矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 （莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一 基本的定理 1 设A是数域P上nm矩阵，B是数域上ms矩阵，于是 秩（AB）min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2 设A与B是mn矩阵，秩（AB）秩（A）+秩（B） 二 常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量， 从而B的列向量组的秩n-r,即r（B） n-r 所以 r(A) + r(B) n
2设A为mn矩阵，B为ns矩阵，证明不等式r(AB)r(A)+r(B)-n
证：设E为n阶单位矩阵， SE为S阶单位方阵，则由于
000SEBAABAEEEB 而 0SEBE 可逆，故 r(A)+r(B) 秩 0AEB =秩 0AABE=秩 00ABE =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) r(A) + r(B) - n
3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）
证：因为0AEBEBE00BE00ABEBE 故秩（AB-E）秩00ABEBE秩0AEBEBE =秩（A-E）+秩（B-E） 因此 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）
4 设A，B，C依次为,,mnnsst的矩阵，证明 r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 ,stEE分别为，s,t阶单位矩阵，则由于 0ABABCB0stECE0ABBBC 且0stECE是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)秩0ABBBC=秩0ABABCB=秩00ABCB = r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二 r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一
r( A ) + r( B ) 6 设A，C均为mn矩阵，B，D均为ns矩阵，证明 r（ A B – C D） r（ A-C） + r（ B - D）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
000mnECACEBD0nsEBE=0ACABCDBD
由此易知r（A-C）+r（B-D）=r0ACABCDBD r(AB-CD)
从而得r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D） 三 不等式等号成立的探讨
1 设A，B分别为mn和nm矩阵，则rAB=rA+rB-n的充分条件为： A0A0r=rEB0B
证明：由 E-AA0E-B0-ABE-B0-AB==0EEB0EEB0EE0
得：
A00-ABr=rEBE0
0-ABA0r=rAB+nr=rA+rBE0EB又，
rAB=rA+rB-n
2 设A，B分别为mn和nm矩阵，则rAB=rA+rB-n的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得nXA+BY=E 证明：根据题三 1，只需要证明
nXA+BY=EA0A0r=rXYEB0B存在、，使得 mnnnnmm
n
E0A0E0E0A0
=-XEEB-YE-YE-AXBA0E-XA-BYB由
当 nXA+BY=E 时，A0A0r=rEB0B rAB=rA+rB-n
12200,0000rSEEAQPBQ1设 P 1122
000000PQA
PQB
则
1122
0000PAQ
PBQ
1122
00PAQ
PBQ
00000000000000rSE
E
（1）
1122
00000PQA
PQEB
11222
000PAQ
PPBQ
112122
0PAQ
PQPBQ
12340000000000rSE
CCECC
（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C，2C，3C，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C，2C，3C时也消去了4C，对式（2）右端分块记为120FCF 其中1F=00rEC， 2F=00SEC， C=1234CCCC 于是上述消去1C的行变换相当于 1000C000rE
1234CCCC2
34
0C
CC
消去其余234,,CCC有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使 S1F=T2F+C=0，即1122210SPAQPBQTPQ
从而有 令
得 nXABYE
3 设 A，B，分别为 ,,mnnllm矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y 使得rXAHLCYE 证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B) r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
矩阵X,Y 使得 rXAHLCYE
所以 3得证
4 设A为n阶矩阵，证明如果 2A = E，那么r（ A + E ） + r（ A – E ）= n
证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 r（ A + E ）+ r（ A – E ） n r( A + E ) + r( A – E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)
2A = E
矩阵加法秩不等式证明
矩阵加法秩不等式证明本文将证明一个矩阵加法秩不等式，即对于任意两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。
首先，我们可以将A和B按列拼接成一个新的矩阵C，即C = [A|B]。
因此，我们可以将A+B表示为C乘以一个向量[1;1]，即(A+B) = C[1;1]。
接下来，我们考虑对C进行列变换，使得C的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量为线性相关。
这可以通过对C进行初等列变换实现，而不改变矩阵乘积C[1;1]的值。
我们将变换后的矩阵记为C'，则C'的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量都可以表示为前面列向量的线性组合。
因此，我们可以将C'表示为C' = [A'|B']，其中A'为C'的前rank(A)列，B'为C'的后面的列向量。
现在，我们将C'乘以向量[1;1]，即有(A+B) = C'[1;1]，而C'的第i+1列可以表示为A'的线性组合，因此可以得到：(A+B) = C'[1;1] = A'[1;1] + B'[1;1] = A[1;1] + (B-A')[1;1]由于B-A'的每一列都可以表示为A和B的对应列的线性组合，因此B-A'的秩不超过rank(B)+rank(A')，即rank(B-A') ≤rank(B)+rank(A')。
因此，我们可以得到：rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B-A') ≤rank(A)+rank(B)+rank(A') ≤ rank(A)+rank(B)因此，我们证明了矩阵加法秩不等式。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
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1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》
矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。
矩阵不等式
矩阵不等式矩阵不等式在近几年的高考中是一个热点，它常与导数、数列相结合。
通过学习掌握解答此类问题的基本思想和方法对今后的学习很有帮助。
所谓“矩阵”就是含有未知数的方程组，而不等式就是一种方程组。
把矩阵写成方程组来研究具体的不等式是非常简便易行的办法。
矩阵的秩即是不等式的解集，当然矩阵的秩越大解集也就越大了。
因为每个矩阵都包含两个元素，所以每个矩阵都至少有一个零向量。
任何满足条件的多项式都能表示为不等式组的形式，这些多项式称为函数。
如果仅仅根据多项式的系数和不等式的解集的关系，我们可以找出许多不等式，但这样做太麻烦了，还容易产生误解。
因此，人们希望寻找更简单的方法来确定方程组的系数和不等式的解集。
一般地说，要使用数值方法。
其实数值方法的原理并不复杂，主要涉及的计算方法有迭代法、牛顿法、插值法、数值积分法等。
用这些方法处理求不等式的解集是十分直观、迅速的，从而显著提高了运算效率。
矩阵不等式的求解属于求函数的极值或最值，一般情况下求解较为困难，特别是选择适宜的初始值、求解过程中的迭代步骤、代入方法以及解决可行性问题的变换手段等。
解答这类问题时，首先要明确已知量与待求量的范围，也就是问什么？求哪些量？怎么去求呢？总的原则：能用初等变换化为已知量的等价或不等式，尽量利用初等变换；若不能转化则将待求量代入原方程组，再判断原方程组是否有实数根。
遇到二次不等式，应分类讨论，不能一刀切，特殊情况除外。
如果你觉得有用请记得收藏哦！谢谢！首先应注意不同级别之间的关系，对于复杂方程组，需采用列写一般的线性方程组的方法（本节没有介绍），反之比较简单。
矩阵不等式的数学模型：令 v 是一个方程组 ax= b 的一个系数矩阵，则ax= b 关于不等式 p (a>0)有下面的基本结论：1. a≥0时， p (a<0)=0。
2.当a≤0且 a＞0时，p (a)≤0；当 a＜0时，p (a)≥0。
3. a≥0时，p (x<0)≥0。
矩阵右半张量积的秩及其相关不等式
１ 预 备 知 识
矩 阵 的右 半张 量积 是一 种 Ａ的列和 Ｂ的行 满足倍 维 数条 件 时 的矩 阵乘 法 运算 ． 用符 号 。 表示 右半 张 量积 符号 ， ， 表示 Ｐ 阶单位 矩 阵 ， 表 示张 量积 ，（ 表示 矩 阵 Ａ的秩 ． Ａ的列 和 的行分 别为 ｍ 和 ｎ ｏ ｒ Ａ） 设 ， ｍ—ｎ ｐ时 ， 为 Ａ＞ｐ ｍ — ｎ 记 Ｂ， ｐ时 ， 记为 Ａ＜ｐ 下 面 给 出 Ａｏ 的定义 ： ．
维普资讯
５ ８
聊 城 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第 ２ 卷 １
推论 ２ Ａ＞ｐ 曰时 ， ｃ为 × 矩 阵 ， 设 并且 ｒ ｃ （ ）一 ｒ， ｒＣ（ 。则 （ ａｏ曰） ≥ ｒ ＋ ｒ 一 ｍ， ） ０ Ａ＜ Ｂ时 ， 设 ｃ为 Ｓ× ｍｐ矩 阵 ， 且 ｒ ｃ 并 （ ）一 ｒ ， ｒ Ｃ ａｏ曰 ） ｒＰ＋ ｒ 一 ｍｐ 。则 （ （ ） ≥ 。 ． 证 明 由定理 ６和定 理 ３可直 接得 到 定理 ７ Ａ为列 满秩矩 阵 ， （ ）一 ｒ 则 ｒＡｏ曰 ｒ曰 （ ）一 ｒＰ Ａ ＞ ｒ Ａｏ曰）一 ｒＡ＜ ｐ ． ｚ Ｂ， （ Ｂ
Ｊｎ ０８ ｕ ．２ ０
矩 阵 右半 张量 积 的秩 及 其 相 关 不 等 式
宋彩芹 赵建立 李聪 慧
（ 城大学 数学科学学院 ， 聊 山东 聊 城 ２２ ５ ） ５ Ｏ ９
摘 要
给 出 了两个矩 阵做 右半 张量积后 矩 阵的秩 ， 且讨 论 了相 关的秩 的 不等 式． 并
3.5 行列式与矩阵的秩
0 B
注 1884年, Sylvester首先证明了该不等式.
行列式与矩阵的秩
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例3.19 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 A, 证明
rank A rank(E A) n .
行列式与矩阵的秩
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内容小结
1. 矩阵秩的定义: 等价标准形中1的个数.
2. 矩阵秩的等价定义: 非零子式的最高阶数. 3. 求矩阵秩的方法 (1) 对矩阵做初等行变换化为阶梯矩阵, 阶梯矩阵中非零行的数目就是矩阵的秩. (2) 寻找矩阵中非零子式的最高阶数. 4. 矩阵秩的一些等式和不等式.
行列式与矩阵的秩
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假如阶梯矩阵 A 有 r 个非零行, 那么 A 的秩等于 r , 并且
A 有一个 r 阶子式不为零, 而所有的 r 1 阶子式全为零,
于是 A 中阶数大于 r 的子式都为零, 因此阶梯矩阵 A 的
秩等于 A 中非零子式的最高阶数.
规定零矩阵的非零子式的最高阶数为0. 定理3.19 矩阵 A 的秩等于 A 的非零子式的最高阶数. 注 1879年, Frobenius 给出了矩阵秩的上述定义.
行列式与矩阵的秩
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注 1. 若 A 中有一个 s 阶子式不为零, 则 rank A s.
若 A 中所有 t 阶子式全为零, 则 rankபைடு நூலகம்A t.
2. rank A r 说明 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零,
并且所有的 r 1 阶子式全为零, 即所有阶数大于
r 的各阶子式全为零.
max{rank A, rank B} rank[A B].
行列式与矩阵的秩
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应用分块倍加行变换可得
矩阵的秩课件
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
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详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
有关矩阵秩的重要结论
r ( B ) r ( AK ) r ( K )
由 K sr 知, r ( K ) r .
r(K ) r.
综上， r ( K ) r .
7
（反证法） 假若 1 , 2 , , r 线性相关，
则存在不全为零的数 k1 , k 2 , , k r 使得 k1 1 k 2 2 k r r 0 成立，
例8：书p106 / 3.24 例9：书p106 / 3.25
12
k1 k 2 0 即 ( 1 , 2 , , r ) 又 B AK , kr k1 k 2 0 （思路： 1 , 2 , , s 无关） 有 ( 1 , 2 , , s ) K 找矛盾，推相关。 kr 8
(2) Ann 下列说法等价
A 是可逆矩阵 A 0
A 是非奇异矩阵 A 是满秩矩阵
r ( A) n
11
四、正交化与正交矩阵
1. 正交化、单位化
2. 正交矩阵 A
AT A E
A 的n个列（行）向量组为单位正交向量组
A 1 AT A 1
A 也是正交矩阵
T
A, B 是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵
若 Am n Bn l Om l，则 R ( A ) R ( B ) n .
1
例：设 A是n阶矩阵 A的伴随矩阵， n 2,
n , 若 r ( A ) n; 证明： ( A ) 1, 若 r ( A ) n 1; r 0, 若 r ( A ) n 1.
综上，r ( E AB ) r ( E AB ) n
第三章-矩阵的秩
的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式
线性代数——第 3章
1 0 例7 求矩阵A = 2 3
1 1 1 −1 3 a 5 1
1 b 的秩, 其中a, b为参数. 4 7
线性代数——第 3章
三、矩阵秩的性质
( 1)
(2 )
R ( AT ) = R ( A )
线性代数——第 3章
定义2 定义2
设在矩阵中有一个不等于 的 阶子式 阶子式D， 设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式 ，且 有一个不等于
所有r 所有 + 1阶子式（如果存在的话）全等于 ，那么 阶子式（如果存在的话）全等于0 那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式， 称为矩阵 的秩， 称为矩阵A的秩 称为矩阵 的最高阶非零子式，数r称为矩阵 的秩， 记作R (A)， 并规定零矩阵的秩等于零 记作 ， 并规定零矩阵的秩等于零.
线性代数——第 3章
§3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、矩阵秩的性质 小结、 四、小结、思考题
线性代数——第 3章
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 梯形， 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
线性代数——第 3章
解
r1 ↔ r4 r2 − r4
r3 − 2r1 r4 − 3r1
6 4 −4 −1 1 3 1 −1 0 − 4 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12
线性代数——第 3章
r3 − 3r2
r4 − 4r2
1 6 − 4 −1 4 1 − 1 0 − 4 3 0 0 0 4 − 8 0 0 0 4 − 8
矩阵秩Frobenius不等式几种证明方法
Ｅ ｌ ＂ 为Ｐ 到Ｐ 上的变换 ， 并且对任意 的 Ｏ Ｌ
， 有 （ Ｏ １ ）＝Ｂ ａ ，
由
ｒ （ Ａ ）＋ ｒ （ ＢＣ）
尝
可 逆 矩 阵 。
则 （ （ Ｏ ／ ｌ ， Ｏ ｔ ２ ， ・ 一， Ｏ ／ ， ） ）： （ （ Ｏ ｔ １ ） ， （ Ｏ ／ ２ ） ， …， （ ｄ ， ） ） 。
矩 阵运算 叫 Ｊ ， 町把 这些 小矩 阵 当作 元素 一样来 处理 。在分 块
之 ， 矩 阵 间 的相 互 关 系简 洁 清 晰 。 与 其 它 方 法 相 比 ， 矩 阵 分
１ ． ３ 线 性 空 间维 数 比较 法 齐次线性方程组 Ａ ｘ ＝０的解 空 间 的 维数 与 系 数 矩 阵 Ａ
中图分 类号 ： ０ １ ５ １ ． ２
文献标识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ８ — ８ ４ ５ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６～ ０ ０ ２ ２ — ０ ２
０ 引言
矩阵的秩是矩阵数量特征 ， 初 等变换下 的不变 量 ， 它 广 泛
且 『 】 ，
ｒ （ Ａ Ｂ Ｃ ）≥ ｒ （ ４ ）＋ｒ （ Ｂ Ｃ ）一ｒ （ Ｂ ）
即 ｒ （ Ａ Ｂ Ｃ）≥ ｒ （ Ａ Ｂ）＋ｒ （ Ｂ Ｃ）一ｒ （ ） （ ３ ）
同时促使代数理论 知识 完善。
１ 矩阵 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 秩不 等式 的证 明
１ ． １ 分 块 矩 阵 法
矩 阵分块是把一个 大矩 阵看成 是 由一些 小矩 阵构 成 ， 在
令卢： ｌ Ｏ ｔ ｌ＋ｋ ２ Ｏ Ｚ ２＋… ＋ｋ ｒ Ｏ ｔ ， 为线性变换 ， 则：
Ｏ Ｌ＝ ｒ ， （ Ｉ Ｂ ）＝ｒ 厂 （ ｋ １ ｌ ＋ｋ ２ Ｏ ｔ ２＋‘ ・ 。 ＋ ）