17.1勾股定理三
人教版初中数学第十七章勾股定理知识点.doc
第十七章勾股定理17. 1勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为4、b,斜边长为C,那么a2+b2=c2勾股定理的证明：方法一：+ S正方形EFGH = S正方形ABCD， ^^-ab + (b-a)2 =c~»化间可证•方法二四个直角三角形的而积与小止方形而积的和等于大止方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x丄"+圧=2" +圧2大正方形面积为S = (a + b)2 =a2 + 2ab + b2a2 + b2 = c2方法三：S梯形=*(a + Z?).(a + Z?) ‘ S m=2S MDE+S MBE=2-^ab+^c2,化简得证17. 2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即+ b2 = c2中，a, b, c为正整数吋，称a , b, c为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 7、24、25 等例、在RtAABC 中，a=3, b=4,求c・错解由勾股定理，得C=V^2+/?2=A/42+32 =5诊断这里默认了ZC为直角.其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b>a时，ZB可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况.当ZB 为直角时，c=y/h2—a2 = V42—32 =>/7例、己知RtAABC 中，ZB=RTZ, H=A/2, C=2A/2 ,求 b.错解由勾股定理，得B = \{c2— a2 - \l(2y/2)2—(>/2)2 = y/6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2 + b2=c2n .殊不知，只有当ZC=RtZ时，a2+b2=c2才能成立，而当ZB=RtZ时，则勾股定理的表达式应为a2+c2=b2.正确解答VZB=RtZ,由勾股定理知a2+c2=b2.b= Jc2 +O1 = J(2>/^)2 +(血)2 = V10例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm,则第三边长为 ________ .错解设第三边长为xcm.由勾股定理，得X2=62+82.x= A/62+82 =736 + 64=10即第三边长为10cm.诊断这里在利用勾股定理计算吋，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，・・・第三边可能是斜边，也可能是直角边.正确解法设第三边长为xcm.若第三边长为斜边，由勾股定理，得X=A/624-82^ = \/36 + 64 = 10(cm)若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x= Vs 2 — 62 = \/28 = 2护(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者2^7 cm.12^/3 例、如图，已知RtAABC 屮，ZBAC=90° , AD 是高，AM 是屮线，月.AM 二一BC=」一AD •又RTAABC2 3 的周长是(6+2>/3 )cm.求AD.错解 V A ABC 是直角三角形,•••AC:AB:BC 二 3:4:5「•AC : AB : BC=3 ： 4 ： 5.・・・AC 看6+2外呼，AB 令6+2於呻L BC 培（6+2济匕护又・・・"gE3 + >/3 6 + 2>/3 -------------- X ------------------- 2 315 + 5 巧=（3 +孙•爷+舲）二（3+的）（沏5（3 + 73） 5诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角 形的三边关系.上述解法犯了以特殊代替一般的错误.正确解法••皿琴血 ・・・MD 二 J(| 屈 D)2 — AZ)2又VMC=MA, 「.CD 二MD.AD= AC •AB BC•••点C 与点M 关于AD 成轴对称.AAC=AM, A ZAMD=60° =ZC.0 1 73 AZB=30° , AC=-BC, AB= —BC 2 2A BCM.例、在ZSABC 中，a ： b ： c=9 ： 15 ： 12,试判定AABC 是不是直角三角形.错解 依题意，设 a=9k, b=15k, c=12k(k>0).•・• a 2+b 2=(9k)2+(15k)2=306k 2, c2=(l 2k)2= 144k 2,Aa 2+b 2^c 2. AAABC 不是直角三角形.诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形” •而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理.正确解法 由题意知b 是最长边.设a=9k, b=15k, c=12k(k>0).•・・ a 2+c 2=(9k)2 + (12k)2=8 lk 2+l 44k 2=225k 2.b2=(15k)2=225k 2, Aa 2+c 2=b 2.•••△ABC 是直角三角形.例、已知在AABC 中，AB>AC, AD 是中线，AE 是高.求证：AB 2-AC 2=2BC -DE错证如图.VAE 丄BC 于 E,.\AB 2=BE 2+AE 2, 1BC =^AD , 2 3 ••• AD= =V3 (cm)AC2=EC2+AE2. AAB2-AC2=BE2-EC2 =(BE+EC)・(BE—EC)=BC ・（BE —EC ）.・.・ BD=DC,・•・ BE=BC 一 EC=2DC 一 EC.・*.AB 2-AC 2=BC ・（2DC-EC-EC ）=2BC ・ DE.诊断 题设中既没明确指出AABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能 是直角三角形或钝角三角形.・••高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意.而 这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成.例、已知在AABC 中，三条边长分别为a, b, c, a=n,n 2 n 2 +4b= —-1, c=-——（n 是大于2的偶数）.求证:Z\ABC 是直角三角形. 4 4错证1 Tn 是大于2的偶数，•：収n=4,这时a=4, b=3, c=5.V a 2+b 2=42+32=25=52=c 2,•••△ABC 是直角三角形（勾股定理的逆定理）.由勾股定理知AABC 是直角三角形.由勾股定理的逆定理知，AABC 是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般. c 2=( n 2 + 4 4 n 2 ? IT ■ ?兀 )=(T + 1)=^+2 4 9 4 少 n / n + — - — + 1 = — + — +1 16 2 16 2。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
17.1.3勾股定理
【备选例题】请在由边长为1的正三角形组成的网格中，画出3 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边的长为无理数的等腰 三角形.
【解析】先确定出一条长为无理数的线段，然后再找出另两边， 对长为无理数的线段，根据网格中蕴含的特殊角、直角,借助勾 股定理即可确定，答案 (1)考查知识：图形的对称性、勾股定理、面积计算等. (2)解题思想：分类讨论、数形结合. (3)题目特征：任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的 边或对角线，所以任何格点间的线段长度都能求得.
【想一想】 如何在数轴上作出表示 30的点?当被开方数不能直接拆成两个 完全平方数的和时,如何处理? 提示:可以先作出表示 2的9 点,再以此为基础构造直角三角形. 当被开方数不能直接拆成两个完全平方数的和时,可以考虑拆 成3个完全平方数的和,通过两次构造直角三角形来作.
【微点拨】 解题的关键在于把被开方数拆成两个完全平方数的和.
【思路点拨】把分散的角集中在一起.
【自主解答】连接A3E2,如图, 易知Rt△A3A2E2≌△A1A2E2(边角边), 故∠A3E2A2=∠A1E2A2. 由勾股定理,得C4E5= 22 1=2 =5C3E2, A4E5=42 12= =17A3E2. 因A4C4=A3C3=2,故△A4C4E5≌△A3C3E2(边边边), ∠A3E2C3=∠A4E5C4.
17.1 勾 股 定 理 第3课时
1.在数轴上表示 13 .
要在数轴上画出表示的 13 点,只要画出长为 13 的线段即可. 利用勾股定理,长为 13 的线段是直角边为正整数_2_,_3_的直角 三角形的斜边.
如图,在数轴上找出表示3的点A,则OA=_3_,过点A作直线l垂直于 OA,在l上取点B,使AB=_2_,连接OB,以原点O为圆心,以OB为半径 作弧,弧与数轴的交点_C_即为表示的 13点.
人教版八年级数学下17.1勾股定理(3)优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生的自信心和自主学习能力，让学生体验到成功的喜悦。
3.通过解决实际问题，培养学生的应用意识，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生严谨治学的态度，养成积极主动、认真负责的学习习惯。
人教版八年级数学下17.数学下册第17.1节勾股定理（3），学生在学习了勾股定理的基础上，进一步探究勾股定理的应用。通过前面的学习，学生已经掌握了勾股定理的表述和证明，但对勾股定理的理解还停留在表面，对勾股定理在实际问题中的应用还不够熟练。因此，本节课的教学目标是让学生深入理解勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示房屋装修、篮球架安装等实际生活中的例子，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.提出问题：“在这些实际问题中，我们如何运用数学知识来解决呢？”引导学生思考，为新课的引入做好铺垫。
3.教师总结：通过实际例子，我们可以发现一个规律——直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们今天要学习的勾股定理。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生通过自主学习，发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
2.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享彼此的想法和成果，促进学生之间的思维碰撞。
3.教师引导：在学生探究过程中，教师要善于引导学生，给予必要的提示和帮助，引导学生正确思考。
（三）小组合作
1.小组讨论：让学生在小组内进行讨论交流，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和进步，给予鼓励和指导。
17.1勾股定理3
回顾旧知识：
1、勾股定理是如何阐述的？
2、在运用勾股定理的时候，需要注意的前 提是什么？ 3、数轴上的点可以表示哪些数？
一 、回顾交流 1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 2 矩形的一边长是5，对角线是13，则 它的面积是
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
试一试：
请同学们在草稿纸上再画图，在数轴上表示 13 的点，思考；构造直角三角形的方法是否只有一种。 L
解： 2
32 13 建立直角三角形
2
B
而两个直角边分别是 2， 3 那斜边一定是 13
2
A
0
1
2
C 3 4
13
试 一 试
1请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 的方法？
13
的点
2你能在数轴上表示
17 的点吗？试一试！
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2,
3 4
3,
5 ，…
5
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 1 2
1 1
2
3
4
5
用同样的方法，能否在数 轴上画出表示 1 2 3 4
5 …
1
0
1 2 32 5 3
4
5
归 纳：
请同学们归纳出如何在数轴上画出表示点√a (a为 正整数)的方法？ 首先构造一个直角三角形，通过作出其余两边，运 用勾股定理构造出第三边
2. 把几何体适当展开成平面图形，再利用 “两点之间线段最短”，或点到直线“垂线 段最短”等性质来解决问题。
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片， 使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
八年级数学下册17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学
第十七章勾股定理17.1勾股定理教课备注第 3 课时利用勾股定理作图或计算学习目标： 1. 会运用勾股定理确立数轴上表示实数的点及解决网格问题；2. 灵巧运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确立数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵巧运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.自主学习学生在课前达成自主学一、知识回首习部分 1. 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数. 你能在数轴上分别画出表示 3,-2.5的点吗？配套 PPT 讲授 2. 求以下三角形的各边长 .1.情形引入（见幻灯片3-4）讲堂研究2.研究点 1 新知讲解一、重点研究（见幻灯片研究点1：勾股定理与数轴5-12）1. 你能在数轴上表示出2的点吗？2呢？ ( 提示：能够结构直角三角形作出想想边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗, 即是直角边的长都为正整数？3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它增补完好.(1)在数轴上找到点 A, 使 OA=______;(2)作直线 l ____OA,在 l 上取一点B，使AB=_____;(3)以原点 O为圆心，以 ______为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 ______的点 .重点概括：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边 . （ 2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左侧的点表示是负无理数，在原点右侧的点表示是正无理数.近似地，利用勾股定理能够作出长2, 3,5L为线段 , 形成如图所示的数学海螺 .典例精析例 1 如图，数轴上点 A 所表示的数为a，求 a 的值 .易错点拨 : 求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因此所表示的数不是斜边长.针对训练1. 如图，点 A 表示的实数是（）A. 3B.5C.3D.5第1题图第2题图2. 如图，矩形ABCD中， AB=3， AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M，则点 M表示的数为（）A.2B. 5 1C.101D.53. 你能在数轴上画出表示17的点吗？研究点 2：勾股定理与网格综合求线段长典例精析例 2 在如下图的 6× 8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点△ ABC各极点的坐标，并求出此三角形的周长．教课备注配套 PPT 讲解3.研究点 2 新知讲解（见幻灯片13-17）方法总结 : 勾股定理与网格的综合求线段长时，往常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度 .例 3如图，在2× 2 的方格中，小正方形的边长是1，点 A、 B、 C 都在格点上，求AB 边上的高 .教课备注教课备注配套 PPT 讲解配套 PPT 讲解方法总结 : 此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高 .针对训练1.如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多能够作出多少条长度为5 的线段？2. 如图，在 5× 5 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形5.讲堂小结（见幻灯片 29）的长分别为 2, 2, 10 .4.研究点研究点 3：勾股定理与图形的计算3 新知讲解典例精析6.当堂检测（见例 4 如图，折叠长方形ABCD的一边 AD，使点 D 落在 BC边的 F 点处，若 AB=8cm，幻灯片 22-28）（见幻灯片18-21）BC=10cm，求 EC的长 .方法总结 : 折叠问题中联合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x( 一般设所求线段的长为x) ；(2) 用已知线数或含x 的代数式表示出其余线段长；(3) 在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个对于x 的方程； (4) 解这个方程，进而求出所求线段长.变式题如图，四边形 ABCD是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点 B 落在 CD 边上的B′处，点 A 的对应点为 A′，且 B′ C＝ 3，求 AM的长 .教课备注6.当堂检测（见针对训练幻灯片 22-28）如图，四边形ABCD中∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， AB=2， CD=1，求四边形 ABCD的面积．1.二、讲堂小结利用勾股在数轴上表示出无理数的点往常与网格求线段长或面定理作图利用勾股定理解决网格中的问题积联合起来或计算利用勾股定理解决折叠问题及其往常用到方程思想他图形的计算当堂检测1. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，点A、B 都是格点，则线段 AB 的长度为（）A.5B.6C.7D.25AB第1题图第2题图第3题图2. 小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的 2 个单位长度的地点找一个点D，而后点D做一条垂直于数轴的线段CD， CD为 3 个单位长度，以原点为圆心，以到点 C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点地点大概在数轴上（）A.2 和 3之间B.3和4之间C.4 和 5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ ABC的三个极点均在格点上，则 AB边上的高为 _ ______.4.如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=8cm，∠ A=60°，∠ ADC=150°，已知四边形 ABCD的周长为 32cm，求△ BCD的面积．八年级数学下册17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学5.如图，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，求重叠部分△ AFC的面积 .能力提高6.问题背景：在△ ABC中， AB、 BC、 AC 三边的长分别为5a、10、3 , 求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先成立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ ABC（即△ ABC三个极点都在小正方形的极点处），如下图．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）若△ ABC三边的长分别为5a,2 2a, 17a (a ＞ 0) ，请利用图②的正方形网格（每个小正方a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②。
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
17.1_第3课时_勾股定理与数轴
17
1
?
0
A 1
2
3
4 C
课堂检测
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后， 于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然 后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位 长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧， 交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ B ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
2.导学方案第42页自主测评第2题 3.导学方案第42页自主测评第3题 4.导学方案第44页基础巩固第3题
13
3
l B
2
也可以使 OA=2，AB=3， 同样可以求 出C点.
O 0
1
A 2
3
C4
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边
是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画
弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无
理数，在原点右边的点表示是正无理数.
问题2 长为 13的线段能是直角边的长都为正整数 的直角三角形的斜边吗？
13
?
13
2
?
13
3
?
1
√
√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 13的 点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 13 的点.
练一练 1.如图，点A表示的实数是
（ D ）
A. 3
B. 5
C. 3
D. 5
八年级数学课件 17.1 勾股定理(三)
0.5 2
x
x+0.5
探究3
执竿进屋 笨人持竿要进屋， 无奈门框栏住竹， 横多四尺竖多二，
没法急得放声哭。 2
有个邻居聪明者， 教他斜竿对两角， 笨人依言试一试， 不多不少刚抵足， 借问竿长多少数，
谁人算出我佩服。x-2
( x 2)2 ( x 4)2 x2 x2 4x 4 x2 8x 16 x2
为
．
2 ．长为
的线段是直角边长为正整数
，
角三角形的26斜边.
的直
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的
三角形ABC中,边长为无理数的边数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
当堂达标
5.已知如图所示，等边三角形ABC的边长为8： （1）求高AD的长 （2）求这个三角形的面积 （答案可保留根号）
2 3C 4
15
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,....呢?
探究1:
你能在数轴 上画出表示 13的点吗？
2 -1
21
0
1
1
2
2
34
5
6
3
7
13 ?
13 ?
12 2 3
93
1
2√
13 ? 42
3√
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅 美丽的“海螺型”图案
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(三）
历史因你而改变 学习因你而精彩
探究1:
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
13 2
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学案无答案新版新人教
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.一、要点探究探究点1：勾股定理与数轴想一想1.你能在数轴上表示出2的点吗？2呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-12）要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）-2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长 例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．叠部分△AFC的面积.）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图②。