Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件_毕业论文

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frobenius不等式

frobenius不等式
弗罗贝尼乌斯不等式（Frobeniusinequality）亦称西尔维斯特不等式，是一种特殊不等式，指矩阵乘积的秩与其因子的秩之间的重要关系式。

设矩阵A和B是可乘的，而B和C是可乘的，则r （ABC）≥r（AB）+r（BC）-r（B），在此不等式中，若A为m×n矩阵，B为n阶单位矩阵，C为n×s矩阵，则r（AC）≥r（A）+r （C）-n，有的书籍也称第一种情况为弗罗贝尼乌斯不等式，第二种情况为西尔维斯特不等式。

Frobenius不等式：rank（ABC）⩾rank（AB）+rank（BC）−rank（B）。

我们知道，任何一个线性变换A∈Hom（V，V），都可以由某组基{αi}以及它们的象完全确定，并由此得到了这组基下的变换矩阵A。

为了让矩阵运算和变换运算的格式保持一致，把aij定义成
Aαj在αi上的坐标。

如果再把所有向量α映射成坐标列向量a，Aα的象就是Aa，而变换AB的矩阵也正好是AB，这样使用起来就方便多了（后面将不加区分地写成A）。

值得提醒的是，变换矩阵是线性变换的一种表示形式，可以更方便地讨论变换的性质；但其并不能完全替代后者，有时反而会让叙述变得繁琐（比如矩阵秩的讨论）。

一个不等式取等号的充要条件及其应用

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现在应用上面定理来分析前面的错误所在
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为此我们先证明下面的定理不等式 ! a + b ! 《 } a ! + l b ! ( a 〔 R 定理 1
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关于矩阵Frobenius秩不等式的等式条件

收稿日期：０２１４２１ —０ —０
基金项目：江西省教育厅科技项目青年基金（Ｊｌ５）ＧＪｏ６；上饶师范学院课题（Ｏ１２２２１Ｏ）作者简介：龚和林（９０，，１８一）男硕士，师，讲主要研究方向：数图论。代
第３期
龚和林，舒情，海女谭
（上饶师范学院，上饶江西３４０）３０１
摘要：讨论了Ｆｂｎｓ不等式的等式问题，出Ｆｏｅｉ不等式一种新证法，并得到Ｆｏｅｉ不等式等号ｒｅｉ秩ｏｕ给ｒｎｓｂｕｒｎｓｂｕ成立的两个充分必要条件．一步刻画了任一方阵的两个多项式之积为零矩阵的秩特征．进关键词：；矩阵多项式；ｋ次幂等矩阵秩
（）＝ｄｘ．ｘ）（）
２Ｆｏｅｉ不等式的等式问题ｒｂｎｓｕ
为讨论方便，约定Ｐｘ为数域Ｐ［］上一元多项式环，ｌＰ为数域Ｐｎ上维列向量空间，｜为ｍ× ＰＩＩｎ的矩阵全体，（１ …ａ为向量组ａ，，８Ｌａ，，８）ｌ …ａ的生成空间，ｎ阶单位矩阵，Ａ为矩阵Ａ的秩．Ｅ为ｒ）（
１引言
矩阵的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是矩阵的数量特征，等变换下的不变量，它广泛应用于判定向量组的线性相关性、解线初求性方程组的解空间、次型的简化等代数问题．阵的秩经矩阵线性运算、法或方幂等一系列运算后，新二矩乘矩阵与原矩阵的秩往往满足一些等式或不等式关系．等式不

Frobenius不等式的临界条件

特殊矩阵之积的秩的等式，胡付高［５］通过判定某些矩阵方程有解，给出了Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式等号成立的
充要条件，同时文献［６］利用广义逆矩阵得出了Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ不等式等号成立的充要条件，然而文献［７］在讨论若干矩阵乘积的秩的下界之后却提到： “ 但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂，能否得出等号成立
坐标组也是惟一的。
定理１设厶、Ｌ２分别表示矩阵的行空间和矩阵Ｃ的列空间，在空间Ｌ中存在２个子空间厶、
收稿日期：２０１３ — ０１ — ２２
作者简介：周儒省（１９８６一），男，广东茂名人，湖南师范大学硕士研究生。
此不等式，这２个不等式在矩阵秩的不等式中占有重要地位，然而此后对矩阵秩的等式研究并不多。
ｆ日＼
ＧｒｏＢＩＳ］给出了ｒａｎｋＩ＼乙 … ／１＝ｒａｎｋ（Ａ）有解的充要条件及其解的表达式，史及民［ｔ］给出了三幂等阵等
Ｖｏ１．３１Ｎｏ．４ ຫໍສະໝຸດ Ｊｕ１．２０１３
文章缩号：１００８ — ０１７１（２０１３）０４ — ００５４ — ０５
Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ不等式的临界条件
周儒省
（湖南师范大学数学与计算机科学学院，湖南长沙４１００８１）

矩阵和的秩不等式等号成立的充要条件

ｃｒｎｕｌｎｏｂｏｋｄａｏａｍａｉ．Ｆｎｌ，ｗｅｇｖｔｐｌａｉｎｒｔｏｍａｒｃｓｉｉｅｒａｇｂａｈｏｏｓｙｉｔｌｃｉｇｎｔｘｌｒｉａｙｌｉｅｉａｐｉｔｓｆｗｔｅｎｌａｌｅｒ．ｓｃｏｏｉｎ
第理工大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＮＵＮＶＥＲＩＹ０ＣＥＥＢＩＩＳＴＦＳＩＮＣＡＮＤＴＣＥＨＮＯＯＧＹＬ
Ｖｏ．６Ｎ．１１ｏ２Ａｐ．２１ｒ０Ｉ
ＡｂｔａｔＴｅｅａｅｉｅｕｌｉｓａｏｔｒｎｆｔｅｓｍｆｔｏｍａｒｅｎａｖｎｅｇｂａＨｏｖｒｅｓｒｃ：ｈｒｒｎｑａｉｅｂｕａｋｏｈｕｏｗｔｃｓｉｄａｃｄａｅｒ．ｔｉｌｗｅｅ，ｆｗｐｏｌｔｄｈｒｂｅｆｉｅｕｉｂｕａｋｏａｏｏｔｃｓａｄｔｅｃｎｉｏｓｆｒｅｕｌｙｓｎｉｅｐｅｓｕｙｔｅｐｏｌｍｓｏｑａｔａｏｔｎｆｓｍｆｓｍｅｍａｒｅｎｈｏｄｔｎｏｑａｉｉｎｎｌｙｒｉｉｔｇ
２１年４月０１
矩阵和的秩不等式等号成立的充要条件
冯秀红，孙苏亚
（南京信息工程大学数理学院，江苏南京２０４）１０４
摘
要：高等代数中常见两个矩阵之和的秩不等式，但对于若干个矩阵的和之秩的不等式问题

Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件_毕业论文

rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(m( A)) + rank(d ( A))
（23）
证明
设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ，则存在 f1 ( x), g1 ( x) ，使 = f ( x) f= g1 ( x)d ( x) 1 ( x ) d ( x ), g ( x )
rank ( A ) + rank( E − A) + rank( E + A) = 2n + rank( A − A3 )
命题 2[1] 设 A ∈ P n×n ， t ≥ 1 ，则
rank( A) + rank( At − At + 2 ) rank( At ) + rank ( A − A3 ) =
此处 = ( x)d ( x) f= ( x) g ( x) f1 ( x) g1 ( x)d 2 ( x) ，所以有（f1 ( x), g1 ( x)） = 1 .因为 m m( x) = f1 ( x) g1 ( x)d ( x) 又（f1 ( x), g1 ( x)） = 1 ，则存在 u ( x), v( x) ∈ P[ x] ，使 u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x) = 1 ，即 u ( A) f1 ( A) + v( A) g1 ( A) = E
1 则有由(f ( x), h( x)) = 1 ，故存在 u ( x), v( x) ∈ P( x) 使得 u ( x) f ( x) + v( x)h( x) =
u ( A) f ( A) + v( A)h( A) = E
等式两边同乘以 g ( A) ，得：

线性方程组与矩阵秩的若干问题

引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0

矩阵Frobenius范数及Hadamard型行列式不等式问题研究

矩阵Frobenius范数及Hadamard型行列式不等式问题研究重庆大学硕士学位论文(学术学位)学生姓名：***指导教师：伍俊良教授专业：应用数学学科门类：理学重庆大学数理学院二O一四年四月Matrix Inequalities on Frobenius Norm and Hadamard-like DeterminantA Thesis Submitted to Chongqing Universityin Partial Fulfillment of the Requirement for theMaster’s Degree of ScienceByWang JupingSupervised by Prof. Wu JunliangSpecialty：Applied MathematicsCollege of Mathematics and Statistics ofChongqing University, Chongqing, ChinaApril, 2014摘要矩阵不等式作为矩阵论中的重要内容，吸引着众多的线性代数工作者. 本文主要针对矩阵的Frobenius范数及行列式进行研究讨论，得出了一些新的不等式，具体内容和创新点包括：1.对正定矩阵Frobenius范数下的Young不等式给出了几个新形式. 这些不等式从新的角度刻画了矩阵Young不等式，与经典的Young不等式相比，结果更精确.2.对Omar Hirzallah, Fuad Kittaneh的结论进行了改进，并将其推广到复矩阵上，得出了更一般的改进形式.3.进一步改进Omar Hirzallah的不等式，得出了矩阵Frobenius范数的两个Heinz不等式.4.对IMAGE中林明华提出的Hadamard型不等式给出了部分证明. 另外，对于一种特殊的矩阵，我们证明该Hadamard型不等式成立.5.利用矩阵优超理论提出并证明了一个新的Hadamard型不等式.关键词：Frobenius范数；Hadamard型不等式；矩阵凸函数；酉分解ABSTRACTAs an important branch of the matrix theory, the inequalities concerning matrix norms and determinant have been attracting many scholars’ attention. The purpose of this article is to research the inequalities relating to Frobenius norm and the determinant of matrices. The main results and innovations are as follows:1. New Young inequalities of the positive definite matrix for the Frobenius norm are investigated. These new inequalities depict the Young inequality from new point. Compared with the classical Young inequality, our results are tighter.2. We give an improvement of Omar Hirzallah and Fuad Kittaneh’s conclusions.Furthermore, we extend them to the Hermite matrix, which are more general results than the before.3. We improve Omar Hirzallah’s inequalities further and Heinz inequalities for Frobenius norm are given.4. Partial proof of a problem called Hadamard-like inequality is given. This problem is proposed by Minghua Lin and released by Image. For a special case of tri-diagonal matrices we prove it holds for3n≥.5. Finally, we give a new Hadamard-like inequality that holds for all Hermite matrices of order n(2n≥).Keywords：Frobenius Norm；Hadamard-like inequality；Matrix convex function,；Unitary decomposition目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)1 绪论 (1)1.1背景介绍 (1)1.2 矩阵Young不等式 (2)1.3矩阵范数 (2)1.4矩阵行列式 (4)1.5 本文的研究内容、方法与主要贡献 (5)2 准备知识 (6)2.1 预备概念 (6)2.2预备定理 (7)3 正定矩阵Young不等式的新形式 (8)3.1 引言 (8)3.2 Young不等式的新形式 (8)3.3 本章小结 (12)4 复矩阵上Young，Heinz不等式的改进 (13)4.1 引言 (13)4.2 Frobenius范数下矩阵Young不等式的改进 (13)4.3正定矩阵Heinz不等式的改进 (17)4.4本章小结 (20)5 关于Hadamard型行列式的探讨 (21)5.1引言 (21)5.2原不等式的部分证明 (21)5.3 一种特殊矩阵原不等式成立的完整证明 (24)5.4 类似的新形式 (27)5.5本章小结 (28)6 结论和展望 (29)致谢 (30)参考文献 (31)附录 (34)A. 作者在攻读学位期间发表的论文目录 (34)1 绪论1.1背景介绍矩阵思想的萌芽产生于1801年，德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体. 1850年，英国数学家西尔维斯特正式提出矩阵的概念并使用. 随后，数学家凯莱发表了《关于矩阵理论的研究报告》，他将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并对该主题发表了一系列文章，因此成为矩阵论的创立者.伴随着矩阵论的发展，特殊矩阵开始崭露头角，其重要性质吸引了国内外很多的学者. 借助于这些性质，学者发现很多问题能够得到更好地解决. 比如正定矩阵这种特殊的Hermite矩阵可以看做是正数概念到矩阵的推广，它对于求解方程组设计新算法起着重要作用. 近年来，人们对正定矩阵加以推广，得到了广义正定矩阵、亚正定矩阵、亚半正定矩阵、复正定矩阵等概念. 我们知道，在实数理论中存在很多经典的不等式，如何将其推广到正定Hermite矩阵上，引起相关学者的极大兴趣. 詹兴致、王贵松、Fuad Kittaneh、Anderson Duffin和Omar Hirzallah等国内外学者对其进行了卓有成效的研究，得出了一些重要的结论[1-14]. 在线性代数中，三对角矩阵也比较特殊，它“几乎”是一个对角矩阵. 在一些实际问题中，例如常微分方程的边值问题，热传导方程建立的三次样条函数等都需要研究三对角矩阵，因此研究三对角矩阵也有一定的理论和实际意义.数学中，等式通常能很精确地描述一个现象，但是这种精确性也使得它具有明显的局限性，因此人们想到了不等式以确定研究对象的大致范围. 数学不等式的研究始于欧洲国家，1934年，它正式成为了一门新兴的学科，因此结束了零星散乱的公式组合从而成为系统的科学理论. 关于不等式的研究广泛存在于众多的学科之中，它们包括物理学、化学、生物、经济运筹与系统控制等各个领域. 自然地，不等式也成了矩阵论中的一个专门课题，很多学者热衷于把实数乃至复数范围内的一些经典不等式放在实矩阵或者复矩阵上，甚至把这些不等式放在矩阵的数值特征上以研究他们的性质. 另一方面，线性矩阵不等式作为控制领域中的基础被广泛应用，因此研究矩阵不等式有着实际的应用价值.但是，矩阵乘法具有不可交换性，这使得正数上成立的很多结论在正定矩阵上并不成立，因而将正数不等式推广到矩阵不等式有一定的困难. 我们通过研究正定矩阵的数值特征的不等式来研究正定矩阵的一些性质，并将其已有的结果进行推广.1.2 矩阵Young不等式Young不等式是数学工作者广泛应用与不断扩张的一个重要不等式. 原始的Young不等式是数学家W.H.Young在1912年以积分的形式首次提出的. 此后，经典的数值型Young不等式被广泛应用. 1994年，T. Ando在文献[5]中指出把两个数值的Young不等式直接推广到两个Hermte矩阵上是不成立的，但如果加上矩阵可交换这个条件，那么则成立. 同时，文献[6，7，8]又指出矩阵的Frobenius范数及奇异值的Young不等式是成立的. 2000年，Omar Hirzallah，Fuad Kittaneh在文献[15]得出了Frobenius 范数下改进的矩阵Young不等式. 2010年，Fuad Kittaneh和Yousef Manasrah结合文献[15]的结论，从另一个角度得到了矩阵范数，迹和行列式下改进的Young不等式，并指出该种改进方法和文献[15]的结论相比，没有明确的优劣关系. 此外，关于矩阵的Young逆不等式也被很多学者研究讨论. 2002年，M.Tominaga 在文献[17]中借助于Specht比和对数均值，写出了正定矩阵两种形式的Young逆不等式，文献[19]借助于另外一种参数，得出了另外的新形式并指出这个不等式和[17]中的不等式相比没有确定的序关系. 2011年，Shigeru Furuichi结合文献[16，17]，得出了改进的Young的逆不等式在Specht比和对数均值下的新形式，而且，新不等式与以前的不等式对比，也没有确定的顺序关系. 2011年，文献[20] 借助于kantorovich系数，得出了另外一种关于两个正定矩阵的Young逆不等式，并指出这个新不等式与[17]中的相比，更精确.Young不等式在数学不等式上占据着极其重要的地位，由他推导出的Holder 不等式和Minkowski不等式更是成为分析学科中应用频繁的两大不等式，主要应用于LP和lp空间，从而为泛函分析的发展起到了极大的促进作用. 因此从其产生到现在一直吸引着众多的学者投入到Young不等式的研究当中. 本文首先列出了Young不等式的几个新形式，进而研究其在Frobenius范数下的矩阵形式；另一方面，我们研究其改进形式，并通过改进形式推出了Heinz不等式的两个范数不等式.此外，我们将实正定矩阵进行推广，从而得出了复矩阵下相应的不等式.1.3矩阵范数在一维空间中，实轴上任意两点,a b的距离用a b-表示，绝对值是一种度量形式的定义.向量和矩阵的度量可借助于范数，它可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离，所得的值是一个非负实数. 范数有多种具体形式，但只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数.定义1.3.1[1]对向量n∈，如果按照一个规则使得它与一个实数对应，记该实数X R为X，若X满足下面三个性质：(1)n X R ∀∈有0X ≥，0X =当且仅当0X =.(2)n X R ∀∈，a R ∈有aX a X =.(3),n X Y R ∀∈，有X Y X Y +≤+. 则称X 为向量n X R ∈的范数.向量范数是用来度量向量长度的，设向量12(,,)T n X x x x =，定义p L 范数如下： 1=, 1.n p p i p X x p ⎛⎫≥ ⎪∑,n x +22,n x + {}{}1211max max ,,.i n i n i n X x x x x ∞≤≤≤≤==矩阵是向量的延伸，更一般地，我们定义矩阵范数如下：定义1.3.2[1] 如果矩阵n n A R ⨯∈的某个非负实函数()N A 记作A ，满足以下条件：(1)0A ≥，当且仅当0A =时有0A =.(2)A A αα=，其中a R ∈.(3)对于矩阵,n n A B R ⨯∈，有A B A B +≤+.(4),n n A B R ⨯∈，则AB A B ≤.则称()A N A =为矩阵范数.由于在很多问题中，向量和矩阵会同时参与讨论，因此希望引进一种与向量范数相关的矩阵范数，我们称之为矩阵的算子范数，这种范数也满足相容性条件，具体定义如下：定义1.3.3[1] 设n n A R ⨯∈，n X R ∈，记方阵n n A R ⨯∈的范数为A ，那么0max X AX A X≠=或者1max X A AX ==称为矩阵的算子范数，矩阵的算子范数满足相容性.向量有三种常用范数，相对应的矩阵范数的三种形式为：11max n ij j n i A a ∞≤≤==∑（矩阵的列范数）， 111max nij i n j A a ≤≤==∑（矩阵的行范数）， 2A =1λ是矩阵T A A 的最大特征值）.定义1.3.4[1] 若A 有特征值12,n λλλ记 ()1max r r nA ρλ≤≤=，则称()A ρ为A 的谱半径.有了谱半径的定义，矩阵的2范数可记为：2A =另一方面，我们可得()A A ρ≤.还有一种与向量范数2X 相容的矩阵范数，称为Frobenius 范数，用F A 表示，其定义为：12211.n nij F i j A a ==⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 因为Frobenius 范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数. 关于该范数的不等式引起了很多学者的兴趣，具体的研究成果见文献[40-48].1.4矩阵行列式行列式产生于解线性方程组，它可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广. 无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的工具，都发挥着非常重要的应用. 17世纪后期，关孝和与莱布尼茨在著作《解伏题之法》中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式. 行列式开始作为独立的数学概念被研究始于18世纪. 19世纪以后，行列式理论进一步发展并逐步完善. 特别是矩阵概念的引入，这使得有关行列式的更多性质被发现，在许多领域里，行列式都显现出其重要意义和作用，并出现了线性自同态和向量组行列式的定义.行列式不仅作为代数学的基石和其他学科应用的重要工具，而且它像魔方一样呈现难以计数的数学问题. 为此它极大地丰富了代数学的理论研究和运用实践.在数学历史上，学者们非常热衷于行列式问题的研究并获得许多举世闻名的成果.早在1893年，著名数学家Hadamard 就给出了著名的Hadamard 定理.Hadamard 不等式[1] 设=()ij A a 是一个n n ⨯阶半正定矩阵，则1122det()nn A a a a ≤，且等号成立当且仅当=()ij A a 为对角矩阵或者矩阵有某一行或有一列全为零. 更一般地，对任意的n m ⨯阶矩阵=()ij A a ，则211det()n m ij j i AA a *==≤∑∏.在1907年，Fisher 给出了比Hadamard 不等式更具广泛意义的不等式，它使得Hadamard 不等式成为他的特例.Fisher 定理[1] 设=()ij A a 是一个实对称半正定矩阵，111211222212k k k k kk A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，这里(1,2)ii A i k =都是方阵，则有1det()det k ii i A A =≤∏，且等号成立当且仅当A 为准对角矩阵. 后来，各种形式的行列式不断呈现. 比较著名的有Schur 不等式，Szasz 不等式，Oppenhein 不等式，华罗庚不等式和E.H.Lied 不等式等等，此处我们不再一一列举. 关于矩阵行列式不等式已经有了很多的成果，具体见文献[49-52].1.5 本文的研究内容、方法与主要贡献本文继续研究矩阵的Frobenius 范数不等式，另外针对林明华提出的Hadamard 型不等式继续展开矩阵行列式的研究. 全文所采用的研究方法包括：① 线性代数的基本理论；② 线性矩阵不等式理论；③ 矩阵优超理论；④ 矩阵分解；⑤ 特殊矩阵理论；⑥ 矩阵范数理论；⑦ 矩阵函数的凹凸性质.主要内容和创新点如下：(1) 继续研究正定矩阵Frobenius 范数下Young 不等式的新形式，得到两个一般的新形式.(2) 对Omar Hirzallah, Fuad Kittaneh 所得的Young 不等式新形式进行改进，得到更精确的结论；另外，将这个改进形式进一步推导，得到了正定矩阵Heinz 不等式的改进形式.(3) 将正定矩阵的Young 不等式推广到复矩阵上，得出相关结论.(4) 结合行列式理论，讨论了林明华提出的Hadamard 型不等式问题，给出了部分证明，对于一类特殊矩阵，该不等式得以完整证明.(5) 利用矩阵优超理论，我们提出并证明了一个新的Hadamard 型不等式.2 准备知识2.1 预备概念定义2.1.1[1] 设矩阵()n nij A a C⨯=∈，若A A *=，则A 称为Hermite 矩阵，其中()T T ji A A a *==. 当A 为实矩阵时，此时Hermite 矩阵就是对称矩阵，若A A *=-，则称A 为斜对角矩阵.定义2.1.2[1]设()ij A a =为和n n ⨯复矩阵，定义21122,1()()nij Fi j A a tr A A *===∑为Frobenius 范数.定义2.1.3[12] 对任意的,n n A B K C ⨯∈⊂，01α<<，不等式((1))()(1)()f A B f A f B αααα+-≤+-成立，则称f 为K 上的矩阵凸函数，若 ((1))()(1)()f A B f A f B αααα+-≥+-成立，则称f 为K 上的矩阵凹函数.定义2.1.4[12] 设矩阵,n n A B K C ⨯∈⊂，若,n n A B K C ⨯∈⊂且A B ≤时，有()()f A f B ≤成立，则称称f 为K 上的矩阵单调增函数；否则单调减函数.定义2.1.5[1] 设矩阵()n nij A a C ⨯=∈为Hermite 矩阵，若对于所有非零向量n x C ∈有0x Ax *≥成立，则称()n nij A a C ⨯=∈为半正定矩阵，记为0A ≥. 若更严格的有0x Ax *>成立，则称()n nij A a C⨯=∈为正定矩阵，记为0A >.定义2.1.6[1] 设矩阵n U M ∈，若U U I *=,则称U 为酉矩阵. ,)n n x R '∈n x ≥≥表示1k i i i x y =≤∑，2n ，则称x 弱受控于wxy .(2)若,x y R ∈11ki i i i x y ==≤∑，2n 且1n i i x ==∑受控,x 记为x y .2.2预备定理定理2.2.1[1]（酉三角化定理）已知 ()n nij A a C ⨯=∈为Hermite 矩阵，其特征值为12,,n λλλ，则：(1)A 的所有特征值都是实数.(2)存在一个酉矩阵U ，使得12(,,)n UAU diag λλλ*=，其中(1,2,)i i n λ=为A的特征值，即Hermite 矩阵酉相似于对角矩阵. 定理2.2.2[1] 设()n nij A a C⨯=∈为Hermite 矩阵，则0A >的充要条件有：(1)A 的所有特征值均为正数.(2)存在一个可逆的Hermite 矩阵B 使得2A B =. (3)存在可逆的复方阵B ,使得A BB *=. (4)对任意的复方阵P 使得0P AP *>. (5)的所有主子式都为正数. (6)A 的所有顺序主子式都为正数.定理2.2.3[1] 设,A B 是两个n 阶正规矩阵,则存在酉矩阵U 使得*U AU 与*U BU 同时为对角矩阵的充要条件是AB BA =.定理2.2.4 一般的，若n 阶实三对角矩阵11122110000,0n n n a b c a b A b c a --⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭如果A 中元素满0(1,2,),i a i n >=,0,(1,2,1)i i b c i n <=-而且各行之和满足: 110a b +>，10n n a c -+>，10i j i a b c -++≥，其中2,3,1i n =-，则A 为正定矩阵.该定理通过简单的推导可以得到，此处我们不对其证明.3 正定矩阵Young 不等式的新形式3.1 引言我们知道著名的Young 不等式形象描述了任意两个非负实数的乘积与幂指数的加权平均关系. 这就是：引理3.1.1[12]对于任意实数0,0≥≥b a 和1,1p q >>，满足111=+qp ，则不等式qb p a ab qp +≤总成立.近年来，众多的学者致力于研究矩阵的Young 不等式. 2000年，Omar Hirzallah 在文献[15]中改进了的数值型的Young 不等式，并得出Frobenius 范数下矩阵的Young 不等式如下：引理3.1.2[15]若),(,,C M X B A n ∈其中B A ,是半正定矩阵，1,1p q >>，且,111=+qp 那么下列不等式成立：2222111p q p q F FFA X XB A X XB AXB p qr+≥-+,其中},max{q p r =.2010年，Fuad Kittaneh 等人在文献[16]中对Young 不等式从另一个角度进行了改进，为了方便，我们以下面引理描述文献[16]的结论：引理3.1.3[16]若)(,,C M X B A n ∈，其中B A ,是半正定矩阵，10≤≤v ，则下面不等式成立：222120(1).v vFFFv AXv XBA XB r -+-≥+其中}1,min{0v v r -=.在本章中，我们仍然探讨矩阵Frobenius 范数下Young 不等式的新形式，这些形式从新的角度刻画了矩阵的Young 不等式.3.2 Young 不等式的新形式类比文献[15,16]，为了更合理地引出矩阵的Young 不等式新形式，我们首先以引理形式给出数值型Young 不等式对应的新形式.引理 3.2.1 设0,0,01a b v ≥≥<<，则下列不等式成立：21212120((1))((1))()2v v v v v v va v b va v b a b a b a b r ---+-≥+--++，其中0min(,1)r v v =-.证明当12v =时，则不等式左边=2()2a b +，不等式右边= 22(2a bab +-++=2()2a b +=左边. 若102v <<，则由Young 不等式知1112122(12)2v v v v v v b va b b a b a b ---+≥=,此时有212120((1))((1))2v v v v va v b va v b a b a b r --+--+---11122(1)()2(v v v v v vva v b a b a b va b a b ---⎡⎤=+---+-⎣⎦112(12)4v v v va b v b a b --⎡=--+⎣111(2)v v v v v v a b a b a b ---≥-()22121v v v v a b a b --==.同理可证112v ≤≤时不等式成立，因此引理得证. 下面，我们由上述引理得出如下的矩阵范数的Young 不等式.定理3.2.1 如果()n X M C ∈，,A B 是半正定矩阵，如果01v <<，那么下面不等式成立：()()2221111v vv vFFFvAX v XBvAX v XB A XB A XB --+-≥+--+{}211222222m i n ,1v v v v Fv v A X B A X B +--+--.证明由于,A B 是半正定矩阵矩阵，所以存在酉矩阵,U V 使得A U U *=Λ以及B VMV *=，其中()12,,n diag λλλΛ=()12,n M diag μμμ=，,0(1,2)i i i n λμ≥=.令ij Y U XV y *⎡⎤==⎣⎦，由酉矩阵的性质知11,U U V V -*-*==，那么X UYV *=. 利用上述性质可得到下面等式：()()()()()111i j ij vAX v XB U v Y v YM V U v v y V λμ**⎡⎤+-=Λ+-=+-⎣⎦， (3.1) ()()111v v v v v vi j ij A XB U YM V U y V λμ--*-*⎡⎤=Λ=⎣⎦， (3.2) i ij AX U YV U y V λ**⎡⎤=Λ=⎣⎦， (3.3)j i j X B U Y M V U y V μ**⎡⎤==⎣⎦，(3.4) 11211222222222v v v v v v v vA XB A XB U YM YM V +--+--*⎡⎤-=Λ-Λ⎢⎥⎣⎦1122222[()].v v v vi j i j i j U y V λμλμ+--*=-(3.5)因此利用引理3.2.1可得： 2(1)FvAX v XB+- 22,1((1))ni j iji j v v y λμ==+-∑221212,1,1((1))()nn v v v v i j i j ij i j ij i j i j v v y y λμλμλμ--==≥+--+∑∑{}211222222,12min ,1v v v v ni j i j iji j v v y λμλμ+--=⎡⎤⎛⎫⎢⎥+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑211222112222(1)2min vv v v v v v v FFFvAX v XB A XB A XBA XBA XB+----=+--++- .所以结论得证.以下，我们给出第二个Young 不等式的新形式：引理 3.2.2 设0,0,01a b v ≥≥<<，则下列不等式成立：(1)2(1)2(1)(1)(1)((1))((1))4nv n v nv n v n v n v va v b a b va v b a b a b --++-+-+≥+--+(1)204nv n v a b r -+，其中0min(,1).r v v =-证明若12v = 时，不等式的左边=2222[()]()()(),22n nn a b a b ab a b ab ab ++⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭不等式的右边=1122222[()]4()2()[2()]2n n n a b ab ab ab a b ab ++-+++- 2112222()()()4()2()()4()2n n n n n a b a b ab ab ab a b ab ab +++⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭22()()()2nn a b a b abab +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 此时左边=右边，等式成立. 下面证102v <<时不等式成立：若102v <<时，则由Young 不等式知1112122(12)2v v v v v v b va b b a b a b ---+≥=，此时有：(1)2(1)2(1)20[(1)][(1)]4nv n v nv n v nv n v va v b a b va v b a b a b r ---+-+-+---[](1)(1)22(1)(2)4(nv n v nv n v va v b a b va b a b --=+--+-(1)4(1)2nv n v a b va v b va vb -⎡=+---+⎣(1)4[(12)2nv n v a b v b -=-+(1)(1)(1)4.n v n v a b ++-≥同理可证112v ≤<时结论成立.因此定理得证.同样地，我们写出它的矩阵范数的Young 不等式：定理3.2.2 若,,()n A B X M C ∈，其中,A B 是半正定矩阵，若01v <<，则有如下不等式成立：{}222(1)(1)(1)(1)(1)21(1)(1)12222(1)(1)44min ,1.nv n v nv n v n v n v FFFnv n v nv n v FvAX v XB A XB vAX v XB A XB A XB v v AXBA XB --++-+--++-+≥+--++--证明因为,A B 是半正定矩阵，所以由矩阵酉分解可得：存在酉矩阵,U V 使得A U U *=Λ及B VMV *=，其中()12,n diag λλλΛ=，()12,n M diag μμμ=，,0(1,2)i i i n λμ≥=.由定理3.2.1的证明我们可得式子（3.1），（3.3），（3.4）成立：以下，我们讨论如下等式：()()(1)(1)(1)nv n v nv n v nv n v i j ij A XB U YM V U y V λμ--*-*⎡⎤=Λ=⎣⎦ (3.6) 1(1)1(1)1(1)1(1)22222222nvn v nv n v nv n v nv n v A XB A XBU YM YM V +-+-+-+-*⎡⎤-=Λ-Λ⎢⎥⎣⎦1(1)(1)12222[()]nvn v nv n v iji jij U y V λμλμ+--+*=-(3.7)结合上述等式及引理3.2.2，我们可得如下不等式成立：()222(1)(1),1(1)[(1)nnvn v nvn v i j i jijFi j vAX v XB A XBv v y λμλμ--=+-+=+-+∑2(1)2(1)(1)(1),1,1((1))4nnnvn v n v n v i j i ji j iji j i j v v y λμλμλμ-++-==≥+--+∑∑{}1(1)(1)1222222,14min ,1()nv n v nv n v niji jiji j v v y λμλμ+--+=+--∑22(1)(1)(1)(1)(1)4nvn v n vn v FFvAX v XB A XBA XB-++-=+--+{}21(1)(1)122224min ,1.nvn v nv n v Fv v AXBA XB+--++-- 因此，我们证得了结论成立.下面，我们对定理3.2.2给以说明. 特别地，当1n =时，我们可得出如下结论：推论3.2.1 若,,()n A B X M C ∈，其中,A B 是半正定矩阵.若01v <<，则下面不等式成立：222111(1)(1)4v vv v v vFFFvAX v XB A XB vAX v XB A XB A XB ---+-+≥+--+{}211222224min ,1.v v vv Fv v AXBA XB+--+--这是由于对于数值型Young 不等式，当0,0,01a b v ≥≥<<，有下列不等式：121222(1)120((1))((1))44.v v v v v v v v va v b a b va v b a b a b a b r ----+-+≥+--++ 其中0min(,1).r v v =-3.3 本章小结本章受文献[15，16]的启发，先得出数值型Young 不等式的改进形式，进而构造Frobenius 范数下矩阵的Young 不等式，得出了矩阵两个新的Frobenius 范数的改进方式. 其中，第二个结论更具有普遍性.4 复矩阵上Young ，Heinz 不等式的改进4.1 引言2000年，文献[15]对矩阵的Young 不等式进行了改进，2010年文献[16]给出了另一种改进方式. 下面，我们将文献中结论进一步改进，得出更强结论的Young 不等式. 更一般地，将改进后的结论应用到复矩阵上，得出相应的范数不等式. 由于Heinz 不等式与Young 不等式有着密切的联系，因此利用这个推导，我们将得到改进的Heinz 不等式.4.2 Frobenius 范数下复矩阵Young 不等式的改进下面，我们继续改进引理3.1.2，得到更加精确的结论. 引理4.2.1 设0,0,01a b v ≥≥<<，则当112v ≤≤时，下面不等式成立： {}22222(1)2((1))(1)()min 21,22(.v v va v b v a b a b v v a -+-≥--++--当102v <<时，下面的不等式成立： {}2(1)22222((1))()min 12,2).v v va v b v a b a b v v b -+-≥-++-证明由引理3.1.2可得：当112v ≤≤时，下面不等式成立：222((1))(1)()va v b v a b +----2222222(1)2(1)(1)(2)v a v b v v ab v a ab b =+-+----+2(21)(22)v a v ab=-+-{}2(21)(22)2()min 21,22(v v a ab v v a --≥+--{}22(1)2min 21,22(v v a bv v a -=+--.即当112v ≤≤时，下式成立： {}22222(1)2((1))(1)()min 21,22(.v v va v b v a b a b v v a -+-≥--++--同理可证当102v <<，有下面的不等式：{}22222(1)2((1))()min 12,2).v v va v b v a b a b v v b -+-≥-++-因此结论得证.我们希望上述不等式在矩阵的Frobenius 范数意义下也成立，因此有下面的定理：定理4.2.1 若,,()n A B X M C ∈，其中,A B 是半正定矩阵，若112v ≤<，则有如下不等式成立：{}2112222122(1)(1)min 21,22,v v FFFFvAX v XBv AX XBA XBv v AX A XB-+-≥--++---当102v <<时，下面的不等式成立：{}2112222122(1)min 21,22v v FFFFvAX v XBv AX XBA XBv v XB A XB-+-≥-++---.证明因为,A B 是半正定矩阵，所以由矩阵酉分解可得：存在酉矩阵,U V 使得：A U U *=Λ及B VMV *=，其中()12,n diag λλλΛ=，()12,n M diag μμμ=，,0(1,2)i i i n λμ≥=.令ij Y U XV y *⎡⎤==⎣⎦，由酉矩阵的性质知11,U U V V -*-*==，那么X UYV *=.利用上述性质可得到下面等式：(1)((1))((1))i j ij vAX v XB U v Y v YM V U v v y V λμ**⎡⎤--=Λ--=--⎣⎦，()()i j ij AX XB U Y YM V U y V λμ**⎡⎤-=Λ-=-⎣⎦，1111()v v v v v v v v i j ij A XB U U UYV VM V U YM V U y V λμ-**-*-*-*⎡⎤=Λ=Λ=⎣⎦，i ij AX U U UYV U YV U y V λ****⎡⎤=Λ=Λ=⎣⎦，121111122222.i j ij A XB U YM V U y V λμ**⎡⎤=Λ=⎢⎥⎣⎦所以，当112v ≤<时， 2(1)F vAX v XB +-()22,1(1)ni j ij i j v v y λμ==+-∑(){}2112222222(1)22,1,1,1(1)min 21,22nnnvv ij ij i jiji i j iji j i j i j v y y v v y λμλμλλμ-===⎡⎤⎛⎫⎢⎥≥--++--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑ {}211222122(1)min 21,22.v v FFFv AX XB A XBv v AX A XB-=--++---从而证得定理的第一部分.同理可得定理的第二部分，在此，我们不再赘述.更一般地，我们引入五个矩阵的Young 不等式的改进形式如下：定理4.2.2 若,,,,()n A B C D X M C ∈,,,,A B C D 是半正定矩阵，且,AD DA BC CB ==，01v <<，则当112v ≤<时，有：{}222211211112222(1)(1)min 21,22.v v vv FFF FvAXC v DXBv AXC DXBA D XC Bv v AXC A D XB C--+-≥--++---当102v <<时，下面的不等式成立： {}222211211112222(1)min 12,2.v v v vFFFFvAXC v DXBv AXC DXBA D XCB v v DXB A D XB C--+-≥-++--证明我们只证112v ≤<的情形：由于,AD DA BC CB ==，而可交换正定矩阵可同时酉对角化，所以存在酉矩阵,U 使得12,A U U D U U **=Λ=Λ成立，其中()12,n diag λλλΛ=，()12,n M diag μμμ=，,0(1,2).i i i n λμ≥=同理存在酉矩阵V ，使得12,B VM V C VM V **==成立，其中112(,,...,)n M diag μμμ=，212(,,...,)n M diag μμμ'''=. 令,ij Y U XV y *⎡⎤==⎣⎦那么，我们可得到如下四个等式：()1221(1)(1)vAXC v DXB U v YM v YM V *+-=Λ+-Λ()(1)i j i j ij U v v y V λμλμ*⎡⎤''=+-⎢⎥⎣⎦；()()1221i j i j ij AXC DXB U YM YM V U y V λμλμ**⎡⎤''-=Λ-Λ=-⎢⎥⎣⎦；()1111*111221vvvvvv v v vv v viijjijA D XCB U YM M V U y V λλμμ------*⎡⎤''=ΛΛ=⎢⎥⎣⎦；()()111111222222.ijijijijAXC A D XC B U y V λμλμλμ*⎡⎤⎛⎫'''⎢⎥-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦结合定理4.2.1及上述等式，我们可得下面的结论：2(1)FvAXC v DXB+-22,1((1))n i j i j iji j v v y λμλμ=''=+-∑222222(1),1,1(1)()()()nnv v i j i j ij i j i j iji j i j v y y λμλμλμλμ-==''''≥--+∑∑{}112222,1min 21,22(()())ni j i j i j iji j v v y λμλμλμ='''+---∑22211(1)v v v v FF v AXC DXBA D XC B--=--+{}211112222min 21,22.Fv v AXC A D XC B +---同理可证102v <<的情形.显然，定理4.2.3中，若令C D I ==，那么就得出4.2.2的结论.下面我们把定理4.2.3推广到复数范围上，给出复矩阵所对应的的Young 不等式的改进形式如下：推论4.2.1 若,,,,(),,,,,01,n A B C D X M C AD DA A D DA BC CB B C CB v ****∈====<<则当112v ≤< 时，有：22221**1(1)(1)()()v v v vFFFv A X C v D X Bv A X C D X BA D X CB --+-≥--+{}211112222min 21,22.Fv v AXC A D XB C+--- 当102v <<时，下面的不等式成立： 22221**1(1)()()v v vv FFFv A X C v D X B vA X C D X BA D X CB --+-≥-+{}211112222min 12,2.Fv v AXC A D XB C+--证明由于,,,AD DA A D DA BC CB B C CB ****====, 结合谱定理可知:AD A D =及CB C B =，由文献[47]中的引理6可知，()()j j s AD X CB s ADXB C **=,因此可得FFAD X CBADXB C **=.由于12111()A U U U U U U ***=ΛΛ=Λ，同理2D U U *=Λ，1B VM V *=，2C VM V *=.因此问题转化为定理4.2.3，所以结论成立.下面我们对改进后的结论，即定理4.2.2等号成立的条件进行说明. 注1[15] 若,,()n A B X M C ∈，其中B A ,是半正定矩阵，若01v <<，则22210(1)v vFFFvAX v XBr AX XBA XB -+-≥-+，其中0min(,1)r v v =-，且221(1)v v FFvAX v XBA XB -+-=当且仅当AX XB =成立.注2 若,,()n A B X M C ∈，其中B A ,是半正定矩阵，若01v <<，则当112v ≤<时，下面不等式成立：{}2112222122(1)(1)min 21,22.v v FFFFvAX v XBv AX XBA XBv v AX A XB-+-≥--++---当102v <<时，下面的不等式成立： {}2112222122(1)min 21,22v v FFFFvAX v XBv AX XBA XBv v XB A XB-+-≥-++---.且22122(1)v v vAX v XB A XB -+-=当且仅当AX XB =成立.证明我们已在定理4.2.2中证明了不等式成立的部分，因此本节只需要证明等式成立.如果AX XB =，那么由谱定理可知v v A X XB =，进而可得下面等式：(1)(1).vAX v XB vXB v XB XB +-=+-=因此，此时221(1)v vFFvAX v XB A XB -+-=成立.反之，若221(1)v v FFvAX v XBA XB -+-=成立，则由注1的不等式可得：AX XB =,1122XB A XB AX ==.下面我们说明若AX XB =成立，则1122XB A XB AX ==成立.因为B A ,是半正定矩阵，所以存在酉矩阵V U ,使得,A U U B VMV **=Λ=, 其中12(,),n diag λλλΛ=12(,),n M diag μμμ=,0i i λμ≥(1,2).i n =令,ij Y U XV y *⎡⎤==⎣⎦那么X UYV *=.若AX XB =，即[()]0i j ij AX XB U y V λμ*-=-=，所以i j λμ=，进而可得1122,i j λμ= 因此下面等式成立：11112222[][][].i j ij i j A XB U y V U V AX U V XB λμλμ***=====因此结论得证. 由上面的注释可知，虽然不等式的界更精确了，但是等式成立的故有充要条件还是成立的.4.3正定矩阵Heinz 不等式的改进根据上述对Young 不等式的改进，结合Young 不等式与Heinz 不等式的关系，我们将得出一个Heinz 不等式的改进形式. 首先，我们给出数值型Heinz 不等式的改进.引理4.3.1 若0,0,01a b v ≥≥<<，则当112v ≤≤时，下面不等式成立：{}311311444443()2min 21,22v vv va bab v a b v v a b a b --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+≤-++--+，当102v <<时，下面的不等式成立： {}311311444441()2min 2,12.v vv va ba b v a b v v a b a b --⎛⎫⎪⎝⎭+≤-++-+证明当112v ≤≤时，有()(){}21112124411min 21,22v vva v b v a b v v a a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≥-++---（4.1）及()(){}211121244.11min 21,22v vvb v a v b a v v b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≥-++---（4.2）因此将（4.1）+（4.2）可得：2112(1).v vv v a b a ba b v Q --+≥++-+（4.3）这里，我们定义{}221111112442442min 21,22Q v v a a b b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=---+-，所以，当1324v ≤<时，化简（4.3）可得： 2112(1)v vv va b a ba b v Q--+≥++-+(()31131144442(1)2122.v vv va ba bv a b v a b a b a b --⎛⎫⎪⎝⎭=++-+-+-++-所以可得：()()311311444423442v vv va ba b v v a b a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭+≤-+-+ ()()()311344443442v a b v a b a b ⎛⎫⎪⎝⎭≤-++-+. （4.4）当314v ≤<时，化简（4.3）可得： 2112(1)v vv va b a ba b v Q --+≥++-+(()31131144442(1)2222.v vv va ba bv a b v a b a b a b --⎛⎫⎪⎝⎭=++-+-+-++-所以可得()()()31131144444342v vv va ba b v a b v a b a b --⎛⎫⎪⎝⎭+≤-++-+. （4.5）结合（4.4）式和（4.5）式，可得当112v ≤<时，有结论 {}311311444443()2min 21,22.v vv va ba b v a b v v a b a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭+≤-++--+ 同理可证当102v <<时，下面的不等式成立： {}311311444441()2min 2,12.v vv va ba b v a b v v a b a b --⎛⎫⎪⎝⎭+≤-++-+证毕.类比数值型Young 不等式的改进，我们得出相对应的Frobenius 范数下矩阵的Heinz 不等式. 以下我们利用矩阵凸函数的性质给出具体证明：定理4.3.1[53] 若,,()n A B X M C ∈，其中B A ,是半正定矩阵，若01v <<，则当112v ≤<时，下面不等式成立： {}3113114444432min 21,22.v vv v FFFA XB A XBv AX XBv v A XB A XB--+≤-++--+当102v <<时， {}3113114444412min 2,12.vvv v FFFA XBA XBv AX XBv v A XB A XB--+≤-++-+证明由于11()v v v v F f v A XB A XB --=+在1[,1)2上是凸函数，因此当13[,]24v ∈时，可得不等式1313[(34)(42)](34)()(42)()2424f v v v f v f -+-≤-+-，代入函数()f v 中，可得如下不等式：113113112244442(34)42vvv v FFFA XBA XBv A XB v A XB A XB--+≤-+-+，当3(,1)4v ∈时，可得不等式33[(43)(44)](43)(1)(44)(),44f v v v f v f -+-≤-+-代入函数()f v 中，可得如下不等式：3113114444(43)(44).v v v vF FF A XB A XB v AX XB v A XB A XB --+≤-++-+因此当112v ≤<时，下面不等式成立：{}3113114444432min 21,22.v vv v FFFA XBA XBv AX XBv v A XB A XB--+≤-++--+同理可得当102v <<时，下面不等式成立： {}3113114444412min 2,12.v vvv FFFA XBA XBv AX XBv v A XB A XB--+≤-++-+同样地，利用酉分解及矩阵Frobenius 范数的性质，我们不加证明地给出另一种矩阵Heinz 不等式的形式如下：定理4.3.2 若,,()n A B X M C ∈，其中B A ,是半正定矩阵，若01v <<，则当112v ≤<时，下面不等式成立：{}2311322114444432min 21,22v v v v FFFA XB A XB v AX XBv v A XB A XB--+≤-++--+当102v <<时， {}2311322114444412min 2,12.v v v v FFFA XB A XBv AX XBv v A XB A XB--+≤-++-+4.4本章小结本章主要将正定矩阵的Young 不等式进行了改进，进而将其应用到复矩阵上，得到了相应的Frobenius 范数的不等式. 按照同样的方法，我们将结论进一步改进，得到了两个改进的Heinz 不等式.5 关于Hadamard 型行列式的探讨5.1引言矩阵的行列式作为矩阵的一种重要的数值特征，有着重要的意义. 比如，一个矩阵是为奇异矩阵的一种判定方法就是证明它的行列式0，一个矩阵是正定矩阵，那么它的顺序主子式的行列式都大0. 而且矩阵的行列式也与特征值有着密切的关系，一个矩阵的行列式等于这个矩阵的特征值的乘积. 因此，很多学者热衷于考察矩阵的行列式的估计. 比较著名的有下列结论：1.Hadamard 不等式：若()ij A a =是一个n n ⨯阶正定矩阵，则以下不等式成立： 1122.det()nn A a a a ≤ 2.Oppenheim 不等式：若()ij A a = 和()ij B b =是n n ⨯阶正定矩阵，则1det()det()ni A B B =≥∏,这里()ij ij A B a b =是一个n n ⨯阶复矩阵.表示A 与B 的Hadamard 乘积.Fischer,Johnson 等学者又将Hadamard 不等式推广到复矩阵，块矩阵等其他形式上. 之后，各种各样的行列式不等式不断被提出，近来，林明华提出了一个Hadamard 型的行列式不等式，具体结论如下：A 是正定矩阵，()A i 是A 的子矩阵，证明不等式11(1)d e t ()d e t ()nni i i ii i i n a A a A ==-+≥∑∏（5.1）对于4n ≥成立，而对于2,3n =时不成立.从这个不等式可以看出当矩阵A 是对角矩阵时，等号成立. 以下，我们给出该不等式的部分证明，同时说明对于一种特殊的矩阵上述结论成立，进一步地，我们给出一个与原不等式相似的结论.为了方便本章讨论，记1(1)det()nii i L n a A ==-+∏以及1det ()nii i R a A i ==∑.5.2原不等式的部分证明对林明华提出的不等式，我们的部分证明如下：。

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由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式：命题 4[2,3,4]设 A ∈ P n×n ，则 A = A3 ⇔ rank( A) =rank( A − A2 ) + rank( A + A2 ) 文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征：命题 5[5] 设 A ∈ P n×n ，则 A =A3 ⇔ rank( A) + rank( E − A2 ) =n （8）（7）
3] 此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或 m 幂等矩阵的秩特征等式[1，，主要方法
2
是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式：命题 6[4] 设 A ∈ P n×n ， f ( x), g ( x) ∈ P[ x] ，则
rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(d ( A)) + rank(m( A))
（5）
在命题 1 与命题 2 的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]．文献[2]以矩阵 Schur 补的秩可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式：命题 3[2] 设 A ∈ P n×n ，则 rank( A) + rank( A − A3 ) = rank( A − A2 ) + rank( A + A2 ) （6）
YAN Li-ping（071112404） (School of Mathematics and Statistical of Xiaogan University, Xiaogan Hubei 432100)
Abstract: The well-known Frobenius rank inequality established by Frobenius in 1911 states that the rank of the product ABC of three matrices satisfies the inequality rank
rank ( A ) + rank( E − A) + rank( E + A) = 2n + rank( A − A3 )
命题 2[1] 设 A ∈ P n×n ， t ≥ 1 ，则
rank( A) rank( At ) + rank ( A − A3 ) =
Frobenius 秩不等式取等号的一个新的充要条件
颜丽萍（071112404）
(孝感学院数学与统计学院，湖北孝感，432100)
摘要：1911 年，Frobenius 给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式：
rank( ABC ) ≥ rank( AB ) + rank( BC ) − rank( B )
rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(m( A)) + rank(d ( A))
（23）
证明
设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ，则存在 f1 ( x), g1 ( x) ，使 = f ( x) f= g1 ( x)d ( x) 1 ( x ) d ( x ), g ( x )
5
等式两边同乘以 d ( A) ，得 u ( A) f1 ( A)d ( A) + d ( A) g1 ( A)v( A) = d ( A) 由定理 1 得 rank( f1 ( A)d ( A) g1 ( A)) = rank( f1 ( A)d ( A)) + rank(d ( A) g1 ( A)) − rank(d ( A)) 即得 rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(m( A)) + rank(d ( A)) 推论 2 得证. 推论 3[5] 设 f ( x), g ( x) ∈ P[ x], A ∈ P n×n ，且(f ( x), h( x)) = 1 ，则 rank( f ( A) g ( A)) = rank( f ( A)) + rank( g ( A)) − n 证明由推论 1 即得推论 3 成立. 设 fi ( x) ∈ P[ x] ， i = 1, 2, , t ， f1 ( x), f 2 ( x), , ft ( x) 两两互素， A ∈ P n×n . （25）（24）
= rank( B) + rank( ABC )
（11）（12）
由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的 ( AB) − 和 ( BC ) − ，有 ( E − ( BC )( BC ) − ) B( E − ( AB) − ( AB)) = 0 （13）
正如[12]中作者在文末中评论的： “文献[11]给出了式（10）中等号成立的条件，但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件? 这看来也是一个不简单的问题． ” 本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广．本文中所有记号与文[1]相同．
B − BC 0 0 E AB 其中方阵
（19）
E 0 E −C 0 ，， A E 0 E E 都是可逆的，由（18）、（19）式得 B rank 0 由（20），得式（17）又等价于
4
E −E ， 0 0
由定理 1 可得
rank( f ( A) g ( A)h( A)) = rank( f ( A) g ( A)) + rank( g ( A)h( A)) − rank( g ( A))
由此得（22）式成立，命题得证. 推论 2[3] 设 f ( x), g ( x) ∈ P[ x] ，而 d ( x), m( x) 分别是 f ( x)与g ( x) 的最大公因式和最小公倍式.则
1
1
引言
矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献
[1-8]中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献[1]利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式：命题 1[1] 设 A ∈ P n×n ，则（1）（2）（3）（4）
rank[( E − A)( E + A)] + rank[( E + A) A] + rank[( E − A) A] = n + 2rank( A − A3 ) rank( E + A) + rank[( E − A) A] = n + rank( A − A3 ) rank( E − A) + rank[( E + A) A] = n + rank( A − A3 )
3
2
主要结果
引理1[13,14]（Roth）设 A ∈ P m×s ， B ∈ P t×n ， C ∈ P m×n ，则矩阵方程
AX − YB = C
（14）
有解的充分必要条件是矩阵 A 0 A C 与 0 B 0 B 等价（相抵）. 定理1 设 A ∈ F m×n ， B ∈ F n×s ， C ∈ F s×t ，则 rank( ABC ) = rank( AB) + rank( BC ) − rank( B) 的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y 使得 XAB + BCY = B. 证明由（16）式得到（16）（15）
0 E
0 BC = rank ABC 0
B AB
（20）
BC rank 0
0 BC = rank AB 0
B AB
（21）
根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y ，使得 XAB + BCY = B.
此处 = ( x)d ( x) f= ( x) g ( x) f1 ( x) g1 ( x)d 2 ( x) ，所以有（f1 ( x), g1 ( x)） = 1 .因为 m m( x) = f1 ( x) g1 ( x)d ( x) 又（f1 ( x), g1 ( x)） = 1 ，则存在 u ( x), v( x) ∈ P[ x] ，使 u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x) = 1 ，即 u ( A) f1 ( A) + v( A) g1 ( A) = E
特别地，当命题1中矩阵 B 是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式．在文献[7]中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式，并由此推广了近期一些文献中的相关结论．而文献[8-10]也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文献[11]中证明了命题8[11] 对任意的广义逆 ( AB) − 和 ( BC ) − ，有 0 rank BC AB = rank( AB) + rank( BC ) B + rank[( E − ( BC )( BC ) − ) B( E − ( AB) − ( AB))]
（9）
其中 d ( x), m( x) 分别是 f ( x), g ( x) 的最大公因式与最小公倍式．分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指命题7[4] (Frobenius不等式) 若 A, B, C 分别是域 P 上的 m × n ， n × s ， s × t 矩阵，则 rank( ABC ) ≥ rank( AB) + rank( BC ) − rank( B) （10）