶导数 为f''(x)，以此类推，n阶导数为f^n(x)。
最值
函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。通过求导并 令导数为零，可以求得函数的驻点，进而判断驻点是否为最值点。
极值
函数在某一点处的极大值或极小值称为该函数在该点的极值。极值是函数局部性 质的一种表现，通过研究函数的极值可以了解函数的整体性质。
04
微分概念及其在近似计算中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
Chapter
本章知识点总结回顾
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点处的瞬 时变化率，其几何意义是函数图 像在该点处的切线的斜率。
高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高 阶导数，表示函数的变化率的变 化率。
01 02 03 04
导数的计算法则
包括基本初等函数的导数公式、 导数的四则运算法则、复合函数 的求导法则等。
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则 f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数 ），则f'(x) = 0
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若f(x) = a^x（a > 0 ，a ≠ 1），则f'(x) = a^x ln a
瞬时速度和导数
9.8t0 6.54.9t
当t趋近0时 于，上式右边 9.8趋 t0近 6.5于 这就是说 t0， ，运 在动 时员 刻 的 9.8t0速 6.5） 度 m/s是 以上分析h表 （ t） 明 t在 0到 ， t0 函 t之数 间的平均
h（t0 t）h（t0） t
2.函 数 f(x)在 x=x0处 的 瞬 时 变 化 率 怎 样 表 示 ?
h一 （t0般 t地 ）h， （t0） 对任t0， 一也 时可 刻以计算出 度瞬 ：时速
t [104.（ 9 t0 t）2 6.（ 5 t0 t）][104.9t02 6.5t0]
t 24.9t0 t 4.（ 9 t）2 6.5t
在x=x0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
课堂小结
课本82 练习B 1,2
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解 (1 )原 ： l式 im f(x 0 x)f(x 0)lim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 ( x)
x 0
x
f'(x 0);
(2)原 式 limf(x0h)f(x0)[f(x0h)f(x0)]
当 t趋近 0时 于 ，趋于 9.8t0常 6.5数
我们把它称t0时 为刻的瞬时速度
一般地 ,函数y f x在xx0处的瞬时变化率是
limf x0 x f x0,我们称它为函数
x0
x
y f x在xx0处的导数
记 f'x 0 作 或 y '|x x 0 即 lx 0 if m x 0 x x fx 0 .
瞬时变化率——导数课件
随着数学与其他学科的交叉融 合，导数的应用将更加深入和 广泛，为解决实际问题提供更 加有效的工具。
THANKS
感谢观看
隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同 时求导来获得，注意处理复合变量和 函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重 要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可 以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是 通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描 述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润 、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解， 为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和 加速度，例如自由落体运动中，物体 的速度和加速度可以通过对高度关于 时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的 规律，例如在机械振动中，物体的振动频率 和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导 得到。
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课堂练习
• 1:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程y是什Q 么?
解 : P(1, 2), Q(1 x, (1 x)2 y 1=)x,2则+1 (1 x)2 1 2
kPQ (1 x) 1 2 x 当x无限趋近于0时, kPQ无限
y
P
M
x
1j
x
趋近于常数2
-1 O 1
第13页/共14页
课堂小结
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、求从 x0 起横坐标改变 x 时纵坐标的改变量 y
2、求yx 3、让 x无限趋近于0时，确定 y 无限趋近值（常
x
数A），常数A即为曲线C在点 Px0, y0 处的切线斜率。 4、利用点斜式求出切线的方程。
第14页/共14页
利用割线求切线
第8页/共14页
变式训练
变式:1.求 f
(x)
1 x2
过点(1,1)的切线方程
y 2x 3
（2）若曲线方程为y
3x2 2
1
3x
0 32
x
2
x2
求此曲线在x 1和x 3处的切线斜率。
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求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、求从 x0 起横坐标改变 x 时纵坐标的改变量 y
kPQ (x x) x
x
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(3)如何求切线的斜率?
y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
o
P
x
kPQ
f (x x) x
f (x)
当x无限趋近0时, kPQ就无限趋近点P处的切线斜率。
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例题讲解
例1、已知f (x) x2 2x，分别求曲线y f (x) 在x 1, x 0, x 1处的切线的斜率。
如右图所示，直线 l1, l2为经过
曲线上的一点 p的两条直线。
（1）试判断哪一条直线在点P 附 近更加逼近曲线。
（2）在点P附近你能作出一条
l 比 l1, l2 更加逼近曲线的直线
吗？
3
l1
l2
•p
（3）在点P附近你能作出一条比更 l1, l2 , l3
加逼近曲线的直线 l4吗？
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怎样找到在曲线上一点P处最逼近曲线的直线l ?
2、求yx 3、让 x无限趋近于0时，确定 y 无限趋近值（常
x
数A），常数A即为曲线C在点 Px0, y0 处的切线斜率。 4、利用点斜式求出切线的方程。
Vy y y0 Vx (x x0 ) y y0 A(x x0 )
割线方程 Vx 0 切线的方程
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例题讲解
例2、曲线y x3在点P处切线斜率为k,当k 12时, P点的坐标为_________ . 变式：求曲线y 3x2 2x在x 2处的切线方程， 并判断该切线是否过点（1，2）？
复习回顾:
1、平均变化率
一般的，函数 化率为
f
(
x)
在区间上[
x1
,
x2
]
的平均变
f (x2 ) f (x1)
x2 x1
曲线“陡峭”程度
函数变化快慢
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问问题题情2景高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单
位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
并思考下面的问题:
49
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
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问题思考
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里,
v h(0.5) h(0) 4.05(m/s); 0.5 0
v h(2) h(1) 8.2(m/s); 2 1
第2页/共14页
探 究:
பைடு நூலகம்
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
(1)概念:曲线的割线和切线 y=f(x) 割
y
线 Q
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
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(2)如何求割线的斜率?
y
y=f(x)
Q
f (x x) f (x)
P
o
x
x x x x
f (x x) f (x) f (x x) f (x)
所以点P(2, 4)处的切线斜率为2
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
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2．已知曲线 y 2x2 上一点 A(-1,2)，
求(1) 点 A 处的切线的斜率. K=-4 (2)点 A 处的切线的方程.
3．求曲线 y 2x2 1 在点 P(2，9)处的切 线方程．
K=8