瞬时变化率——导数

1.1.2瞬时变化率——导数

1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)

2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)

3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1曲线上一点处的切线

阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．

设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．

判断正误：

(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()

(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．()

【答案】(1)×(2)×

教材整理2瞬时速度与瞬时加速度

阅读教材P11～P12，完成下列问题．

(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0)

Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率

v (t 0＋Δt )－v (t 0)

Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加

速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

1．判断正误：

(1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)×

2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．

【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×3

2

Δt

＝18＋3Δt ，

当Δt →0时，Δs

Δt ＝18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数

阅读教材P 13～P 14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称

该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

(2)导数的几何意义

导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．导函数

若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．

1．判断正误：

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( )

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处切线的斜率．( )

(3)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在．( ) (4)若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在．( ) 【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．已知f (x )＝2x ＋5，则f (x )在x ＝2处的导数为________． 【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2(2＋Δx )＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴Δy

Δx ＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 2

3．函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f (4)＋f ′(4)＝________.

【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f (4)＝－2×4＋9＝1. 故f (4)＋f ′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －1

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________

解惑：_______________________________________________

[小组合作型]

(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －1

2

gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．

(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是__________．

【精彩点拨】 先求出Δs

Δt ，再求瞬时速度．

【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2

－? ????v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －1

2g (Δt )2，

∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－1

2g Δt ，

∴当Δt →0时，Δs

Δt →v 0－gt 0，即t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0. (2)∵当t ＝1时，Δs ＝2(1＋Δt )3－2×13 ＝2[1＋(Δt )3＋3Δt ＋3(Δt )2]－2 ＝2＋2(Δt )3＋6Δt ＋6(Δt )2－2 ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt ，

∴Δs Δt ＝2(Δt )3＋6(Δt )2

＋6Δt Δt

＝2(Δt )2＋6Δt ＋6，

∴当Δt →0时，Δs

Δt →6，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是6. 【答案】 (1)v 0－gt 0 (2)6

求运动物体瞬时速度的三个步骤：

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(2)求平均速度v＝Δs Δt；

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，Δs

Δt无限趋近于常数v，即为瞬时速

度．

[再练一题]

1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；

(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.

【导学号：01580003】

【解】(1)Δs

Δt＝

s(Δt)－s(0)

Δt

＝3Δt－(Δt)2

Δt＝(3－Δt)，当Δt→0时，3－Δt→3

即物体的初速度为3 m/s.

(2)Δs

Δt＝

s(2＋Δt)－s(2)

Δt＝

3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)

Δt＝

－(Δt)2－Δt

Δt＝－Δt－1，

当Δt→0时，－Δt－1→－1，

即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．

(3)v ＝

s (2)－s (0)2－0

＝

6－4－02＝1，

即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.

求函数y ＝4

x 2在x ＝2处的导数．

【精彩点拨】 【自主解答】 令f (x )＝4

x 2， 则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝

4(2＋Δx )2

－1＝

－4Δx －(Δx )2

(2＋Δx )2

，

∴Δy Δx ＝－4－Δx (2＋Δx )2，当Δx →0时，Δy Δx →－1，

∴函数y ＝4

x 2在x ＝2处的导数为－1.

由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

(3)Δx →0，得导数f ′(x 0)．

[再练一题]

2．求函数f (x )＝x －1

x 在x ＝1处的导数． 【解】 ∵Δy ＝(1＋Δx )－1

1＋Δx

－? ????1－11

＝Δx ＋1－

11＋Δx ＝Δx ＋

Δx 1＋Δx

，

∴Δy Δx ＝

Δx ＋Δx

1＋Δx Δx ＝1＋1

1＋Δx

， 当Δx →0时，1＋

11＋Δx

→2

∴函数在x ＝1处的导数等于2.

[探究共研型]

探究1 0P (x 0，f (x 0))处的切线方程是什么？

【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．

【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．

探究3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．

【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．

联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值．

已知曲线f (x )＝1x .

(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－1

3的曲线的切线方程．

【精彩点拨】 (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．

(2)设出切点坐标，由该点斜率为－1

3，求出切点，进而求出切线方程．

【自主解答】 (1)Δy Δx ＝1

x ＋Δx

－1x Δx

＝

－1(x ＋Δx )x

，当Δx →0时，Δy Δx →－1

x 2.

设过点A (1,0)的切线的切点为P ? ?

???x 0，1x 0，①

则f ′(x 0)＝－1x 20

，即该切线的斜率为k ＝－1

x 20

.

因为点A (1,0)，P ? ??

??x 0，1x 0在切线上， 所以

1

x 0－0x 0－1

＝－1

x 20

，②

解得x 0＝1

2.故切线的斜率k ＝－4.

故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.

(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ? ?

???a ，1a ，

由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－1

3，得a ＝±3. 所以切点坐标为? ????3，33或? ????

－3，－33.

故满足斜率为－1

3的曲线的切线方程为 y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－1

3(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝

0或x ＋3y ＋23＝0.

1．求曲线过已知点的切线方程的步骤

2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．

[再练一题]

3．已知抛物线y ＝2x 2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________.

【导学号：01580004】

【解析】 因为Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－2×1

2

Δx

＝4＋2Δx ，当Δx →0

时，4＋2Δx →4，所以f ′(1)＝4.

所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 【答案】 4x －y －2＝0

[构建·体系]

1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________．

【解析】 ∵Δs

Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32

)Δt

＝5＋Δt ，

∴Δt →0，Δs

Δt ＝(5＋Δt )→5(m/s)． 【答案】 5 m/s

2．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a ＝________.

【解析】 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，

所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故当t ＝2时，瞬时速度为Δt →0时Δs

Δt →4a ，所以4a ＝8，所以a ＝2.

【答案】 2

3．曲线f (x )＝2

x 在点(－2，－1)处的切线方程为________． 【解析】 Δy Δx ＝f (－2＋Δx )－f (－2)

Δx

＝

2－2＋Δx ＋1Δx

＝

1－2＋Δx

，

令Δx →0时，Δy Δx →－1

2.

∴切线方程为y ＋1＝－1

2(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0. 【答案】 x ＋2y ＋4＝0

4．已知f ′(1)＝－2，则当Δx →0时，

f (1＋2Δx )－f (1)

Δx

→________.

【解析】 f (1＋2Δx )－f (1)Δx ＝2·f (1＋2Δx )－f (1)

2Δx

当Δx →0时，f (1＋2Δx )－f (1)

2Δx →f ′(1)，

∴2·f (1＋2Δx )－f (1)2Δx →2f ′(1)

＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －4

5．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．

【解】 设切点为Q (a ，a 2

＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2

＋1)Δx

＝2a

＋Δx ，当Δx →0时，2a ＋Δx →2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0

a －1＝

2a ，解得a ＝1±2，所以所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．

我还有这些不足：

(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：

(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________