矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
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精品文档
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精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
矩阵的秩的性质总结
矩阵的秩的性质总结1. 什么是矩阵的秩?矩阵的秩是矩阵最重要的性质之一。
它是描述矩阵列空间的维度，也可以看作是矩阵中线性无关的列或行的数量。
对于一个 m × n 的矩阵 A，它的秩记作 rank(A) 或 r(A)。
矩阵的秩是矩阵A的最大非零子式的阶数。
2. 矩阵秩的性质性质1：矩阵的行秩等于列秩对于任意 m × n 的矩阵 A，它的行秩和列秩是相等的，即 rank(A) = rank(A^T)，其中 A^T 表示 A 的转置矩阵。
性质2：矩阵的秩不超过它的维数对于任意 m × n 的矩阵 A，它的秩不会超过它的行数和列数中的较小值，即rank(A) ≤ min{m, n}。
性质3：矩阵的零空间维数等于它的列数减去秩对于一个 m × n 的矩阵 A，它的零空间维数等于 n - rank(A)，其中 n 为矩阵 A的列数。
性质4：矩阵的秩可能受大小变化的影响矩阵的秩在进行大小变化时可能发生变化。
例如，如果一个矩阵 A 的某一行乘以一个非零数，那么这个矩阵的秩不会改变。
性质5：矩阵乘法中秩的关系对于两个矩阵 A 和 B，我们有以下关系：rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。
3. 矩阵秩的应用解线性方程组矩阵的秩在解线性方程组时起到了重要的作用。
通过求解矩阵 A 的秩和增广矩阵的秩，可以判断线性方程组的解的情况。
线性相关性与线性无关性矩阵的秩可以用来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
一个向量组的秩等于向量组中线性无关向量的最大个数。
求矩阵的逆对于一个方阵 A，如果它的秩等于它的行数（或列数），那么它是一个可逆矩阵，可以求出它的逆矩阵。
矩阵的相抵标准形矩阵的秩可以用来推导矩阵的相抵标准形。
相抵标准形是矩阵在初等行变换和初等列变换下的标准形式。
结论矩阵的秩是矩阵理论中一个非常重要的概念。
它能够帮助我们理解矩阵的性质，并在线性方程组求解、线性相关性判断、矩阵逆的求解等问题中发挥重要作用。
秩不等式证明总结
秩不等式证明总结秩不等式证明是初中高中数学中常见的一道题目，对于广大学生而言，掌握它的证明方法可以提高解题的效率，同时也可以深入理解向量和矩阵的重要性质。
以下是一篇关于秩不等式证明的总结。
一、初始条件秩不等式证明的各项变量有$A_{m\times n}$，$B_{n\times p}$和$C_{m\times p}$，且$rank(A_{m\times n})=m$，$rank(B_{n\times p})=n$。
需证明$rank(C_{m\times p})\leqslant n$。
二、辅助条件由于$rank(A_{m\times n})=m$，则$A_{m\times n}$各行向量线性无关。
设$A_{m\times n}$的前$k$列为$A_k$，$k\leqslant n$，则$A_k$的各行向量线性无关。
同理，$rank(B_{n\times p})=n$可得，$B_{n\times p}$的前$l$列为$B_l$，$l\leqslant p$，$B_l$的各列向量线性无关。
三、证明过程1.构造辅助矩阵$D_{k\times l}$，$D_{k\times l}=A_kB_l$，即$D_{k\times l}$的第$i$行第$j$列元素为$A_k$的第$i$行向量与$B_l$的第$j$列向量的内积。
2.对$D_{k\times l}$的各行向量做线性组合，得到：$$(t_1,t_2,\cdots,t_k)D_{1\timesl}+(t_1',t_2',\cdots,t_k')D_{2\timesl}+\cdots+(t_s,t_{s+1},\cdots,t_k)D_{s\times l}=0$$ 其中，$t_1,t_2,\cdots,t_k$不全为零。
3.设$C_{m\times p}$的前$s$列为$C_s$，$s\leqslant p$。
由于$B_l$的各列向量线性无关，因此可知$D_{1\times l},D_{2\times l},\cdots,D_{s\times l}$的各列向量线性无关，即它们的秩为$s$。
秩不等式总结
秩不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它表述了矩阵的秩与其行数、列数和子矩阵之间的关系。
以下是秩不等式的几个重要结论：
1. 秩不等式（Rank Inequality）：设A为m×n矩阵，则A的秩r(A)满足：
r(A) ≤ min(m,n)
这个不等式表明矩阵的秩总是小于或等于其行数和列数中的较小值。
2. 行列式不等式（Determinant Inequality）：设A为n阶方阵，则A的行列式|A|满足：
|A| ≤ n!r(A)
这个不等式表明矩阵的行列式值总是小于或等于其秩乘以n的阶乘。
3. 极分解不等式（Spectral Decomposition Inequality）：设A为n阶方阵，则存在一个正交矩阵U和实对称矩阵V，使得A=UV，且满足：
r(A) = r(U) + r(V)
这个不等式表明矩阵A的秩等于其极分解中正交矩阵U和实对称矩阵V的秩之和。
4. 奇异值不等式（Singular Value Inequality）：设A为m×n矩阵，则A的奇异值σ(A)满足：
σ(A) ≤ ||A||_F ≤ ||A||_2 ≤ r(A)
这个不等式表明矩阵的奇异值总是小于或等于其Frobenius范数、谱范数和秩中的最小值。
这些秩不等式在矩阵理论中有着广泛的应用，如矩阵分解、特征值计算、数值稳定性分析等。
矩阵秩常用公式和结论证明
矩阵秩常用公式和结论证明
1. 矩阵秩有以下性质：
（1）矩阵Ａ的秩等于其列向量组的极大线性无关组中向量的
个数，也等于其行向量组的极大线性无关组中向量的个数。
（2）矩阵Ａ的秩等于其非零子式（行列式不为0的子矩阵）
的最高阶数。
（3）如果Ｒ（Ａ）＝ｒ，则Ａ可以表示为ｒ个秩为１的矩阵
之和，即Ａ＝Ａ１＋Ａ２＋…＋Ａｒ。
其中，Ａ１、Ａ２、…、Ａｒ都是秩为１的矩阵。
2. 计算矩阵秩的常用公式
（1）初等变换法：对矩阵进行初等变换，使其化为阶梯形矩阵，阶梯上非零行数就是矩阵的秩。
（2）行列式法：计算矩阵的所有阶数的子式的行列式，其中
最高阶数的非零子式的阶数就是矩阵的秩。
（3）矩阵秩的性质法：通过矩阵秩的性质使用相关公式求解。
（4）Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元及矩阵初等变换的
方法将矩阵化为行最简形矩阵，其行数即为矩阵的秩。
以上是矩阵秩常用公式和结论的介绍，希望能对您有所帮助。
矩阵的秩及性质小结
§2矩阵的秩定义4在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行与k 列()n k m k ≤≤,，位于这些行列交叉处的2k 个元素，不改变他们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式。
n m ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k n k mC C ⨯个。
现在观察行阶梯形矩阵4B 的子式。
取4B 的第1，第2，第3行和第1，第2，第4列，得三阶非零子式100110111；而它的任一四阶子式都因含有非零行而成为0,。
换言之，4B 中非零子式的最高阶数是3.同样5B 中非零子式的最高阶数也是3。
引理设rA B ，则A 与B 中非零子式的最高阶数相等。
定义5设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全都等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A)。
并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A 中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R(A)就是A 的非零子式的最高阶数。
由于R(A)是A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则s A R ≥)(；若A 中所有t 阶子式全为0，则)(A R <t。
显然，若A 为n m ⨯矩阵，则{}n m A R ,min )(0≤≤。
由于行列式与其转置行列式相等，因此T A 的子式与A 的子式对应相等，从而)()(A R A R T =。
对于n 阶矩阵A，由于A 的n 阶子式只有一个A ，故当0≠A 时n A R =)(，当0=A 时R(A)<n。
可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。
定理2若A～B，则)()(B R A R =。
推论若可逆矩阵P,Q 使得PAQ=B,则)()(B R A R =.例5求矩阵A 和B 的秩，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41461351021632305023*********B A ，.例6设,43216063324208421221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。
矩阵秩不等式
矩阵秩不等式
矩阵秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它描述了一个矩阵的秩是如何影响其行列式的值或可逆性的。
直观来讲，矩阵秩不等式说明了一个矩阵的秩会影响其行列式的值，从而影响矩阵的可逆性；也就是说，如果矩阵的秩比它的列数小，那么矩阵的行列式的值就会减小，最终导致矩阵不可逆；反之，矩阵的秩不小于它的列数，则矩阵就是可逆的。
矩阵秩不等式可以用数学语言来表达：秩(A)<=数列数(A)，其中A是一个m × n矩阵（m
＜n）。
其中秩(A)代表矩阵A的秩，数列数(A)代表矩阵的列数或行数。
矩阵秩不等式可以用来计算矩阵的可逆性。
依据此不等式，如果一个矩阵A的秩等于它的列数或行数，则说明该矩阵是满秩矩阵，也就是说，该矩阵是可逆的；如果一个矩阵A的秩小于它的列数或行数，则说明该矩阵是部分满秩矩阵，也就是说，该矩阵不可逆。
因此，我们可以根据矩阵秩不等式来判断矩阵的可逆性。
矩阵秩不等式不仅可以用来判断矩阵的可逆性，同时还可以用来解决当一个矩阵的行列式值和可逆性都知道的时候，它的秩是多少的问题。
解决这类问题时，就可以用矩阵秩不等式了，因为它指明了行列式值和矩阵的可逆性之间的联系，并且可以让我们用一种说到就行的方式表达这种联系。
总而言之，矩阵秩不等式是一个重要的定理，它可以帮助我们正确判断出矩阵的可逆性，也可以用来计算出一个矩阵的秩。
矩阵秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它的正确运用对于理解矩阵的可逆性及其应用非常重要。
关于矩阵秩的不等式大全
关于矩阵秩的不等式大全矩阵秩是线性代数中一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
关于矩阵秩的不等式有很多，这些不等式在不同的情境下有着不同的意义和应用。
我将从不同的角度来介绍一些与矩阵秩相关的不等式。
首先，我们来看矩阵秩的基本性质。
对于一个m×n的矩阵A，它的秩r满足0 ≤ r ≤ min(m, n)。
这个不等式告诉我们矩阵秩的取值范围。
其次，我们可以介绍矩阵秩与矩阵的转置和逆的关系。
对于一个n阶方阵A，有r(AB) ≤ min(r(A), r(B))，r(A^T) = r(A)，r(AA^(-1)) = r(A^(-1)A) = n。
这些不等式告诉我们矩阵秩在矩阵乘法、转置和逆运算中的性质。
另外，还有一些与矩阵秩相关的不等式在矩阵分解和特征值分解中有着重要的应用。
例如，对于一个n×n的对称矩阵A，有最小特征值λ_min ≤ r(A) ≤ λ_max，其中λ_min和λ_max分别是A的最小特征值和最大特征值。
这个不等式告诉我们矩阵秩与特征值之间的关系。
此外，在线性方程组的求解中，矩阵秩也有着重要的作用。
例如，对于一个m×n的系数矩阵A，如果r(A) = r(A|b)（增广矩阵A|b的秩），则方程组有解；如果r(A) ≠ r(A|b)，则方程组无解。
这个不等式告诉我们矩阵秩与线性方程组解的存在性和唯一性之间的关系。
总之，矩阵秩的不等式涉及到线性代数的各个方面，它们在矩阵理论、线性方程组、特征值分解等各个领域中都有着重要的应用。
通过深入理解和运用这些不等式，可以更好地理解和应用矩阵秩的概念。
与矩阵的秩有关的结论
与矩阵的秩有关的结论矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要的概念，它可以帮助我们了解矩阵的性质和特征，为矩阵的计算和应用提供了有力的工具。
在本文中，我们将介绍与矩阵的秩有关的一些重要结论和定理。
1.矩阵秩的定义矩阵的秩，也称为矩阵的秩数，是指矩阵中非零元素所在的行和列向量的最大线性无关组数。
其他的行和列向量都可以由这些线性无关组线性组合而成。
例如，在一个2行3列的矩阵中，如果其中有两行向量是线性相关的，那么它们中必然会有一行是另一行的倍数，因此这两行向量中只能算作一个线性无关组，矩阵的秩就是1。
如果这两行向量是线性无关的，那么它们就可以算作两个线性无关组，矩阵的秩则是2。
2.矩阵秩的性质矩阵秩具有以下性质：(1)矩阵的秩不会超过它的行数和列数的最小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。
(2)矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相同，即rank(A) = rank(AT)。
(3)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C左右拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和减去它们的公共部分的秩，即rank(A) ≥ rank(B) + rank(C) - rank(B ∩ C)。
(4)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C上下拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和，即rank(A) ≥ rank(B) +rank(C)。
(5)对于任意矩阵A、B和C，如果满足A = BC，那么rank(B) + rank(C) - rank(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数。
这些性质可以帮助我们更加深入地理解矩阵秩的本质和特点，并且提供了在矩阵计算和应用中进行推导和判断的依据。
3.矩阵秩与矩阵求逆多实际应用中的问题。
矩阵是否有逆，以及如何求出矩阵的逆，与矩阵的秩有密切的关系。
对于一个n阶可逆矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的秩必然是n，因为n阶可逆矩阵的秩就是n。
另外，我们还可以通过计算矩阵的伴随矩阵来求出矩阵的逆，公式为A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵，det(A)是矩阵A的行列式。
秩的知识点总结
秩的知识点总结1. 矩阵的秩在线性代数中，一个矩阵的秩是指该矩阵列向量的最大线性无关组的大小。
换句话说，一个矩阵的秩是它的列向量的最大线性无关组的数量。
矩阵的秩通常用小写字母“r”表示。
2. 矩阵的行秩和列秩一个矩阵的秩可以通过它的行和列来计算。
矩阵的行秩是指该矩阵的行向量的最大线性无关组的数量，而矩阵的列秩是指该矩阵的列向量的最大线性无关组的数量。
一个矩阵的行秩和列秩是相等的。
3. 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩也可以用来求解线性方程组。
例如，对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，可以使用矩阵的秩来判断方程组的解是否存在以及解的个数。
4. 矩阵的秩与逆矩阵一个方阵的逆矩阵存在的必要条件是方阵的秩等于它的阶数。
因此，计算矩阵的秩可以帮助我们判断一个方阵是否有逆矩阵，并且可以帮助我们求解逆矩阵。
5. 矩阵的秩与特征值矩阵的秩也与特征值有关。
一个方阵的秩等于它的非零特征值的个数。
因此，矩阵的秩可以帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。
6. 矩阵的秩与奇异值分解矩阵的秩还与奇异值分解有关。
奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积的方法，其中一个是秩为r的对角矩阵。
因此，矩阵的秩可以帮助我们进行奇异值分解。
7. 矩阵秩的计算方法求解矩阵的秩有多种方法，包括高斯消元法、矩阵的行化简、矩阵的列化简和矩阵的特征值分解等方法。
8. 矩阵秩的应用领域矩阵的秩在科学和工程领域有着广泛的应用，包括在控制理论中的状态空间表示、计算机图形学中的图像处理、机器学习中数据分析和模式识别等领域。
在工程领域，矩阵的秩被用来描述有限元分析中的刚度矩阵和质量矩阵、电路分析中的导纳矩阵和励磁矩阵、化学工程中的化学反应平衡和化学反应速率等问题。
在研究领域，矩阵的秩被用来描述在复杂网络和生物信息学中的数据分析、社会科学中的调查数据分析、金融工程中的风险分析和投资组合优化等问题。
总之，矩阵的秩是一个在数学以及多个科学和工程领域中都具有重要意义的概念。
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矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。