河北省邯郸市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷【答案版】
2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |y ＝ln （x +1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，4）C ．（0，2）D ．（0，4）2．已知复数z 是方程x 2+4x +5＝0的一个根，且复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，则z =（ ） A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i3．在等差数列{a n }中，“a 2+a 5＝a 3+a m ”是“m ＝4”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝2，则2a+1+8b+1的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．92D ．95．已知函数f （x ﹣1）为偶函数，且函数f （x ）在[﹣1，+∞）上单调递增，则关于x 的不等式f （1﹣2x ）＜f （﹣7）的解集为（ ） A ．（﹣∞，3）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）6．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条平行于x 轴的光线，经过点A （3，1），射向抛物线C 的B 处，经过抛物线C 的反射，经过抛物线C 的焦点F ，若|AB |+|BF |＝5，则抛物线C 的准线方程是（ ） A ．x ＝﹣4B ．x ＝﹣2C ．x ＝﹣1D ．x =−127．某校大一新生A ，B ，C ，D 欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ） A ．21种 B ．30种C ．42种D ．60种8．已知a =3301，b =2201，c =ln 101100，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a →=(2，1)，|b →|=2|a →|，且a →⊥b →，则b →=（ ） A ．（2，﹣4）B ．（﹣2，﹣4）C ．（﹣2，4）D ．（2，4）10．已知函数f （x ）＝log 2（x +6）+log 2（4﹣x ），则（ ） A ．f （x ）的定义域是（﹣6，4） B ．f （x ）有最大值C ．不等式f （x ）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D ．f （x ）在[0，4]上单调递增 11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ＝3，b ＝4，则|BF 1|+|BF 2|＝26B ．若BF 2⊥BF 1，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．若|MB |＝2|MF 1|，则双曲线C 的离心率是√13D ．若M 是BF 1的中点，则双曲线C 的离心率是√512．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 在棱BC 上（不包括端点），则下列判断正确的是（ ）A ．存在点P ，使得AP ⊥平面DD 1EB ．存在点P ，使得三棱锥P ﹣DD 1E 的体积为45C ．存在点P ，使得点P 到DE 的距离为5D ．当P 为BC 的中点时，三棱锥P ﹣DD 1E 外接球的表面积为86π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．身体质量指数，也就是BMI 指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI 指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 ．14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，点E ，F 满足PD →=3PE →，DP →=3DF →，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．15．已知点A （0，0），B （6，0），符合点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．16．在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点，G ，F 分别为边AD ，BC 上的动点，且∠FEG =2π3，则GE +EF 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣1．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n ＝a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）已知函数f(x)=√3sin2ωx −2cos 2ωx +2(ω∈N +)在(π，4π3)上单调． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝3，f(A2)=2，求△ABC 周长的最大值． 19．（12分）如图1，四边形ABCD 是等腰梯形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AD ＝2BC ＝2EF ＝4．将四边形ABFE 沿着EF 折起到四边形A 1B 1FE 处，使得A 1C ＝3，如图2，G 在A 1E 上，且A 1E →=3A 1G →． （1）证明：A 1C ∥平面DFG ；（2）求平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20．（12分）甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）求甲、乙两人最终平局的概率；（3）记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝1的离心率互为倒数，点A（2，2）在椭圆C 上，不过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率之和为1，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax cos x ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在x =π2处的切线方程；（2）对任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜ax 2+ax ，求a 的取值范围．2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{x|y＝ln（x+1）}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（0，2）D．（0，4）解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|y＝ln（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．2．已知复数z是方程x2+4x+5＝0的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则z=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i解：复数范围内方程x2+4x+5＝0的根为x＝﹣2±i，因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以z＝﹣2﹣i，则z=−2+i．故选：D．3．在等差数列{a n}中，“a2+a5＝a3+a m”是“m＝4”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当{a n}的公差d＝0时，由a2+a5＝a3+a m，得m是任意的正整数，所以由“a2+a5＝a3+a m”推不出“m＝4”，由m＝4，得a2+a5＝a3+a m，所以由“m＝4”可以推出“a2+a5＝a3+a m”，则“a2+a5＝a3+a m”是“m＝4”的必要不充分条件．故选：A．4．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+1+8b+1的最小值是（）A．2B．4C．92D．9解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，则2a+1+8b+1=14[(a+1)+(b+1)](2a+1+8b+1)=14[2(b+1)a+1+8(a+1)b+1+10]≥14×(2×4+10)=92，当且仅当a=13，b=53时，等号成立．故选：C．5．已知函数f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，则关于x的不等式f（1﹣2x）＜f（﹣7）的解集为（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）解：因为f（x﹣1）为偶函数，所以f（x﹣1）的图像关于y轴对称，则f（x）的图像关于直线x＝﹣1对称，因为f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，因为f（1﹣2x）＜f（﹣7）＝f（5），所以﹣7＜1﹣2x＜5，解得x＜3，即原不等式的解集为（﹣∞，3）．故选：A．6．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），一条平行于x轴的光线，经过点A（3，1），射向抛物线C的B 处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（）A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x=−12解：由抛物线的定义可得|AB|+|BF|=3+p2=5，解得p＝4，则抛物线C的准线方程是x=−p2=−2．故选：B．7．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）A．21种B．30种C．42种D．60种解：4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2 人，有C41+C42A22种方案，3个社团选择2个社团，有C32种方案，把2个组分配给2个社团，有A22种方案，由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（C41+C42A22）C32A22=42种．故选：C ． 8．已知a =3301，b =2201，c =ln 101100，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c解：因为a −b =3301−2201=603−602301×201=1301×201＞0，所以a ＞b ． 设f(x)=lnx −2(x−1)x+1，则f ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，故f(x)=lnx −2(x−1)x+1在（0，+∞）上单调递增．因为f （1）＝0，所以f(101100)=ln 101100−2(101100−1)101100+1=ln 101100−2201＞f(1)=0，即c ＞b ．设g(x)=lnx −3(x−1)x+2，则g ′(x)=1x −9(x+2)2=(x−1)(x−4)x(x+2)2，当x ∈（1，4）时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（1，4）上单调递减．因为g （1）＝0，所以g(101100)=ln 101100−3(101100−1)101100+2=ln 101100−3301＜g(1)=0，即a ＞c ．综上a ＞c ＞b ． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a →=(2，1)，|b →|=2|a →|，且a →⊥b →，则b →=（ ） A ．（2，﹣4）B ．（﹣2，﹣4）C ．（﹣2，4）D ．（2，4）解：设b →=(x ，y)，因为|b →|=2|a →|，a →⊥b →，所以{b →2=4a →2a →⋅b →=0⇒{x 2+y 2=202x +y =0，解得{x =2y =−4或{x =−2y =4，故b →=(2，−4)或b →=(−2，4)． 故选：AC ．10．已知函数f （x ）＝log 2（x +6）+log 2（4﹣x ），则（ ） A ．f （x ）的定义域是（﹣6，4） B ．f （x ）有最大值C ．不等式f （x ）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D ．f （x ）在[0，4]上单调递增 解：由题意可得{x +6＞04−x ＞0，解得﹣6＜x ＜4，即f （x ）的定义域是（﹣6，4），则A 正确；f(x)=log 2(−x 2−2x +24)，因为y ＝﹣x 2﹣2x +24在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，y ＝log 2x 在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣1）＝2log 25，则B 正确；因为f （x ）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，且f （﹣4）＝f （2）＝4，所以不等式f （x ）＜4的解集是（﹣6，﹣4）∪（2，4），则C 错误； 因为f （x ）在（﹣1，4）上单调递减，所以D 错误． 故选：AB ． 11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ＝3，b ＝4，则|BF 1|+|BF 2|＝26B ．若BF 2⊥BF 1，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．若|MB |＝2|MF 1|，则双曲线C 的离心率是√13D ．若M 是BF 1的中点，则双曲线C 的离心率是√5 解：如图所示，对于A ：由a ＝3，b ＝4，得c ＝5，所以|OF 1|＝5，|OM |＝3，|MF 1|＝4， 设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝m +6，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 1F 2=(m+6)2+102−m 22×10(m+6)=45，解得m ＝10，则|BF 2|＝10，|BF 1|＝16，从而|BF 1|+|BF 2|＝26，故A 正确；对于B ：由BF 2⊥BF 1，得OM ∥BF 2，因为O 为F 1F 2的中点，所以M 为BF 1的中点， 由题意可知|OM |＝a ，|MF 1|＝b ，则|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝2b ． 由双曲线的定义可得|BF 1|﹣|BF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ， 则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确； 对于C ：由|MB |＝2|MF 1|，得|BF 1|＝3b ，则|BF 2|＝3b ﹣2a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 1F 2=(3b)2+(2c)2−(3b−2a)22×3b×2c =bc，整理得b a =32，则e =√(b a )2+1=√132，故C 错误；对于D ：因为M ，O 分别是BF 1，F 1F 2的中点，所以OM ∥BF 2，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝2b ． 由双曲线的定义可得|BF 1|﹣|BF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ，则e =√(ba )2+1=√5，故D 正确． 故选：ABD ．12．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 在棱BC 上（不包括端点），则下列判断正确的是（ ）A ．存在点P ，使得AP ⊥平面DD 1EB ．存在点P ，使得三棱锥P ﹣DD 1E 的体积为45C ．存在点P ，使得点P 到DE 的距离为5D ．当P 为BC 的中点时，三棱锥P ﹣DD 1E 外接球的表面积为86π解：以D 1为原点，分别以D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：因为AB ＝6，所以D 1（0，0，0），D （0，0，6），A （6，0，6），E （6，3，0），P （t ，6，6）（0＜t ＜6），对于A ：当P 是BC 的中点时，P （3，6，6），AP →=(−3，6，0)，D 1E →=(6，3，0)，D 1D →=(0，0，6)， 所以{AP →⋅D 1E →=0AP →⋅D 1D →=0， 所以AP ⊥D 1E ，AP ⊥D 1D ，D 1E ∩D 1D ＝D 1，D 1E ，D 1D ⊂平面DD 1E ， 所以AP ⊥平面DD 1E ，则A 正确；对于B ：由正方体的性质可得DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，则DD 1⊥D 1E ，因为AB ＝6，所以DD 1＝6，D 1E =3√5，则△DD 1E 的面积S =12×6×3√5=9√5，由选项A 可知，平面DD 1E 的一个法向量n →=13AP →=(−1，2，0)，D 1P →=(t ，6，6)，设点P 到平面DD 1E 的距离为h ，则ℎ=|n →⋅D 1P →||n →|=12−t5， 由0＜t ＜6，则6√55＜ℎ＜12√55，从而三棱锥P ﹣DD 1E 的体积V ∈（18，36），故B 错误； 对于C ：DE →=(6，3，−6)，DP →=(t ，6，0)，则点P 到DE 的距离d =√DP →2−(DP →⋅DE →|DE →|)2=√5t 2−24t+2883，因为0＜t ＜6，所以12√55≤d ＜6，5＜12√55，则C 错误；对于D ：如图，分别取棱AB ，B 1C 1的中点F ，G ，连接DF ，EF ，EG ，D 1G ，PG ，PD ，PF ， 则三棱锥P ﹣DD 1E 的外接球与三棱柱DFP ﹣D 1EG 的外接球为同一个球． 由题意可得D 1E =D 1G =3√5，EG =3√2，由余弦定理可得cos ∠ED 1G =D 1E 2+D 1G 2−EG 22D 1E⋅D 1G =45，从而sin ∠ED 1G =35， 则△D 1EG 的外接圆半径r =EG 2sin∠ED 1G =5√22，从而三棱柱DFP ﹣D 1EG 外接球的半径R 满足R 2=r 2+(AA 12)2=504+9=864， 故其外接球的表面积S ＝4πR 2＝86π，D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．身体质量指数，也就是BMI 指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI 指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 20.7 ． 解：因为20×0.65＝13， 所以这组数据的第65百分位数是20.3+21.12=20.7．故答案为：20.7．14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，点E ，F 满足PD →=3PE →，DP →=3DF →，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√7014． 解：如图，取棱PC 的中点G ，连接BG ，EG ，由题意可知PE ＝EF ，即E 是PF 的中点，因为G 是PC 的中点，所以EG ∥CF ，则∠BEG 是异面直线BE 与CF 所成的角（或补角），正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，设AB ＝6，△CFD 中，CD ＝6，DF ＝2，∠PDC ＝60°，CF =√CD 2+FD 2−2×CD ×FD ×cos∠CDF =√62+22−2×6×2×12=2√7， 则EG =12CF =√7，正三角形PBC 中，BG =3√3，△BPD 与△BAD 中，PB ＝AB ，PD ＝AD ，BD ＝BD ，△BPD ≅△BAD ， ∴∠BPD ＝∠BAD ＝90°，BE =√BP 2+PE 2=√62+22=2√10， 在△BEG 中，由余弦定理可得cos ∠BEG =40+7−272×2√10×√7=√7014．故答案为：√7014． 15．已知点A （0，0），B （6，0），符合点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3的直线方程为 x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0或2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0（写出一条即可） （写出一条即可）． 解：由题意可知直线l 是圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣6）2+y 2＝9的公切线，因为两圆为外离关系， 所以满足条件的直线l 有四条，当直线l 是两圆的外公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l 过点（﹣3，0）， 设直线l 的方程为x ＝my ﹣3，则√1+m 2=1，解得m =±2√2，此时直线l 的方程为x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0，当直线l 是两圆的内公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l 过点(32，0)，设直线l 的方程为x =ny +32，则|32|√1+n 2=1，解得n =±√52，此时直线l 的方程为2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0．故答案为：x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0或2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0（写出一条即可）．16．在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点，G ，F 分别为边AD ，BC 上的动点，且∠FEG =2π3，则GE +EF 的取值范围是 [8√33，2√6] ． 解：如图，设∠AEG ＝α，则∠FEB =π3−α，GE =2cosα，EF =2cos(π3−α)， ∴GE +EF =2cosα+2cos(π3−α)=3cosα+3sinα√32sinαcosα+12cos =8√3sin(α+π3)2sin(2α+π6)+1， 令t =sin(α+π3)，则sin(2α+π6)=−cos(2α+π6+π2)=−cos(2α+2π3)=2sin 2(α+π3)−1=2t 2−1， ∴GE +EF =8√3t 4t 2−1=8√34t−1t， ∵α∈[π12，π4]，∴α+π3∈[5π12，7π12]，∴t ∈[√6+√24，1]，又易知y =4t −1t 在[√6+√24，1]上单调递增，∴2√2≤4t −1t≤3， ∴8√33≤GE +EF =8√34t−1t≤2√6． 故答案为：[8√33，2√6]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n ＝a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1﹣1，解得a 1＝1．当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1，则a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1（n ≥2），从而{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 因此a n =a 1q n−1=2n−1，n ≥2， 又当n ＝1时，也满足， 故a n =2n−1．（2）由（1）可得a n+1=2n ，则b n =2n−1+n ， 故T n =(1+1)+(2+2)+(22+3)+⋯+(2n−1+n) ＝（1+2+22+⋯+2n ﹣1）+（1+2+3+⋯+n ）=1−2n 1−2+(1+n)n 2=2n+1+n 2+n−22． 18．（12分）已知函数f(x)=√3sin2ωx −2cos 2ωx +2(ω∈N +)在(π，4π3)上单调． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝3，f(A 2)=2，求△ABC 周长的最大值． 解：（1）由题意可得f(x)=√3sin2ωx −cos2ωx +1=2sin(2ωx −π6)+1， 因为f （x ）在(π，4π3)上单调， 所以12×2π|2ω|≥4π3−π，解得−32≤ω≤32，因为ω∈N +，所以ω＝1，即√3sin2ωx −cos2ωx +1=2sin(2x −π6)+1， 令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)， 解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)，即f （x ）的单调递增区间是[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z)； （2）因为f(A2)=2， 所以2sin(A −π6)+1=2， 所以sin(A −π6)=12， 因为0＜A ＜π， 所以−π6＜A −π6＜5π6， 所以A =π3，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即b 2+c 2﹣bc ＝9，即3bc ＝（b +c ）2﹣9， 因为bc ≤(b+c 2)2，当且仅当b ＝c 时，等号成立， 所以3(b+c)24≥(b +c)2−9，解得b +c ≤6，则a +b +c ≤9，即△ABC 周长的最大值为9．19．（12分）如图1，四边形ABCD 是等腰梯形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AD ＝2BC ＝2EF ＝4．将四边形ABFE 沿着EF 折起到四边形A 1B 1FE 处，使得A 1C ＝3，如图2，G 在A 1E 上，且A 1E →=3A 1G →． （1）证明：A 1C ∥平面DFG ；（2）求平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解：（1）证明：连接CE ，交DF 于点H ，连接GH ， 根据题意易证△CHF ∽△EHD ，∴CHEH=CF ED=12，又A 1E →=3A 1G →，∴A 1G EG=12，∴CH EH=A 1G EG，∴GH ∥A 1C ，又GH ⊂平面DFG ，A 1C ⊄平面DFG ， ∴A 1C ∥平面DFG ；（2）由图1可知A 1E ⊥EF ，DE ⊥EF ，∵AD ＝2BC ＝2EF ＝4，E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴CF ＝1，EF ＝A 1E ＝2，则CE =√5，又A 1C ＝3， ∴CE 2+A 1E 2=A 1C 2，∴A 1E ⊥CE ， 又EF ，CE ⊂平面CDEF ，且EF ∩CE ＝E ， ∴A 1E ⊥平面CDEF ，∴以EF →，ED →，EA 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建系如图，根据题意可得：A 1（0，0，2），C （2，1，0），D （0，2，0），F （2，0，0），G(0，0，43)，∴A 1C →=(2，1，−2)，CD →=(−2，1，0)，DF →=(2，−2，0)，DG →=(0，−2，43)， 设平面DFG 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅DF →=2x −2y =0n →⋅DG →=−2y +43z =0，取n →=(2，2，3)， 设平面A 1CD 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅A 1C →=2a +b −2c =0m →⋅CD →=−2a +b =0，取m →=(1，2，2)， ∴平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=4+4+9×1+4+4=4√1717．20．（12分）甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）求甲、乙两人最终平局的概率；（3）记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望． 解：（1）根据题意可得X ＝﹣1，0，1， 又P （X ＝﹣1）＝（1﹣0.5）×0.6＝0.3， P （X ＝0）＝0.5×0.6+（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.5， P （X ＝1）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2， ∴X 的分布列为：（2）∵甲、乙两人最终平局，∴甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况： ①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为0.54＝0.0625，②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，其概率为2C 42×0.5×0.5×0.2×0.3=0.18，③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分， 其概率为4×0.2×0.3×0.2×0.3＝0.0144，∴甲、乙两人最终平局的概率为0.0625+0.18+0.0144＝0.2569； （3）∵Y ＝2，3，4，又P （Y ＝2）＝0.3×0.3+0.2×0.2＝0.13，P （Y ＝3）＝2×0.3×0.3×0.5+2×0.2×0.2×0.5＝0.13， P （Y ＝4）＝1﹣P （Y ＝2）﹣P （Y ＝3）＝0.74， ∴Y 的分布列为：∴E （Y ）＝2×0.13+3×0.13+4×0.74＝3.61． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝1的离心率互为倒数，点A（2，2）在椭圆C 上，不过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率之和为1，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．解：（1）由题意，由x 2﹣y 2＝1的离心率为√2可得椭圆C 的离心率为√22． 设椭圆C 的焦距为2c ，则{ ca=√224a 2+4b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝12，b 2＝6， 故椭圆C 的标准方程为x 212+y 26=1；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx +m x 212+y 26=1，整理得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣12＝0，则Δ＝（4km ）2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣12）＝8（12k 2﹣m 2+6）＞0， 所以x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−122k 2+1，因为A （2，2），所以k AP +k AQ =y 1−2x 1−2+y 2−2x 2−2=1， 即kx 1+m−2x 1−2+kx 2+m−2x 2−2=1，所以（kx 1+m ﹣2）（x 2﹣2）+（kx 2+m ﹣2）（x 1﹣2）﹣（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝0， 整理得（2k ﹣1）x 1x 2+（m ﹣2k ）（x 1+x 2）﹣4m +4＝0， 则(2k −1)2m 2−122k 2+1+(m −2k)(−4km 2k 2+1)−4m +4=0，整理得4k 2﹣12k ﹣（m 2+2m ﹣8）＝0， 即（2k +m ﹣2）（2k ﹣m ﹣4）＝0， 因为直线l 不过点A ，所以2k +m ﹣2≠0， 则2k ﹣m ﹣4＝0，即m ＝2k ﹣4，从而直线l 的方程为y ＝kx +2k ﹣4，故直线l 过定点（﹣2，﹣4），当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝t 与椭圆C 交于（t ，y t ），（t ，﹣y t ）， 不妨设P （t ，y t ），Q （t ，﹣y t ），则k AP +k AQ =2−y t 2−t +2+y t2−t=1， 解得t ＝﹣2，此时，直线l 过点（﹣2，﹣4）． 综上，直线l 过定点（﹣2，﹣4）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax cos x ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在x =π2处的切线方程；（2）对任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜ax 2+ax ，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin x ﹣x cos x ，则f '（x ）＝x sin x ． 所以f(π2)=1，f ′(π2)=π2，故所求切线方程为y −1=π2(x −π2)，即y =π2x −π24+1． （2）设g （x ）＝ax 2+ax ﹣f （x ）＝ax 2+ax +ax cos x ﹣sin x （x ＞0）， 则g '（x ）＝2ax +a ﹣ax sin x +（a ﹣1）cos x ．因为g （0）＝0，所以至少满足g '（0）＝2a ﹣1≥0，即a ≥12． 设h （a ）＝ax 2+ax +ax cos x ﹣sin x ＝x （x +1+cos x ）a ﹣sin x ． 因为x ＞0，x +1+cos x ＞0，所以h （a ）在[12，+∞)上单调递增，所以ℎ(a)≥ℎ(12)=12x(x+1+cosx)−sinx．设F(x)=12x2+12x+12xcosx−sinx，则F′(x)=x+12+12cosx−12xsinx−cosx=12[x(2−sinx)+1−cosx]．因为x＞0，所以x（2﹣sin x）＞0，1﹣cos x≥0，则F'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，所以F（x）＞F（0）＝0，即对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜ax2+ax．故a的取值范围为[12，+∞)．。
河北省邯郸市大名一中2021届高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
河北省邯郸市大名一中2021届高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|45,{2}A x x x B x =-<=，则下列判断正确的是（ ）A. 1.2A -∈ B C. B A ⊆ D. {|54}AB x x =-<<【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与集合B ，再判别集合A 与B 的关系，得出结果. 【详解】{}{}15,04A x x B x x =-<<=≤<， .B A ∴⊆【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.2.设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义3.在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =( ) A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列性质得q,即可求解【详解】()57134a a a a +=+，则44,q =∴ 4624a q a == 故选：D【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题4.已知函数2()23log f x x x =-+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. (1,0)- B. (0,1)C. (1,2)D. (2,4)【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理依次判断即可.【详解】因为(1)10f =>，(2)20f =-<，且函数连续、单调递减，所以由零点存在性定理可知，()f x 零点在区间(1,2)上，所以本题答案为C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属基础题.5.已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.【答案】A 【解析】 【分析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】 1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题.6.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a =4b =，则B =（ ） A. 30B =︒或150B =︒ B. 150B =︒ C. 30B =︒ D. 60B =︒【答案】C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b > 60B ∴<︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.7.将函数2()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则()g x 的图象的一条对称轴可以是（ ）A. 518x π=B. 56x π=C. 9x π=D. 3x π=【答案】A 【解析】 【分析】由条件根据()y sin A x ωϕ=+的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，可得结论.【详解】解：2()2sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为23π，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由332x k πππ-=+，k Z ∈，得5318k x ππ=+，k Z ∈，取0k =，得518x π=为其中一条对称轴. 故选A.【点睛】本题主要考查()y sin A x ωϕ=+的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1453,23n n n S S a a a +=+++=，则8S =（ ）． A. 72 B. 88C. 92D. 98【答案】C 【解析】试题分析：1133n n n n n S S a a a ++=++⇒-=⇒{}n a 为等差数列，公差为3，所以由4523a a +=得118127231,8873922a d a S +=⇒==+⨯⨯⨯=，选C.考点：等差数列定义9.已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ） A. [8,)-+∞B. 998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.(8,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先排除a b ∥时x 的值，再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果. 【详解】若a b ∥，则418x =，解得92x =. 因为a 与b的夹角为锐角，∴92x ≠. 又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-. 又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以本题答案为B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础题.10.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则113x y+的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵lg 2x+lg 8y＝lg 2，∴lg （2x•8y）＝lg 2，∴2x +3y＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键，注意等号成立条件11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2f =，则()()()()1232020f f f f ++++=( )A. 2020-B. 2C. 0D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求得()00f =，且函数()f x 是以4为周期的周期函数，根据(1)2f =，求得一个周期内的函数值的和，进而求得()()()122020f f f +++的值，得到答案．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且()00f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即()(2)()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得()3(1)(1)2f f f =-=-=-，()()()2(0)0,400f f f f ====， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()()()()1232020505[1234]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=．故选C ．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的周期性是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.已知函数()()32ln 3,af x x xg x x x x=++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)0,+∞B. [)1,+∞C. [)2,+∞D.[)3,+∞【答案】B 【解析】由题意()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦得()()min max f x g x ≥()32g x x x =-，()´232g x x x =-所以()g x 在1233⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，在223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，所以()()()12243max g x max g g g ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，则()ln 34af x x x x =++>得2a x x lnx ≥-令()2h x x x lnx =-，()´12h x xlnx x =--，()¨23h x lnx =--，在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()¨0h x <，则()´h x 单调递减，又()10h =，所以()h x 在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，在[]12，单调递减，()()11man h x h ==，所以1a ≥，故选B点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
河北省邯郸市高考第一次模拟考试数学（理）试题含答案
高三数学考试（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1z i =-+，则22z z z +=+（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i2.设全集(3,)U =-+∞，集合2{|142}A x x =<-≤，则U C A =（ ） A ．(3,2)[3,)-+∞ B ．(2,2)[3,)-+∞ C ．(3,2](3,)-+∞ D ．[2,2](3,)-+∞3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ） A ．0.56 B ．0.336 C ．0.32 D ．0.2244.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ）A ．6B ．42C ．35D ．75.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76.若函数221,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,3] B ．[2,)+∞ C ．[1,3] D ．[1,)+∞7.记不等式组22220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(,)x y .有下面四个命题：1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224205xy≤+≤； 3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω，222525x y ≤+≤其中的真命题是（ ） A ．1p ，4p B ．1p ，2p C ．2p ，3p D ．3p ，4p8.若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)nx x -的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）A ．32B ．81C ．243D ．256 9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10.若仅存在一个实数(0,)2t π∈，使得曲线C ：sin()(0)6y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17[,)33B ．410[,)33C ．17(,]33D ．410(,]3311.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的35H R =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812.设双曲线Ω：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF=.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ）A ．存在唯一的e ，且3(,2)2e ∈B ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2内 C ．存在唯一的e ，且3(1,)2e ∈ D ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2内第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在平行四边形ABCD 中，若AD AC BA λμ=+，则λμ+= ．14.若圆C ：221()2x y n m ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为 ．15.若22cos ()422παβ--13sin()αβ=+-，,(0,)2παβ∈，则tan tan αβ= ．16.已知集合1{|}2M x x =≥-，32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B 的子集的个数为8，则a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-.（1）求n nT S -；（2）求数列{}2n n b的前n 项和n R .18.某大型超市在元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X ，求X 的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明：1A E ⊥平面1AC D；（2）若NE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为10，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）若直线1y x =+与抛物线1C交于点P ，Q ，且26PQ =OP OQ ⋅；（2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.21.已知函数2()3x f x e x =+，()91g x x =-.（1）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；（2）当0x a <≤时，45()x xe x f x a ++->，且2(3)350m m e m m --++=(02)m <<，证明：0a m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为233233x tty t ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()413f x x x =-+--.（1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.高三数学详细参考答案（理科） 一、选择题1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA 二、填空题13. 2 14. 22(1)4x y ++= 15. 2 16.51[,1)(1,)28--- 三、解答题17.解：（1）依题意可得113b a -=，225b a -=，…，21n n n b a -=+，∴n n T S -1212()()n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(222)n n =+++⋅⋅⋅+122n n +=+-.（2）∵2n n n S S T =+()n n T S --2n n =-，∴22n n nS -=， ∴1n a n =-.又21n n n b a -=+，∴2n n b n=+.∴122n nn b n=+， ∴n R n =+212()222n n ++⋅⋅⋅+，则1122n R n =+23112()222n n +++⋅⋅⋅+， ∴1122n R n =+21111()2222n n n+++⋅⋅⋅+-， 故111222112n n R n +-=+⨯-2222n n n n n +-=+-. 18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++143813111=≈.（2）X 的可能取值为2，5，10，(10)P X =272235C ==，(5)P X =113327935C C C ==， (2)P X =21342722435C C C ==， 则X 的分布列为X2 5 10P2435935 235故249()253535E X =⨯+⨯2113103535+⨯=.这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会， 故共有14次抽奖机会.所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为1131445.235⨯=元.19.解：（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D⊥.又1111A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E⊥. 易证1A E AD⊥，又1AD C D D=，∴1A E ⊥平面1AC D.（2）解：取BC 的中点O ，11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥，1OO BC⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(0,1,2)C -，31(,,2)2D ，设11C N C Dλ=33(,,0)2λλ=，则11NE C E C N=-33(0,2,1)(,,0)22λλ=--33(,2,1)22λλ=---，易知(1,0,0)n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n <>232365λλλ=-+1020=，解得13λ=. ∴33(,,1)2NE =--，112C M C D λ=3(,1,0)=，11BM BC C M =+3(,1,2)=-，，∴cos ,NE BM <>13262101633---=⨯111040=-， ∴异面直线NE 与BM 所成角的余弦值为1110.20.（1）解：由212y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则122x x p+=，122x x p=-.∴211PQ =+2(2)4(2)26p p ⋅--=0p >，∴1p =.∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)x x x x =+++121221x x x x =+++4211=-++=-.（2）证明：由2222y px x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与22x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=.由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与22y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=.由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得22(12)0k -=，∴212k =.故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：12(2)2y p x p -=-，从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ， ∴2BOC S p ∆=，23ABM S p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222132p p p =-（为定值）.21.（1）解：()()f x g x >. 证明如下：设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵'()329x h x e x =+-为增函数， ∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈.当0x x >时，'()0h x >；当x x <时，'()0h x <.∴min 0()()h x h x =0200391x e x x =+-+， 又003290x e x +-=，∴00329x e x =-+，∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--.∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->，∴min ()0h x >，()()f x g x >.（2）证明：设()45()x x xe x f x ϕ=++-2(3)45(0)x x e x x x =--++>，令'()(2)(2)0xx x e ϕ=--=，得1ln 2x =，22x =， 则()x ϕ在(0,ln 2)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.2(2)92e ϕ=-<，设()2(ln 22)t t ϕ=<<，∵2(3)350m m e m m --++=(02)m <<， ∴2(3)45m m e m m m --++=(02)m <<，即()m m ϕ=(02)m <<. 当0a t <<时，()(0)2x a ϕϕ>=>，则45()xxe x f x a ++->. 当t a m ≤≤时，min ()()x a ϕϕ=，∵45()xxe x f x a ++->，∴()a a ϕ>，∴t a m ≤<. 当2m a <<或2a ≥时，不合题意. 从而0a m <<.22.解：（1）∵y tx =，∴233x x =，即3(2)y x =-，又0t >2330>，∴2x >或0x <，∴曲线M 的普通方程为3(2)y x =-（2x >或0x <）.∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=.（2）由223(2)40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=，11 / 11 ∴11x =（舍去），23x =， 则交点的直角坐标为(3,3)，极坐标为(23,)6π. 23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩， 解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩， 作出函数()f x 的图象，如图所示，直线2y kx =-过定点(0,2)C -，当此直线经过点(4,0)B 时，12k =；当此直线与直线AD 平行时，2k =-.故由图可知，1(,2)[,)2k ∈-∞-+∞.。
河北省邯郸市2021届高考数学模拟试卷(一模)(含答案解析)
河北省邯郸市2021届高考数学模拟试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，已知A={1,2，4，5}，B={1,3，5，7，9}，则集合∁U(A∪B)的真子集个数为()A. 2B. 3C. 4D. 82.记复数z的虚部为Im(z)，已知z满足iz=1+2i，则Im(z)为()A. −1B. −iC. 2D. 2i3.已知∠AOB如图所示，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B(35,−45)，点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos(5π6−α)=()A. −45B. −35C. 35D. 454.函数f(x)=|x|sinxcosx+x2在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.5.7.正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为()A.B.C.D.6.在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线的通径为4，则P =( )A. 1B. 2C. 4D. 87.已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√5xC. y =±xD. y =±2x8.已知集合S ={P|P =(x 1,x 2,x 3)，x i ∈{0,1}，i =1，2，3}对于A =(a 1,a 2,a 3)，B =(b 1,b 2,b 3)∈S ，定义A 与B 的差为A −B =(|a 1−b 1|,|a 2−b 2|,|a 3−b 3|)，定义A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑|3i=1a i −b i |.对于∀A ，B ，C ∈S ，则下列结论中一定成立的是( )A. d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)B. d(A,C)+d(B,C)>d(A,B)C. d(A −C,B −C)=d(A,B)D. d(A −C,B −C)>d(A,B)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )A. 该函数的解析式为y =2sin(23x +π3) B. 该函数的对称中心为(kπ−π3,0),k ∈Z C. 该函数的单调递增区间是[3kπ−5π4,3kπ+π4],k ∈ZD. 把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到该函数图象10. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22.则下列结论中正确的有( )A. 当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 总成立B. 当E 向D 1运动时，二面角A −EF −B 逐渐变小C. 二面角E −AB −C 的最小值为45°D. 三棱锥A −BEF 的体积为定值11. 在实数集R 中定义一种运算“⊗”，具有以下三条性质： ①对任意a ∈R ，0⊗a =a ；②对任意a ，b ∈R ，a ⊗b =b ⊗a ； ③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊗b)⊗c =c ⊗(ab)+(a ⊗c)+(b ⊗c)−2c ． 以下正确的选项是( )A. 2⊗(0⊗2)=0B. (2⊗0)⊗(2⊗0)=8C. 对任意的a ，b ，c ∈R ，有a ⊗(b ⊗c)=b ⊗(c ⊗a)D. 存在a ，b ，c ∈R ，有(a +b)⊗c ≠(a ⊗c)+(b ⊗c)12. 若函数f(x)={(2b −1)x +b −2(x >0)−x 2+(2−b)x −1(x ≤0)在R 上为单调增函数，则实数b 的值可以为( )A. 1B. 32C. 2D. 3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m = ． 14. 函数y =x 2(1−3x)在(0,13)上的最大值是______ ． 15. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．16. 一圆锥的底面半径为1，高为√3，则圆锥的表面积是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，b 4=8，{a n }的前10项和S 10=55． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A=cos2B+sin2C−sinAsinC．(Ⅰ)求角B的值；(Ⅱ)若b=2√3，且△ABC的面积为2√3，求a+c的值．19.在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球．现分别从每一个口袋中各任取2个球，设随机变量为取得红球的个数．(Ⅰ)求的分布列；(Ⅱ)求的数学期望．20.20.(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，，、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)求证：平面⊥平面．(Ⅲ)若是正三角形，且，，求二面角的余弦值．21. 曲线C上的点M(x,y)到定点F(1,0)的距离和它到定直线l：x=5的距离的比是常数√5．5(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过F且斜率为1的直线与曲线C相交于A、B两点．求：①线段AB的中点坐标；②△OAB的面积．22. 已知函数f(x)=(x2−ax+b)⋅e x，a∈R，b≥0，且f(x)的最小值为0．(1)若f(x)的极大值为4e，求f(x)的单调减区间；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点，且a<4，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<2aa−8．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的真子集，是基础题．求出A∪B，用列举法表示全集，求出∁U(A∪B)，写出其所有真子集得答案．解：∵A={1,2，4，5}，B={1,3，5，7，9}，∴A∪B={1,2，3，4，5，7，9}，又全集2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U(A∪B)={6,8}，则集合∁U(A∪B)的真子集为：⌀，{6}，{8}，个数为3．故选：B．2.答案：A解析：解：iz=1+2i，则z=2−i，则Im(z)为−1，故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查两角差的正弦和余弦，是基础题．方法一：由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos(5π6−α)得答案．方法二：根据角的变化得到∠AOB=a−π3，根据诱导公式即可求出答案．解：方法一：如图，由B(35,−45)，得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=π3，由三角函数的定义，得sin∠AOB=45，cos∠AOB=35．∴sinα=sin(π3−∠AOB)=sinπ3cos∠AOB−cosπ3sin∠AOB=√32×35−12×45=3√3−410，同理cosα=3+4√310∴cos(5π6−α)=cos 5π6cosα+sin5π6sinα=−√32×3+4√310+12×3√3−410=−45，方法二：∵∠AOB 是OA 逆时针转至OC ，再顺时针转至OB 所得到∴∠AOB =0+α−π3=α−π3∴sin(α−π4)=−45∴cos(5π6−α) =cos[π2−(α−π3)]=sin(α−π3)=−45， 故选A ．4.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=|x|sinxcosx+x 2，x ∈[−π,π]， 有f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，据此排除B 、C ， 又由f(π2)=2π>0，排除D ； 故选：A ．根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f(x)为奇函数，据此排除B 、C ，进而计算f(π2)的值，排除D ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性与特殊值，属于基础题．5.答案：D解析：由给出排列规律可知，这些数字排成的是一个正方形上起2005，左起2006列的数是一个2006乘以2006的正方形的倒数第二行的最后一个数字，所以这个数是2006×(2006−1)=2006×2005，故本题选D ．6.答案：B解析：因为抛物线的通径为4，故2p =4，解得p =2，故选B ．7.答案：D解析：解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，∴ca =√5，∴ba=2，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：D．由题意可得ca =√5，从而可得ba=2，直接写出渐近线方程即可．本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：设A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)，C=(c1,c2,c3)∈S因a i，b i∈0，1，故|a i−b i|∈0，1，(i=1,2，3)a1b1∈0，1，即A−B=(|a1−b1|,|a2−b2|,|a3−b3|)∈S又a i，b i，c i∈(0,1)，i=1，2，3当c i=0时，有||a i−c i|−|b i−c i||=|a i−b i|；当c i=1时，有||a i−c i|−|b i−c i||=|(1−a i)−(1−b i)=|a i−b i|，故d(A−C,B−C)=d(A,B)成立．因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．9.答案：AC解析：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象，可得A=2，14⋅2πω=π−π4，∴ω=23．再根据五点法作图，23×π4+φ=π2，∴φ=π3，故函数的解析式为y=2sin(23x+π3)，故A正确．令x=kπ−π3，k∈Z，求得y=2sin(2kπ3+π9)≠0，故B错误；令2kπ−π2≤23x +π3≤2kπ+π2，求得3kπ−5π4≤x ≤3kπ+π4，可得函数的增区间为[3kπ−5π4,3kπ+π4]，k ∈Z ，故C 正确；把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到y =2sin(32x +π3)的图象， 故D 错误， 故选：AC ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：CD解析：解：以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系如图所示，设D 1E =a(0≤a ≤√22)，则A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，E(√22a,√22a,1)，F(√22a +12,√22a +12,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1,√22a,1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a +12,√22a −12,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1)(√22a +12)+√22a(√22a −12)+1=a 2−√22a +12≠0， 所以当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 不成立，故A 错误；二面角A −EF −B 的平面角即为二面角A −B 1D 1−B 的平面角相等， 即二面角A −EF −B 为定值，故B 错误；设平面EAB 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1=0(√22a −1)x 1+√22ay 1+z 1=0，可取n ⃗ =(1,0，1−√22a)， 平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1−√22a 1+(1−√22a)=1√1+1(1−√22a)，由0≤a ≤√22，可得14≤(1−√22a)2≤1，则√5≤cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>≤2，可得a=0时，即E，D1重合时，二倍角E−AB−C的平面角取得最小值45°，故C正确；∵V A−BEF=13S△BEF⋅12AC=13×12×√22×1×√22=112，∴三棱锥E−ABF的体积为定值，故D正确．故选：CD．以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设D1E=a(0≤a≤√22)，分别求得A，B，C，E，F，的坐标，向量AE，CF，AB的坐标，由向量的难道坐标表示可判断A；由二面角A−EF−B的平面角即为二面角A−B1D1−B的平面角相等，可判断B；运用法向量求出二面角E−AB−C的平面角的范围，可判断C；由棱锥的体积公式，可判断D．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11.答案：BCD解析：解：由题意可得，a⊗b=a⊗(b⊗0)=0⊗(ab)+a⊗0+b⊗0−2×0=ab+a+b，因为2⊗2=2×2+2+2=8，故选项A错误；因为(2⊗0)⊗(2⊗0)=2⊗2=8，故选项B正确；对于任意a，b，c∈R，a⊗(b⊗c)=a⊗(bc+b+c)=a(bc+b+c)+a+bc+b+c=abc+ ab+ac+bc+a+b+c，而b⊗(c⊗a)=b⊗(ac+a+c)=b(ac+a+c)+b+ac+a+c=abc+ab+ac+bc+a+b+c，故a⊗(b⊗c)=b⊗(c⊗a)，故选项C正确；取a=b=1，c=1，则(1+1)⊗1=2×1+2+1=5，而(1⊗1)+(1⊗1)=2(1×1+1+1)=6，故(1+1)⊗1≠(1⊗1)+(1⊗1)，故选项D正确．故选：BCD．根据给定的新运算得到a⊗b的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，即可得到答案．本题考查的是新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．12.答案：ABC解析：解：根据题意，函数f(x)={(2b −1)x +b −2(x >0)−x 2+(2−b)x −1(x ≤0)在R 上为单调增函数，则有{2b −1>02−b2≥0b −2≥−1，解可得1≤b ≤2，分析选项可得：b =1、32、2符合题意， 故选：ABC ．根据题意，由函数单调性的定义可得{2b −1>02−b2≥0b −2≥−1，解可得b 的取值范围，分析选项即可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数单调性的定义，属于中档题．13.答案：7解析：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出a ⃗ +b ⃗ ，再由向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值．解：∵向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1+m,3)， ∵向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直， ∴(a ⃗ +b ⃗ )·a ⃗ =(−1+m)×(−1)+3×2=0， 解得m =7． 故答案为7．14.答案：4243解析：解：∵0<x <13，∴1−3x >0，由abc ≤(a+b+c 3)3, ∴函数y =x 2(1−3x)=32x ·x ·(23−2x)≤32·(23+x+x−2x3)3=4243，当且仅当x =29时取等号．故答案为：4243．由于0<x <13，可得1−3x >0，变形利用基本不等式可得y =x 2(1−3x)即可得出．本题考查了变形利用基本不等式，考查转化思想的应用，属于基础题．也可以利用导数求解函数的最值．15.答案：解析：试题分析：设A，B，则A、B是函数的图象上在区间(1,2)内的任意两不同点，所以表示函数图象的割线AB的斜率，要使不等式恒成立，只需保证端点处的切线斜率都大于等于1，即且，解得，所以实数a的取值范围是．考点：导数的几何意义16.答案：3π解析：解：圆锥的底面半径为1，高为√3，则母线长l=√1+(√3)2=2圆锥的表面积S=S底面+S侧面=πr2+πrl=π+2π=3π故答案为：3π．先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算．本题考查了圆锥表面积的计算．是道基础题．17.答案：解：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．∵a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．d=55；b4=q3=8；∴S10=10+10×92解得：d=1，q=2．所以：a n=n，b n=2n−1．(2)由(1)得a n⋅b n=n⋅2n−1，(8分)所以T n=1+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1①，(9分)2T n=2+2⋅22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n②，(10分)①−②得，−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n−n⋅2n=1−2n1−2=(1−n)⋅2n−1，(12分)故T n=(n−1)⋅2n+1.(13分)．解析：(1)先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；(2)由(1)得a n⋅b n=n⋅2n−1，利用错位相减法即可求得数列{a n⋅b n}的前n项和T n．本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，突出考查错位相减法的应用，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意知1−sin2A=1−sin2B+sin2C−sinAsinC，即sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC，由正弦定理asinA =bsinB=csinC得a2+c2−b2=ac，①，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac得cosB=12，又因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为b=2√3，B=π3，由面积公式得S=12acsinπ3=2√3，即ac=8．由①得a2+c2=b2+ac=20，故(a+c)2=36，即a+c=6．解析：(Ⅰ)由题意利用正弦定理可得a2+c2−b2=ac，由余弦定理可求得cosB=12，结合范围0<B<π，可得B=π3．(Ⅱ)由三角形的面积公式解得ac=8，根据余弦定理即可解得a+c的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．解析：解析：试题分析：(Ⅰ)先确定随机变量的可能取值，然后利用事件的独立性求出在每个可能值下对应的概率，从而可以确定随机的概率分布列；(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上根据随机变量的数学期望的定义求即可．试题解析：(Ⅰ)由题意的取值为0，1，2．则；；；所以的分布列为012P(Ⅱ)的数学期望：．考点：事件的独立性、离散型随机变量的概率分布列与数学期望20.答案：解析：21.答案：解：(Ⅰ)设点M(x,y)，则据题意有√(x−1)2+y2|x−5|=√55，则5[(x−1)2+y2]=(x−5)2，即4x 2+5y 2=20，∴x 25+y 24=1，故曲线C 的方程为x 25+y 24=1.…(5分)(Ⅱ)①过F(1,0)且斜率为1的直线方程为y =x −1， 联立{y =x −1x 25+y 24=1，得9x 2−10x −15=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=100−4×9×(−15)=460>0， x 1 +x 2=109，x 1x 2=−53， y 1+y 2=x 1+x 2−2=−89，∴线段AB 的中点坐标为(59,−49).②由①知|AB|=√(1+1)[(109)2−4×(−53)]=16√59， 原点O 到直线AB 的距离d =√1+1=√22， ∴△OAB 的面积S =12⋅|AB|⋅d =12×16√59×√22=4√109．解析：(Ⅰ)设点M(x,y)，利用条件可得等式，化简，可得曲线C 的轨迹方程； (Ⅱ)①过F(1,0)且斜率为1的直线方程为y =x −1，联立{y =x −1x 25+y 24=1，得9x 2−10x −15=0，由此能求出线段AB 的中点坐标．②由椭圆弦长公式求出|AB|，由点到直线距离公式求出原点O 到直线AB 的距离d ，由给能求出△OAB 的面积．本题考查曲线方程的求法，考查线段中点坐标的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审理题，注意椭圆弦长公式的合理运用．22.答案：解：(1)因为f(x)的最小值为0，故对任意x ∈R ，f(x)≥0，即x 2−ax +b ≥0恒成立，且存在实数x 0使得f(x 0)=(x 02−ax 0+b)⋅e x 0=0，即x 02−ax 0+b =0能成立，故关于x 的一元二次方程x 2−ax +b =0根的判别式△=a 2−4b =0，故b =a 24，故f(x)=(x 2−ax +a 24)⋅e x ，则f′(x)=(2x−a)e x+(x2−ax+a24)e x=[x2+(2−a)x+(a24−a)]e x=(x−a2+2)(x−a2)e x令f′(x)>0，则x<a2−2或x>a2，故f(x)在(−∞,a2−2)和(a2,+∞)上单调递增，令f′(x)<0，则a2−2<x<a2，故f(x)在(a2−2,a2)上单调递减故x=a2−2是f(x)的唯一极大值点，则f(a2−2)=[(a2−2)2−a(a2−2)+a24]e a−2=4e a2−2=4e，解得a=6，故f(x)的单调减区间为[1,3].(写成(1,3)，(1,3]，[1,3)均可得分) (2)证明：不妨设x1<x2，由(1)可知，f(x)=(x2−ax+a24)⋅e x的极大值点x1=a2−2，极小值点x2=a2，又f(x1)=4e a2−2,f(x2)=0，故要证：f(x1)−f(x2)x1−x2<2aa−8，即证4e a2−2−0(a 2−2)−a2<2aa−8，即证−2e a2−2<2aa−8，即证e a2−2>a8−a=a24−a2=2+(a2−2)2−(a2−2)，对任意a<4恒成立，构造函数F(x)=(x−2)e x+x+2，x≤0，令g(x)=F′(x)=(x−1)e x+1，则g′(x)=x⋅e x≤0，故g(x)在(−∞,0]上单调递减，又g(0)=0，故g(x)=F′(x)≥0，故F(x)在(−∞,0]上单调递增，又F(0)=0，故F(x)≤0，即(x−2)e x+x+2≤0对任意x≤0恒成立，即e x>2+x2−x对任意x<0恒成立，特别地，取x =a2−2<0， 则有ea 2−2>2+(a 2−2)2−(a2−2)成立，故原不等式成立．解析：( 1 )根据f(x)的最小值为0分析可得b =a 24，求导后，利用导数求出函数的极大值，与已知极大值相等列方程，可解得a =6，从而可求得递减区间； (2)将不等式转化为证ea 2−2>2+(a 2−2)2−(a2−2)，对任意a <4恒成立，再构造函数F(x)=(x −2)e x +x +2，x ≤0，利用导数可得到证明．本题考查了利用导数研究函数的极值和单调性，考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，属于较难题．。
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】 【分析】 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 【详解】 解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =.故选:C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 4．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 5．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 7．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.10．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A．400米B．480米C．520米D．600米【答案】B【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A 【解析】 【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省邯郸市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
河北省邯郸市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 【答案】C【解析】【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.2．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cmB 36463cmC 33223cmD 36423cm 【答案】B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 3．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为3ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π【答案】D【解析】【分析】 如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后23AB =,()22222231cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，2324sin120r ∴==o ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.4．已知某口袋中有3个白球和a个黑球（*a N∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3Eξ=，则Dξ= ( )A．12B．1 C．32D．2【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12Dξ=-+-=，故选B．5．设不等式组30x yx y+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C：224x y+=的内部随机选取一点P，则P 取自Ω的概率为（）A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.6．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．0【答案】B【解析】【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r ，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r 所以,a b r r 夹角为4π 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.7．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ，所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则A B =U （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】 解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =U (),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）A ．12πB ．3πC ．6πD ．9π 【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C.【点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省邯郸市2021-2022学年高三上学期开学摸底考试数学试题
绝密★启用前邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷数学本试卷4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z=a2+i-(1-ai)为纯虚数,则实数a的值为()A.1B.0C.-12D.-12.已知集合M={x|1x-1>0},集合N={x|x+3>0},则∩N= ()A.[-3,1)B.(-3,1)C.[-3,1]D.(-3,1]3.若sin(π2-2α)=-45,则cos 4α的值为()A.425B.725C.35D.31504.2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行,其中某泳池池深约3.5 m,容积约为4 375 m3,若水深要求不低于1.8 m,则池内蓄水至少为()A.2 250 m3B.2 500 m3C.2 750 m3D.2 000 m35.由1,2,3,4,5,6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数,1必须排在前两位,且2,3,4必须排在一起,则这样的六位数共有()A.48个B.60个C.72个D.84个6.已知非零向量a与b满足|a|=3|b|,且|a+2b|=2|a-2b|,则向量a与b的夹角的余弦值是()A.-1320B.1320C.-12D.127.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54,O为坐标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,△OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为()A.8B.4C.2√2D.2 8.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱AB 的中点,F 是四边形AA 1D 1D 内一点(包含边界).EF ∥平面BB 1D 1D ,当线段EF 长度最大时,EF 与平面ABCD 所成角的余弦值为( )A .√24B .√33C .√34D .√36二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.将函数y =3sin x -2图象上的各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π8个单位,得到f (x )的图象,下列说法正确的是 ( )A .点(π4,0)是函数f (x )图象的对称中心B .函数f (x )的图象与函数g (x )=3cos (2x -π4)-2的图象相同C .函数f (x )在(0,π8)上单调递减D .直线x =π8是函数f (x )图象的一条对称轴10.已知(5x √x )n 的展开式中,二项式系数之和为64,下列说法正确的是 ( )A .2,n ,10成等差数列B .各项系数之和为64C .展开式中二项式系数最大的项是第3项D .展开式中第5项为常数项11.已知圆C :(x -1)2+(y -1)2=16,直线l :(2m -1)x +(m -1)y -3m +1=0.下列说法正确的是 ( )A .直线l 恒过定点(2,1)B .圆C 被y 轴截得的弦长为2√15C .直线l 被圆C 截得弦长存在最大值,此时直线l 的方程为2x +y -3=0D .直线l 被圆C 截得弦长存在最小值,此时直线l 的方程为x -2y -4=012.抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过点F ,斜率k >0,且交抛物线C 于A ,B (点A 在x 轴的下方)两点,抛物线的准线为m ,AA 1⊥m 于A 1,BB 1⊥m 于B 1,下列结论正确的是 ( ) A .|AB |=|FA |·|FB | B .若k =√22,则|FA |·|FB |=12C .若|AA 1|·|BB 1|=12,则k =√22 D .∠A 1FB 1=60°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若曲线y =x 2+a ln x 在点(1,1)处的切线与直线x -2y +2=0平行,则实数a 的值为 .14.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=-1f (x ),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x ,则f (0)= ,f (log 4364)= .15.已知数列{a n }满足2a n +1=4+a n a n +1且a 3=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 022= .16.用一个不平行于底面的平面截一个圆柱,得到如图几何体,若截面椭圆的长轴长为10 cm,离心率为35,这个几何体最短的母线长为4 cm,则此几何体的体积为 cm 3.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +2n +2.(1)求数列{a n -2n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足b n =2(a n +2-2n ),求{b n }的前n 项和S n .18.(本小题满分12分)暑假期间,学生居家生活和学习,教育部门特别强调,身体健康与学习成绩同样重要.某校对300名学生的锻炼时间进行调查,数据如表:平均每天锻炼 的时间(分钟)[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 总人数 30 50 60 70 55 35将学生日均锻炼的时间在[40,60]的学生评价为“体育合格”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关.体育不合格 体育合格 合计男 60 160女合计(2)从上述体育合格的学生中,按性别用分层抽样的方法抽取9名学生,再从这9名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因,记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.参考公式:K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n =a +b +c +d.参考数据: P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b =10,B =60°.(1)求△ABC 的面积的最大值;(2)若c sinB+C 2=√2a 2sin C ,求△ABC 的周长.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3,且过点(√3,12). (1)求椭圆方程;(2)设直线l :y =kx +m (k ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,且线段AB 的中点M 在直线x =12上,求证:线段AB 的中垂线恒过定点N.21.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,E为边CD上的点,CB=CE,以EB为折痕把△CEB折起,使点C到达点P的位置,且使二面角P-EB-C为直二面角,三棱锥P-.ABE的体积为√26(1)证明:平面PAB⊥平面PAE;(2)求二面角B-PA-D的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a e x-x2(a∈R)(其中e≈2.718 28为自然对数的底数).(1)当a=2时,判断函数f(x)的单调性;(2)若a>1,证明f(x)>cos x对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.。
2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷(一模)(解析版)
2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．63．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．47．设F1，F2是双曲线C：＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且，则△PF1F2的面积为（）A．8B．C．4D．8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（）A．960B．1024C．1296D．2021二、选择题（共4小题）.9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线对称C．g（x）在区间上单调递增D．g（x）的图象关于点对称10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则（）A．正四棱锥的底面边长为6米B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为平方米D．正四棱锥的侧面积为平方米11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食12．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值可能是（）A．﹣3B．﹣1C．0D．2三、填空题（共4小题）.13．已知平面向量＝（3，4），非零向量满足⊥，则＝.（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）14．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则的最小值为．15．已知函数f（x）＝ax2+lnx满足＝2，则曲线y＝f（x）在点（）处的切线斜率为．16．在正四棱锥P﹣ABCD中，＝，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求的值；（2）若点D为边AB的中点，AB＝10，CD＝5，求BC的值．19．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．22．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）解：集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）＝{x|5＜x＜7}＝（5，7）．故选：A．2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．6解：∵＝4﹣bi，∴2+ai＝i（4﹣bi）＝b+4i，则a＝4，b＝2，故a+b＝6．故选：D．3．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．解：已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），整理得2sinα＝3cosα，所以，故sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝＝﹣＝；故选：D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由cos x≠1得x≠2kπ，k∈Z，则x≠0排除C，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0＜x＜时，cos x﹣1＜0，则f（x）＜0，排除A，故选：D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大解：A：高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5﹣8.5＝1，所以A错误；B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三（1）班的各项评价得分不都高于高三（2）班对应的得分（德育分相等），所以B错误；C：（2）班平均分为（9.5+9+9.5+9+8.5）÷5＝9.1；（1）班平均分为（9.5+9.5+9+9.5+a）÷5＝7.5+，故C正确；D：两班的德育分相等，智育分相差9.5﹣9＝0.5，体育分相差9.5﹣9＝0.5，美育分相差9.5一9＝0.5，劳育得分相差9.3﹣8.5＝0.8，劳育得分相差最大，所以D错误．故选：C．6．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．4解：由抛物线的方程可得焦点F（2，0），设P（m，n），n＞0，可得PF的中点的横坐标，由题意可得＝3，所以m＝4，将m＝4代入抛物线的方程可得：n2＝8×4，可得n＝4，即P（4，4），所以k＝＝2，故选：B．7．设F1，F2是双曲线C：＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且，则△PF1F2的面积为（）A．8B．C．4D．解：由，可得，F1，F2是双曲线C：＝1的两个焦点，不妨设，所以，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故，即．又||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，所以，解得|PF1||PF2|＝16，所以．故选：A．8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（）A．960B．1024C．1296D．2021解：根据题意，分2种情况讨论：①“丝”被选中：不同的方式种数为种；②“丝”不被选中：不同的方式种数为种．故共有N＝720+576＝1296种排课方式，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线对称C．g（x）在区间上单调递增D．g（x）的图象关于点对称解：因为，其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以g（x）的最小正周期为π，A正确；当时，，此时函数取得最大值，g（x）的图象关于直线对称，B正确；当时，，g（x）在区间上单调递增是不正确的，C错误；当时，，函数g（x）的图象关于点对称，D正确．故选：ABD．10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则（）A．正四棱锥的底面边长为6米B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为平方米D．正四棱锥的侧面积为平方米解：如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，∴∠SHO＝30°，所以．在Rt△SAH中，，所以a＝3，底面边长为6米，平方米．故选：AC．11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食解：①若甲说的全对，则小华选的是烹制中式面食，所以乙全错，丙对了一半，故满足题意，②若乙说的全对，则小华选的是烹制西式点心，所以甲对了一半，丙全对，故不满足题意，③若丙说的全对，则小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝，所以小华选的是川菜干烧大虾，所以甲全错，乙对了一半，故符合题意，综上推断小华选的是烹制中式面食或川菜干烧大虾，故选：BD．12．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值可能是（）A．﹣3B．﹣1C．0D．2解：函数，因为f（x）＝m的两根为x1，x2（x1＜x2），所以，从而．令，则g'（x）＝（x+1）e x+1﹣x+1，x∈（﹣1，0]，因为x∈（﹣1，0]，所以x+1＞0，e x+1＞e0＝1，﹣x+1＞0，所以g'（x）＞0在（﹣1，0]上恒成立，从而g（x）在（﹣1，0]上单调递增．又，所以，即（x2﹣x1）⋅f（x2）的取值范围是，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知平面向量＝（3，4），非零向量满足⊥，则＝（4，﹣3）.（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）解：平面向量＝（3，4），非零向量满足⊥，设＝（x，y），则＝3x+4y＝0，∴可以取＝（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．14．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则的最小值为16．解：∵a＞0，b＞0，a+4b＝4，∴+＝（+）（a+4b）×＝（++40）×≥（2+40）×＝16，当且仅当＝，又∵a+4b＝4，即a＝1，b＝时取等号，∴+的最小值为16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝ax2+lnx满足＝2，则曲线y＝f（x）在点（）处的切线斜率为3．解：函数f（x）＝ax2+lnx，可得f′（x）＝2ax+，＝2，可得＝2，即f′（1）＝2，所以f′（1）＝3，可得3＝2a+1，解得a＝1，所以f′（x）＝2x+，f′（）＝2×+2＝3，故答案为：3．16．在正四棱锥P﹣ABCD中，＝，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为π．解：设AC，BD的交点为E，球心为O，设AB＝a，∵＝，则AE＝a，PA＝a，∴PE＝＝a，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴•a2•PE＝⇒a＝4，在RT△OBE中，OB2＝OE2+EB2⇒R2＝（8﹣R）2+16⇒R＝5，∴该四棱锥外接球的体积为：＝π．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）因为数列{a n}是公差为4的等差数列，所以．又，所以，即（a1+4）（a1﹣2）＝0，解得a1＝2或a1＝﹣4（舍去），所以a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）因为，所以T n＝b1+b2+…+b n﹣1+b n＝＝＝．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求的值；（2）若点D为边AB的中点，AB＝10，CD＝5，求BC的值．解：（1）由正弦定理知，＝＝，∵，∴sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C＝sin（A+B）＝（sin A cos B+cos A sin B），化简得，sin A cos B＝cos A sin B，∴tan A＝4tan B，即＝4．（2）作CE⊥AB于E，∵，∴＝4，即BE＝4AE，∵点D为边AB的中点，且AB＝10，∴BD＝AD＝5，AE＝2，DE＝3，在Rt△CDE中，CE＝＝＝4，在Rt△BCE中，BE＝BD+DE＝8，∴BC＝＝＝4．19．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．解：（1）轻度污染以上的行政村共9+6+3＝18个，所以抽样比为：＝，所以从轻度污染的行政村中抽取＝3个，中度污染的行政村抽取＝2个，重度污染的行政村抽取＝1个．（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，∴X的分布列为：X34567P∴E（X）＝3×＝5．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：记B1C∩BC1＝E，连接DE．由直棱柱的性质可知四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点．（1分）因为D是AC的中点，所以DE∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D（2）解：因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，由直棱柱的性质可知平面ABC⊥平面ACC1A1，则BD⊥平面ACC1A1．取A1C1的中点F，连接DF，则DB，DC，DF两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝2，则，从而设平面AB1C的法向量为，则，令x＝4．得．平面ACC1的一个法向量为，则．设二面角B1﹣AC﹣C1为θ，由图可知θ为锐角，则．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．解：（1）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（2）易知F2（1，0），①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，，∴|AF1|＝＝＝，∴|BF1|＝＝＝，∵|AF1|•|BF1|＝，∴•＝，∴，整理得：，把x1+x2＝，x1•x2＝代入上式得：++2＝，整理得：k2＝1，∴，x1•x2＝0，∴|AB|＝＝，②当直线l的斜率不存在时，点A（1，），B（1，﹣），∴|AF1|＝|BF1|＝＝＝，∴|AF1|•|BF1|，不符合题意，舍去，综上所述，|AB|＝．22．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．解：（1）因为f（x）＝（x+m）e x，所以f'（x）＝（x+m+1）e x（1分）令f'（x）≤0，得x≤﹣m﹣1，则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣m﹣1]因为f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，所以﹣m﹣1≥1，解得m≤﹣2，即m的取值范围是（﹣∞，﹣2]（2）法一：由nxln（nx）≤f（2x），得2xe2x≥nxln（nx）．因为x＞0，n＞0，所以对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．设，则．因为函数y＝e2x和在（0，+∞）上均为单调递增函数，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．当x→0时，h'（x）＜0；当x→+∞时，h'（x）＞0．故存在x0∈（0，+∞），使得，即当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故恒成立．又由，得，所以恒成立．因为和y＝﹣2lnx在（0，+∞）上单调递减，所以函数h（x0）在（0，+∞）上单调递减．因为，所以因为函数y＝4x和y＝e2x在（0，+∞））上单调递增，且4x＞0，e2x＞0．所以函数在上单调递增，所以0＜m≤2e，即实数n的取值范围是（0，2e]．法二：对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，即nxln（nx）≤2xe2x恒成立，亦即e ln（nx）ln（nx）≤2xe2x恒成立因为f（x）＝xe x，所以f'（x）＝（x+1）e x，易知f（x）＝xe x在（0，+∞）上单调递增，且在（﹣∞，0）上f（x）＜0，所以ln（nx）≤2x，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立令，则．当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0．则g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，所以n≤2e，显然n＞0，故实数n的取值范围是（0，2e]．。
2021届河北省邯郸市高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析
2021届河北省邯郸市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（ ）A B CD ．3【答案】A【解析】求出{2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤. 【详解】集合{}4A x a x =<<，{}{25602B x x x x x =-+=<或}3x >，{|34}A B x x ⋂=<<， ∴23a ≤≤， ∴a.故选：A. 【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.2．设复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，若x ，y 满足22(2)3x y ++=，则有（ ）A ．|z+2|=3B ．|2|z +=C ．|z+2i|=3D ．|2|z i +=【答案】D【解析】利用复数模的计算公式即可得出结果. 【详解】复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，∴z x yi =+，z =∴2z i +=又x ，y 满足22 (2)3x y ++=，则|2|z i +=，故选：D. 【点睛】本题主要考查复数模的计算以及复数所对应的点的坐标，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键，属于基础题.3．函数()2()lg 1lg(1)f x x x =---在[]2,9上的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】化简函数的解析式，利用函数的单调性即可得解. 【详解】函数()()2()lg 1lg(1)lg 1f x x x x =---=+，函数在区间[]2,9上是增函数，所以函数的最大值为：(9)lg(91)1f =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用，对数的运算法则以及函数最值的求法，属于基础题. 4．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ） A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+ 【答案】A【解析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算.用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（）A．甲、乙成绩的中位数均为7B．乙的成绩的平均分为6.8C．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【答案】D【解析】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.【详解】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为787.52+=，故A错误；在B中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B错误；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C 错误；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大， ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆22:(2)(1)2C x y -+-=，直线22:10l a x b y +-=，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点(),a b 必在（ ）A ．一个离心率为12的椭圆上 B ．一条离心率为2的双曲线上C ．一个离心率为2的椭圆上 D 的双曲线上【答案】C【解析】由题意得直线l 必过点()2,1，可得(),a b 必在椭圆2221x y +=上，进而求出离心率e .【详解】根据条件可知圆心()2,1C ，圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，∴直线l 过点()2,1，则2221a b +=， ∴点(),a b 必在椭圆2221x y +=上，则离心率e . 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法以及直线与圆的位置关系，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且106a =，若32824mS S S =+，则m =（ ）A ．715B ．12C ．815D ．716【答案】C 【解析】由106a =求出4q =，用前n 项和公式化简32824mS S S =+可得.【详解】因为106a =，所以4q =由32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：1n n a n S q a ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．8．已知x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ）A ．23∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， B ．203⎛⎤⎥⎝⎦，C ．12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D ．102⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】B【解析】利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可. 【详解】x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，的可行域如图：由26x y x y =⎧⎨+=⎩解得（2,2）；又1yx λ=+， 数形结合可知正数λ的最大值为：22213=+， 所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0,23]. 故选：B. 【点睛】本题考查斜率型目标函数的值域问题，是中档题.9．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩若关于x 的方程(()2)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．[2,5){1}⋃【答案】D【解析】作出分段函数的图象，由[()2][()]0f x f x m --=得()2f x =或()f x m =，由图可得方程()f x m =有2个实根.求出m 的取值范围.【详解】由[()2][()]0f x f x m --=，得()2f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()2f x =有3个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃.故选：D 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.10．已知三棱锥P ABC -每对异面的棱长度都相等，且ABC ∆11,3,4，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A ．62π B ．92πC ．18πD ．36π【答案】B【解析】先将三棱锥补成一个长方体，11,3,4，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，可求得22218a b c ++=，进而得出三棱锥外接球的直径，从而可求出三棱锥外接球的体积. 【详解】三棱锥P ABC -每对异面的棱长度相等，∴11,3,4，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，且不妨设22211)11a b +==，22239b c +==，222416a c +==，22218a b c ++=∴，∴=∴外接球的体积为3432π⎛⨯= ⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了球的体积的计算，解题的关键是将三棱锥补成一个长方体，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题.11．已知定义域为R 的函数()f x 满足11(),()4022f f x x '=+>，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式(sin )cos 20f x x -的解集为（ ）A ．[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ B ．[2,2],66k k k Z ππππ-++∈C ．2[2,2],33k k k Z ππππ++∈ D ．5[2,2],66k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】构造函数2()()21g x f x x =+-，由题知 ()()40g x f x x ''=+>得到()g x 在R 上单调递增，(sin )cos 20f x x -等价于1(sin )()2g x g ，利用单调性可解.【详解】令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增.又2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且1()02g =，故原不等式可转化为1(sin )()2g x g ，所以1sin 2x，解得522,66k xk k ππππ++∈Z . 故选：D. 【点睛】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)()()()()()f x g x F x f x g x ＝－ )；(2)()()[()]xf x f x xf x ；(3)()()()[]f x xf x f x x；(4)()+()[()]x f x f x e f x ；(5) ()()()[]xf x f x f x e . 12．过点P 作抛物线2:2C x y =的切线1l ，2l ，切点分别为M ，N ，若PMN 的重心坐标为(1,1)，且P 在抛物线2:D y mx =上，则D 的焦点坐标为（ ）A ．104⎛⎫⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭， C ．04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由已知设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数写出切线1l ，2l 的方程，联立求出交点P坐标122x x x +=，122x xy =，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P 的坐标为()1,1-，再代入抛物线2:D y mx =方程，求出m ，进而求D 的焦点坐标．【详解】设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，由22x y =，得22x y =，所以y x '=，故直线1l 的方程为()21112x y x x x -=-，即2112x y x x =-，同理直线2l 的方程为2222x y x x =-，联立1l ，2l 的方程可得122x x x +=，122x xy =，设PMN 的重心坐标为()00,x y ，则12120213x x x x x +++==，22121222213x x x x y ++==， 即1222121226x x x x x x +=⎧⎨++=⎩所以121222x x x x +=⎧⎨=-⎩，则P 的坐标为()1,1-， 将P 点坐标代入抛物线2:D y mx =，得到2(1)1m -=⨯，解得1m =，故D 的焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若72910a a a -=-，则7S =_____． 【答案】70【解析】由等差数列的定义与性质，求出4a 的值，再利用等差中项公式即可求得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由72910a a a -=-，得9510d a =-， 所以49510a a d =-=， 所以()1747477277022a a a S a +⨯====. 故答案为：70. 【点睛】本题考查了等差数列的定义与前n 项和公式，其中涉及到等差中项公式的应用，属于基础题.如果{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(),,,*m n p q N ∈. 14．已知函数()222a f x sin x cos x =+的图象关于直线12x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____.【解析】由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （4π）的值. 【详解】 ∵函数()222af x sin x cos x =+的周期为π，它的图象关于直线12x π=对称，∴f （0）＝f （6π）＝112=+，∴a =，∴f （4π）23a ==，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属于中档题.15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，若1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线1C E 与1BD 所成角的余弦值为_________.【答案】5【解析】由题知正四棱柱为正方体，.取11B C 的中点F ，则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角，求出三角形1FBD 三边，用余弦定理求解可得. 【详解】因为1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 所以该正四棱柱为正方体.取11B C 的中点F ， 则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角.设2AB =，则11BF D F BD ===故1cos 5FBD ∠==.．【点睛】本题考查利用集合法求异面直线所成角.两条异面直线所成角的求法:几何法：作、证、求进行求解，通常利用平行线把两条异面直线转换为共面直线.向量法：(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，(3)代入公式cossina b a b求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为_____． 【答案】348【解析】通过对甲、乙二人分得一等马的匹数进行分类，分两种情况讨论：①甲、乙每人分得一匹一等马；②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】由题设条件可知甲、乙二人都分得一等马的情况有如下两类：①甲、乙每人分得一匹一等马，有1133433322216C C A A A =种； ②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，有()21132221112314342341322132C C C C C C C C C C C ⎡⎤++=⎣⎦种，因此，满足题意的分法总数为216+132=348. 故答案为：348. 【点睛】本题主要考查的是排列与组合的问题，属于中档题.解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想，讨论时，要注意不重复不遗漏.对于排列、组合问题中的分组与分配问题，可以分组后再分配.常见的分组问题有三种：（1）完全均匀分组，每组的元素个数均相等；（2）部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以!n ；（3）完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2sin tanA tanB B C +=. （1）求A ；（2）若a =，ABCS =，且sin sin B C <，求sin B ．【答案】（1）A 3π=；（2． 【解析】（1）将正切转化为正余弦，借助两角和的正弦公式及sin()sin A B C +=，可求出cos A 的值，再根据A 的范围即可得解；（2）利用面积公式求出bc 的值，再由余弦定理求出b c +的值，借助sin sin B C <即可得出b ，c 的值，最后根据正弦定理即可得解. 【详解】（1）由()cos 2sin tanA tanB B C +=，得sin sin cos 2sin cos cos A B B C A B ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即sin cos cos sin cos 2sin cos cos A B A B B C A B +⋅=，所以sin 2sin cos CC A=，因为在三角形中，sin 0C ≠，所以1cos 2A =，由(0,)A π∈， 所以3A π=.（2）1sin 24ABC S bc A ∆===12bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()2()36a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--=+-， 所以213()36b c =+-，所以b+c=7，且12bc =， 因为sin sin C B >，所以c b >， 解得：3b =，4c =， 由正弦定理sin sin a b A B = ，得3339sin sin 22613b B A a ==⋅=. 【点睛】本题考查的是解三角形问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱11A B ，BC 的中点，E 是棱11B C 上一点，且DE 平面11A BC .（1）证明：CE平面1AB F .（2）求直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）35． 【解析】（1）由DE 平面11A BC ，利用线面平行的性质定理可得11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点，可得E 是棱11B C 的中点，进而得到四边形1B ECF 是平行四边形，1EC B F ，利用线面平行的判定定理即可证得CE平面1AB F ；（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设2BC =，求出平面1BC D 的法向量n 和CE ，利用||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅=<>=即可得出.【详解】（1）证明：DE 平面11A BC ，DE ⊂平面111A B C ，平面11A BC ⋂平面11111A B C A C =，∴11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点， ∴E 是棱11B C 的中点．又F 是BC 的中点，∴1B E FC ，1B E FC =，∴四边形1B ECF 是平行四边形． ∴1EC B F ，又EC ⊄平面1AB F ，1B F ⊂平面1AB F ，∴CE平面1AB F .（2）以F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC =，则()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,222D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10,1,2C -，()0,0,2E ， 31,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，133,02C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,2)CE =， 设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则10n BD n C D ⋅=⋅=，∴12022x y z -+=，3022x y +=， 令1y =，得(3,1,1)n =-，∴||3sin |cos ,|5||||5CE n CE n CE n θ⋅=<>===⨯，∴直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值为35.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理与性质定理以及线面所成角的正弦值，其中涉及到三角形中位线定理、数量积运算性质、法向量的应用、向量夹角公式的应用等知识，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知函数3()xf x x e =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x mx 对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【解析】（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性； （2）分离参数，构造函数()xg x xe =，利用导数求其最值，则问题得解.【详解】（1）232()3e e e (3)xxxf x x x x x '=+=+， 令()0f x '≥，得3x ≥-，则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞； 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.（2）当0x =时，不等式2()f x mx 即0x ，显然成立.当0x ≠时，不等式2()f x mx 对x ∈R 恒成立，等价于x m xe 对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)xxg x xe x g x x e '=≠=+， 令()0g x '<，得1x <-； 令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e=-=-. 所以1m e -，即m 的取值范围为1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题.20．已知椭圆2212x C y ：+=的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）若l 过点F ，点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，且12143d d +=，求l 的方程； （2）若点M 的坐标为（0，1），直线m 过点M 交C 于另一点N ′，当直线l 与m 的斜率之和为2时，证明：直线NN ′过定点.【答案】（1）x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0（2）证明见解析；【解析】（1）由若l 过椭圆的右焦点F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，消去x ，得交点M ，N 的纵坐标关系，因为点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）143=，转化为m 的方程，求得m 即可. （2）分类讨论，当直线NN '的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 【详解】（1）易知F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0.则y M +y N 222m m =-+. 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4221423m m +=+.所以m ＝1或m ＝2.故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0.（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0,y 0），则N '（x 0,﹣y 0）.由k l +k m ＝2，得000011y y x x ---+=2，解得x 0＝﹣1. 当直线NN '的斜率存在时，设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1,y 1），N '（x 2,y 2）.由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0. 所以x 1+x 22412kt k =-+，x 1x 2222212t k -=+；因为k l +k m ＝2. 所以()()21121212121111kx t x kx t x y y x x x x +-++---+==2k ()()12121t x x x x -++=2k 22(1)1t kt t --=-2k 21kt t -=+ 2. 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）. 故直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 综上，直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思想以及运算能力，属于中档题.21．某总公司在A ，B 两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售.产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示： 表1表2表3（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.【答案】（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：79%；（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大；详见解析；（3）分布列见详解，数学期望为70万元.【解析】（1）计算正品数与产品总数的比值即可；（2）分别计算利润，比较即可；（3）计算X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案.【详解】（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：5080401050100⨯+⨯=⨯88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：50704510100⨯+⨯=79%.（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大理由如下：甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大， （3）X （单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，P （X ＝100）80100==0.8. P （X ＝50）10100==0.1， P （X ＝150）10100==0.1， 则X 的分布列为故EX ＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元）， 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞ 【解析】（1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x 时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围.【详解】解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x 时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】 本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a ba b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
2021届河北省邯郸市高三上学期1月份教学质量检测文科数学试卷(带
2021届河北省邯郸市高三上学期1月份教学质量检测文科数学试卷(带2021届河北省邯郸市高三上学期1月份教学质量检测文科数学试卷（带解析）一、选择题 1.已知集合A．【答案】C 【解析】试题分析：化简集合所以有故选C．考点：集合的运算． 2.已知是虚数单位，则复数A．0 B． C．【答案】D 【解析】试题分析：由于复数所以其虚部为：1；故选D．考点：复数的除法及有关概念．3.具有线性相关关系的变量x，y ，满足一组数据如右表所示.若与的回归直线方程为，则m的值是（），D．1的虚部是（），而，B．C．则（）D．0 -1 1 1 2 m 3 8 A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，又因为点所以有故选A．恒在回归直线；上，考点：线性回归． 4.已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．考点：双曲线的几何性质．5.执行如图所示的程序框图,若输入的值等于7,则输出的的值为（A．15 B．16 C．21 D．22 【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：i=1,s=1，n=7; 第1次运行：10,从而解得，所以BD=10x,AD=，ED=2x;，中，AC=CD+AD=3+中，由余弦定理得，所以；所以故答案为．，从而，考点：余弦定理．三、解答题1.（本小题满分10分）等差数列为.（1）求及; （2）设【答案】（1）【解析】试题分析：（1）首先根据a1=-1和d，求出，再根据的通项公式，再由等比数列的前n项和公式即可求得；是等比数列，求出数列{an}，，，求. ；（2）．中，，公差且成等比数列，前项的和（2）根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进行求和即可．试题解析：（1）有题意可得（2）4分又因为 2分6分10分考点：1.等比数列；2.数列求和． 2.（本小题满分12分）已知（1）求函数（2）当的最小正周期及单调递增区间. 时，方程有实数解，求实数的取值范围.；（2）.【答案】（1）最小正周期为，【解析】试题分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，然后求出函数的最小正周期和单调递增区间．（2）当围，即求函数先由求出，当时，方程有实数解，求实数的取值范，，当时时的值域，故由（1）中化简后的解析式的取值范围，再结合正弦函数图象即可求得函数的值域，即为实数的取值范围．试题解析：（1）2分最小正周期为 4分令.函数，由得函数（2）当的单调递增区间是，的单调递增区间是时，12分，6分考点：1.三角函数中的恒等变换应用；2. 三角函数的周期性及其求法；3. 三角函数的单调性及其求法．3.（本小题满分12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B 的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点.（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为.求三棱锥B-ACM的体积. 【答案】（1））祥见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．（2）首先由（1）作出直线AM与平面VAC所成的角：取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN 为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；这样就可求出AC的长，且而求得体积．试题解析：（1）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC. 4分（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN； 6分令AC=a,则BC==，MN=；因为VC=2，M为VC中点，所以AN=，所以，,解得a=1 10分因为MN∥BC,所以 12分考点：1.直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角. 4.（本小题满分12分）从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）根据直方图求的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．【答案】（1）x=\月均用电量约为186度；（2）．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中各频率和为1，求出x的值；求出样本平均数，即可估计这100户居民的平均用电量．（2）先求出用电量落在区间（300，350]内的频率，再求对应的频数；可知用电量超过300度的用户数，进而用字母表示各户，利用树图可列举出任取2户的所有可能情况，应用古典概率公式即可求出家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．试题解析：（1）由题意得，. 2分设该小区100个家庭的月均用电量为S 则9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186. 6分，所以用电量超过300度的家庭共有6个. 8分分别令为甲、A、B、C、D、E，则从中任取两个，有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）、（A,B）、（A,C）、（A,D）、（A,E）、（B,C）、（B,D）、（B,E）、（C,D）、（C,E）、（D,E）15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）5种. 10分家庭甲被选中的概率. 12分考点：1．用样本的频率分布估计总体分布；2．频率分布直方图；3．古典概率．5.（本小题满分12分）已知椭圆C:分别为其左右焦点. （1）求椭圆C的标准方程;过点，离心率为，点（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由离心率为e=；（2）存在圆心在原点的圆，理由祥见解析.,且，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；（2）按直线与斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率存在时，设直线方程为：转化为联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理可将条件与圆相切，得k、b的方程；再由直线直线，从而即可求出符合条件的圆的方程；当斜率不存在时，前边求得的圆方程也适用，由此即可得到结论．，得. 4分，因为，得，所以试题解析：（1）由题意得：，所以椭圆C方程为假设满足条件的圆存在，其方程为：当直线的斜率存在时，设直线方程为，由得，令，6分. 8分因为直线与圆相切， =所以存在圆当直线.的斜率不存在时，也适合综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意. 12分考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系． 6.（本小题满分12分）已知（1）若曲线（2）设求的取值范围．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由已知得即可求得，的值；（2）由可得，；令，只需求使在单调递增的的取值范围即可，即求使在恒成立的的取值范围即可，利用分离参数法转化为一个函数的最小值问题，即可求得的的取值范围．试题解析：（1）由题意，又因为（2）由令，只需证，，.，,得可得，在单调递增即可 8分，. 4分.，，，从而由且与曲线，函数在它们的交点，．处的切线重合，求，的值；，且，都有，，若对任意的；（2）．只需说明即故，，12分视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）在恒成立即可 10分（如果考生将考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．。
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河北省邯郸市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 【答案】C【解析】【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.2．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cmB 36463cmC 33223cmD 36423cm 【答案】B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 3．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为3ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π【答案】D【解析】【分析】 如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后23AB =,()22222231cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，2324sin120r ∴==o ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.4．已知某口袋中有3个白球和a个黑球（*a N∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3Eξ=，则Dξ= ( )A．12B．1 C．32D．2【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12Dξ=-+-=，故选B．5．设不等式组30x yx y+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C：224x y+=的内部随机选取一点P，则P 取自Ω的概率为（）A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.6．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．0【答案】B【解析】【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r ，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r 所以,a b r r 夹角为4π 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.7．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ，所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则A B =U （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】 解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =U (),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）A ．12πB ．3πC ．6πD ．9π 【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C.【点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.【答案】1【解析】【分析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．【详解】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++，①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有1313⨯⨯=种支付方式；②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有1313⨯⨯=种支付方式；所以总的支付方式共有336+=种．故答案为：1．【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．14．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．【答案】91【解析】【分析】设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为,,x y z ，由此可构造不等式组化简得到9z x =+，由投票有效率越高z 越小，可知min 9z =，由此计算可得投票有效率.【详解】不妨设共有选票100张，投1票的有x ，2票的有y ，3票的有z ，则由题意可得：23887546209100,,x y z x y z x y z N ++=++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩，化简得：9z x -=，即9z x =+， 投票有效率越高，z 越小，则0x =，9z =，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为1009100%91%100-⨯=． 故答案为：91%.【点睛】本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】26 86π 【解析】【分析】 (1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是13312S ⎛=⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为136234312⨯⨯=， 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以213666349R R ⎛⎫=⨯⨯⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积334468633V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：26；86π. 【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.16．已知边长为43的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】112π【解析】【分析】分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，ON x =，由勾股定理可得x 、2R ，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，则易得6AM CM ==，3MN =，23MD =，33CN =，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上， 设球心为O ，半径为R ，ON x =，可得222227(3)12R x R x ⎧=+⎨=++⎩，解得1x =，228R =. 故该球的表面积为24112==S R ππ.故答案为：112π 【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.三、解答题：共70分。