关于矩阵秩的一个不等式
a的秩和a的转置的秩的关系
a的秩和a的转置的秩的关系
原因如下：
设A是m×n的矩阵，可以通过证明Ax=0和A'Ax=0两个n元齐次方
程同解证得r(A'A)=r(A)。
1、Ax=0肯定是A'Ax=0的解，好理解。
2、A'Ax=0→x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0。
故两个方程是同解的。
同理可得r(AA')=r(A')。
另外有r(A)=r(A')。
所以综上r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。
矩阵的秩不等式
(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。
证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。
又因为矩阵的标准型是唯一的，所以
矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。
(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。
证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0
同解。
因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过
来也成立。
两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
利用分块矩阵证明秩的不等式
安 徽 技 术 师 范 学 院 学 报 ， ０ ２ １ （ ）５ ２ ０ ，６ ３ ：５
Ｊ ｕ ￣ ｏ ｈ ｉ ｃ ｎｃｌ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏｍ Ｉ Ａｎ ｕ ｈ ｉａ ｃ ｅｓＣ ￣ ｇ Ｔｅ Ｔｅ
利 用 分 块 矩 阵证 明秩 的 不 等 式
首先给 出－个基本事实。 几
引理 １ 矩 阵 积 的 秩 不 大 于 各 因 子 的秩 ； 可 逆矩 阵与 另一 矩 阵 乘 积 时 ， 积 的秩 等 于 另 一 矩 其
阵 的秩 。
［ ］ Ｒ）（ 殳 秩 （＋Ｂ 言 ＝ＡＲ）
…
证 毕
…
又 因为 Ｒ（ ＝Ｒ［Ａ—Ｂ） ］ Ｒ（ —Ｂ Ａ） （ ＋Ｂ ≤ Ａ ）
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关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
线性代数秩的不等式
线性代数秩的不等式
线性代数秩是一个重要的概念，它是线性代数中的一个基本概念，它可以用来衡量矩阵的复杂程度。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
它表明，矩阵的秩不能大于它的行数和列数的总和。
这意味着，如果一个矩阵的行数和列数之和为n，那么它的秩不能大于n。
线性代数秩的不等式也可以用来描述矩阵的维数。
它表明，如果一个矩阵的秩为r，那么
它的维数不能大于r。
这意味着，如果一个矩阵的秩为r，那么它的维数不能大于r。
线性代数秩的不等式也可以用来描述矩阵的特征值。
它表明，如果一个矩阵的秩为r，那
么它的特征值的个数不能大于r。
这意味着，如果一个矩阵的秩为r，那么它的特征值的
个数不能大于r。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
它可以用来衡量矩阵的复杂程度，也可以用来描述矩阵的维数和特征值的个数。
因此，线性代数秩
的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
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关于矩阵秩的一个不等式
Ξ
沈 华 (湖北大学数学系 武汉 430062)
对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。
熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。
(一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则
r (A +B )≤r (A )+r (B )
(1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则
r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。
对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。
在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。
本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。
现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。
明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。
进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N =
N 1N
2
,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。
本文的目的是证明如下的
定理 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则
r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2}
(2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。
(2)是比(1)精确的不等式。
根据(2)式,我们立即得到下面的推论1 设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。
注意到r (-B )=r (B )及C -B =C B 、R -B =R B ,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则有r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当r (A -B )=r (A )+r (B )。
先证明一个预备性结果。
引理 设A 是个秩为r 的m ×n 矩阵,对A 的任意满秩分解A =H L ,均有C A =C H ,R A =R L ,这里H 为m ×r 列满矩阵,L 为r ×n 行满矩阵。
证明 设A =(Α1、Α2、…、Αn ),H =(Β1、Β2、…、Βr ),L =(l ij )r ×n ,从A =H L 得到Αi =l 1i Β1+l 2i Β2+…+l ri Βr (1≤i ≤n )。
这样由Α1、Α2、…、Αn 生成的向量空间C A <由Β、Β2、…、Βr 生成的向量空间C H .注意到di m C A =r (A )=r (H )=di m C H ,我们立即得到C A =C H 。
又A 的转置矩阵A ′有满秩分解A ′=L ′H ′
,于是C A ′=C L ′,也就是说,R A =R L 。
61 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 16,N o 11
M ar .,2003
Ξ
定理的证明 设A、B有如下的满秩分解
A=H1L1,B=H2L2(3)这里H1、H2分别为n×r(A)、n×r(B)列满矩阵,而L1、L2分别为r(A)×m、r(B)×m行满矩阵,
则从引理可知C A=C H
1,C B=C H
2
及R A=R L
1
,R B=R L
2。
根据(3)可得
A+B=H1L1+H2L2=(H1,H2)
L1
L2
(4)
其中(H1,H2)为m×[r(A)+r(B)]矩阵,而L1
L2
为[r(A)+r(B)]×n矩阵。
接下来我们需要计算
(H1,H2)和L1
L2
的秩,由维数公式,可得
r(H1,H2)=di m C(H1,H2)=di m(C H
1
+C H
2
)=
di m(C A+C B)=di m C A+di m C B-di m(C A∩C B)=
r(A)+r(B)-d1
同理可得r L1
L2
=r(A)+r(B)-d2。
因而由(4)知
r(A+B)≤m in r(H1,H2),r
L1
L2
≤r(A)+r(B)-m ax{d1,d2}(5)
另一方面,据(4)及Sylvester不等式,得
r(A+B)≥r(H1,H2)+r L1
L2
-[r(A)+r(B)]=r(A)+r(B)-(d1+d2)(6)
于是综合(5)、(6)即得(2)。
参考文献
[1]屠伯埙1线性代数—方法导引1上海:复旦大学出版社,19861
[2]樊恽主编1代数学辞典1武汉:华中师范大学出版社,19941
2002年第4期第52页载
“电子科技大学高等数学期末试题(附答案)”补遗
七、(7分)求函数f(x)=3(x2-2x)2在[0,3]上的最大值与最小值。
[f m ax=39,f m in=0]
八、(7分)设f″(x)在[0,Π]上连续,且f(0)=2,f(Π)=1,求∫Π0[f(x)+f″(x)]sin x d x.[=3]
九、(10分)过点(-1,0)作抛物线y=x的切线,该切线与抛物线及x轴围成平面图形。
(1)求该平面图形的面积;[=1
3
]
(2)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
[=Π6 ]
十、(7分)设在[0,1]上f″(x)<0,求证:∫10f(x)d x≤f(12).附加题:(5分,做对计分)
设0<x1<3,x n=3(1+x n-1)
3+x n-1
(n=2,3,…).求证:数列{x n}收敛,并求其极限。
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第6卷第1期 沈华:关于矩阵秩的一个不等式 。