矩阵的秩的相关不等式的归纳小结Word版
矩阵乘积秩的不等式
矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式矩阵是现代数学理论中非常重要的一个分支领域。
矩阵运算是实际应用中极其常见的过程。
矩阵乘积秩的不等式是矩阵理论中一个基本的定理，本文将详细讲解这一定理。
一、矩阵的定义矩阵是一个矩形的数表，其中的数被称为矩阵元素。
矩阵可以表示为$m\times n$矩阵形式，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。
例如，下面的矩阵是一个$3\times2$矩阵：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$二、矩阵的乘积两个矩阵的乘积是指对两个矩阵逐一对应的行和列进行数乘，并将结果求和得到的一个新的矩阵。
如果矩阵$A$是一个$m\times n$矩阵，矩阵$B$是一个$n\times p$矩阵，那么乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C_{ij} = \sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj} $$其中，$i\in[1,m]$，$j\in[1,p]$。
例如，若有以下两个矩阵$A$和$B$：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} $$那么它们的乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 28\\ 57 & 64\\ 89 & 100 \end{bmatrix} $$三、矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式是指两个矩阵的乘积的秩不超过这两个矩阵秩的乘积。
关于秩的不等式
关于秩的不等式秩，作为一个数学概念，在代数、几何、图论等领域都有着重要的应用。
在不同的数学领域中，秩都有着不同的定义和性质。
在线性代数中，秩是矩阵的一个重要性质，它可以帮助我们理解矩阵的结构和性质。
在图论中，秩则是用来描述图中顶点之间的关系的一个重要指标。
在不等式中，秩也有着独特的作用。
本文将探讨关于秩的不等式，从不同的角度来解释和讨论。
在线性代数中，矩阵的秩是一个非常重要的概念。
对于一个矩阵而言，它的秩等于它的行秩和列秩中的较小值。
利用矩阵的秩，我们可以解决线性方程组的求解问题，判断矩阵的可逆性以及矩阵的基本性质。
在不等式中，我们也可以利用矩阵的秩来推导一些有趣的不等式。
例如，对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则A是可逆的；如果它的秩小于n，则A是奇异矩阵，不可逆。
这样的性质可以帮助我们在不等式中进行推导和求解。
在图论中，秩是描述图中顶点之间关系的一个重要指标。
对于一个图G=(V, E)，如果G中任意两个顶点之间有边相连，则称G是完全图。
完全图中的秩通常比较大，因为任意两个顶点之间都有边相连。
而在一般的图中，秩则描述了图中顶点之间的连接情况。
在不等式中，我们可以利用图的秩来推导一些关于图的性质的不等式。
例如，对于一个图G=(V, E)，如果G是连通图，则它的秩等于它的顶点数减去它的连通分量数加一。
这样的不等式可以帮助我们理解图的结构和性质。
在组合数学中，秩是排列和组合的一个重要概念。
对于一个集合A={a1, a2, ..., an}，它的一个排列是对A中元素的一个重新排列，而一个组合是从A中选择出若干个元素的一个子集。
在不等式中，我们可以利用排列和组合的秩来推导一些关于排列和组合性质的不等式。
例如，对于一个集合A={a1, a2, a3}，它的一个排列是{a1, a2, a3}，而它的一个组合是{a1, a2}，那么排列的秩大于等于组合的秩。
这样的不等式可以帮助我们更好地理解排列和组合的性质。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
精品文档
精品文档
1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
矩阵的秩的不等式总结
矩阵的秩的不等式总结矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以描述矩阵的行空间和列空间的维度，也可以用来描述矩阵的奇异性。
在实际应用中，矩阵的秩不仅在理论研究中有重要意义，而且在工程技术和科学计算中也有着广泛的应用。
本文将对矩阵的秩的不等式进行总结，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来看矩阵的秩的定义。
对于一个矩阵A，它的秩记作rank(A)，定义为矩阵A的行秩和列秩中的较小值。
行秩是指矩阵的行向量组的极大无关组的向量个数，而列秩是指矩阵的列向量组的极大无关组的向量个数。
矩阵的秩可以用来描述矩阵的线性无关性，以及矩阵所表示的线性空间的维度。
接下来，我们来总结矩阵的秩的不等式。
对于一个m×n的矩阵A，它的秩满足以下不等式：1. rank(A) ≤ min(m, n)。
这个不等式表明矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小值。
这是因为矩阵的秩不会超过矩阵的行空间和列空间的维度，而行空间和列空间的维度最大也不会超过矩阵的行数和列数中的较小值。
2. rank(A) ≤ r。
这里，r代表矩阵A的行秩和列秩中的较小值。
这个不等式说明矩阵的秩不会超过矩阵的行秩和列秩中的较小值，也就是矩阵的行空间和列空间的维度的较小值。
3. rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))。
对于两个矩阵A和B的乘积AB，它的秩不会超过矩阵A和B的秩中的较小值。
这个不等式可以帮助我们理解矩阵的乘积对秩的影响，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
4. rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。
对于两个矩阵A和B的和A+B，它的秩不会超过矩阵A的秩和矩阵B的秩之和。
这个不等式可以帮助我们理解矩阵的和对秩的影响，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
综上所述，矩阵的秩的不等式对于理解矩阵的性质和在实际应用中具有重要的意义。
通过对矩阵的秩的不等式进行总结，我们可以更好地理解矩阵的秩的性质，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
浅谈矩阵秩的等式与不等式证明
块矩 阵 ，利用分块 矩 阵的初 等变换 及分 块矩 阵 的秩 的相关
定 理 去 求 解．要 善 于观 察 ，构 造 分 块 矩 阵是 难 点 ，如 结 论 １Ｏ．
矩 阵的分 块方法是 矩 阵论 的一种 重要 方法 ，选择 合适
的分块方 法可使一 些证 明变得 简单 明了．在 学 习线性 代数
时 ，许多 问题都 可尝试 用分块方法解决． 本 文在对部分矩阵秩 的等式 与不等式证 明过程 中利 用
了 矩 阵 的 分 块 方 法 ． 思路 ６ 应用 方程 组解 的相关 理论 求解 ，如结论 １１的
证 明． 思路 ７ 灵活运用 常见的秩的等式与不等式进行 证明．
在证 明矩阵秩的 不等关 系时 ，经 常用到 关于 两矩 阵 和与 乘 积的秩的关系 ，如结 论 ５、结论 ６、结论 ７、结论 １１等．
对于有一些稍难 的结论 ，许多教材 并没有 给出证 明．本 文把
分散的知识点及 重要 的常用 结论 整合 在一 起 ，并归 纳整 理
出若 干常用有效 的证 明思路 ，帮助学生掌握这一难 点．
二 、预 备 知 识 及 证 明 思 路
定义 对 于 ｍ × 矩 阵 Ａ，若 阶 子 式 不 为 ０，且
数 即为矩阵的秩．
思路 ２ 初等变换不改变矩 阵的秩．利用初等变换 将矩
阵化为阶梯形 ，阶梯形矩阵非零行 的行数 即为矩 阵的秩．矩
阵的初等变换是研究矩 阵的秩的重要方法．
思路 ３ 证 秩相等 ，可考虑 证同解方程组．
构造 （Ｉ）ＡＸ＝０，（Ｕ）ＢＸ＝０．（Ａ，Ｂ列数相 同）
若 （Ｉ）（Ⅱ）同解 ，则 （Ｉ）与（ＩＩ）基 础解 系等价 ，从 而
●
．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 设A，B，C依次为 的矩阵，证明
r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于
且 是可逆矩阵，故
r(AB)+ r(BC) 秩 =秩 =秩
= r(ABC) + r(B)
从而r(ABC) r(AB)+ r(BC)-r(B)
证明：根据题三 1，只需要证明
当 时，
（1）
（2）
对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去 ， ， ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去 ， ， 时也消去了 ，对式（2）右端分块记为 其中 = ， = ， C=
于是上述消去 的行变换相当于
消去其余 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使
证：设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于
而 可逆，故
r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩
=r(AB)+r(E)
=r(AB)+n
从而r(AB) r(A) + r(B) - n
3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明
秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
证：因为
故秩（AB-E） 秩 秩
=秩（A-E）+秩（B-E）
r（ A B–C D） r（ A-C） + r（ B - D）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
=
由此易知r（A-C）+r（B-D）=r
r(AB-CD)
从而得r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D）
三 不等式等号成立的探讨
1 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分条件为：
证明：由
得：
2 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得
即得（E-A）A（E+A）=0
证明： 必要性 一方面，由 = A （E-A）A（E+A）=0 由题二 4知
0 r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)
即r（A） r（A- ）+r（A+ ）
另一方面，由r（A- ）+r（A+ ） r[（A- ）+（A+ ）]
= r（2A）
= r（A）
所以 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
林 松
（莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换
引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时
r(A)= n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，
从而B的列向量组的秩 n-r,即r（B） n-r
所以 r(A) + r(B) n
2设A为 矩阵，B为 矩阵，证明不等式r(AB) r(A)+r(B)-n
= + = ，即
从而有
令
得
3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y
使得
证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解
所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH)
r(BC)= r(HLC) = r(LC)
证明：由 = A，可得 A（ A–E ）= 0
由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n
又因为 E-A和A-E 有相同的秩
n=r(E)= r( A + E–A ) r ( A ) + r ( E–A )
从而 r( A ) + r( A–E ) = n
6 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r(A B + A + B) r( A ) + r ( B )
证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二
r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一
r( A ) + r( B )
6 设A，C均为 矩阵，B，D均为 矩阵，证明
r（ A + E ）+ r（ A–E ） n
r( A + E ) + r( A–E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)
= E
= E，即 0
r（A）= n
r( A + E) + r( A - E) n
故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n
5 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n
充分性 若r（A）= r（A- ）+r（A+ ）
设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y
使（2X）H = ，L（2Y）= 成立
则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）Biblioteka （XHLH - LHLY）= -0 =
由题三3得 r[（E-A）A(E+A)]
=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0
则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)
r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
矩阵X,Y 使得
所以 3得证
4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A–E ）= n
证明： ( A + E )( A–E ) = + A–A–E = E–E = 0
一 基本的定理
1 设A是数域P上 矩阵，B是数域上 矩阵，于是
秩（AB） min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2设A与B是 矩阵，秩（A B） 秩（A）+秩（B）
二 常见的秩的不等式
1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n
证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。