2020届河北省邯郸市高三第二次模拟数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届河北省邯郸市高三第二次模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合A ＝{a|log a 3＞1}，B ＝{a|3a ＞9}，则A ∩（∁R B ）＝（） A ．（0，3） B ．（1，3）C ．（0，2]D ．（1，2]答案：D先利用对数不等式和指数不等式的解法求得A ，B ，进而利用补集和交集的定义求得结论． 解：因为集合A ＝{a|log a 3＞1}； 由log a 3＞log a a ， 当a ＞1时，13a << 当01a <<时，无解 所以A ＝（1，3）， 由2393a >=， 所以a ＞2， 所以B ＝（2，+∞）， 所以∁R B ＝（﹣∞，2]； 所以A ∩（∁R B ）＝（1，2]． 故选：D ． 点评：本题主要考查集合的基本运算以及指数不等式，对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知复数823iz i-=+（i 为虚数单位），下列说法：其中正确的有（ ） ①复数z 在复平面内对应的点在第四象限；②z =； ③z 的虛部为﹣2i ； ④12z i =-． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个命题得答案．解：∵()()()()8238132612 23232313i ii iz ii i i----====-++-，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限；|z|=z的虚部为﹣2；12z i=+．故①②正确；③④错误．故选：B．点评：本题主要考查复数的运算，复数的概念及几何意义，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A．69人B．84人C．108人D．115人答案：D先求出只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，再用样本容量500乘以此比例，即为所求．解：由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为23 100，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有50023100⨯=115人，故选：D．点评：本题主要考查抽样方法，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（）①y＝|f（x）|；②y＝f（x2+x）；③y＝f（|x|）；④y＝e f（x）+e﹣f（x）．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④答案：B由已知可得f（x）是R上的奇函数且单调递增，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，然后结合函数的性质分别进行检验即可．解：因为f（x）是R上的奇函数且单调递增，故当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，①g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|f（x）|＝g（x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）＝|f（x）|＝f（x）单调递增，符合题意；②g（﹣x）＝f（x2﹣x）≠g（x），故不满足偶函数；③g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|）＝g（x）为偶函数，且x＞0时g（x）＝f（x）单调递增，符合题意；④g（﹣x）＝e f（﹣x）+e﹣f（﹣x）＝e﹣f（x）+e f（x）＝g（x），满足偶函数，且x＞0时，f（x）＞0，e f（x）＞1，因为1y xx=+在()1,+∞单调递增，由复合函数的单调性可知g（x）＝e f（x）+e﹣f（x）单调递增，符合题意．故选：B．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.5．设实数x，y满足不等式组4030x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，，若z＝ax+y的最大值为1，则a＝（）A．14-B．14C．﹣2 D．2答案：D画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z＝ax+y取得最大值的位置，求出a即可．解：作出实数x，y满足不等式组4030x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，的可行域如图：可知A （﹣1，3），B （﹣4，0），O （0，0），将目标函数z ＝ax+y 转化为：y ax z =-+，平移直线y ax =-，当0＜a ≤3或﹣1≤a ＜0时，直线y ax z =-+经过A （﹣1，3），在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a ＝2，当a ＞3时，直线y ax z =-+经过O （0，0），在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，无解，当a ＜﹣1时，直线y ax z =-+经过B （﹣4，0），在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a 14=-（舍去）， 当a ＝0时，目标函数z ＝ax+y 取得最大值为3，不符合题意． 故选：D ． 点评：本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想和分类讨论求解的能力，属于中档题. 6．已知函数f （x ）＝sin2xcos φ+cos2xsin φ图象的一个对称中心为03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则φ的一个可能值为（） A ．3π-B ．3π C ．56π-D ．56π 答案：A先对已知函数利用和差角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性求解. 解：因为f （x ）＝sin2xcos φ+cos2xsin φ＝sin （2x+φ）， 又因为f （x ）图象的一个对称中心为03π⎛⎫-⎪⎝⎭，，所以sin （φ23π-）＝0， 所以φ23π-=k π， 即φ23π=+k π，k ∈Z ， 结合选项可知，当k ＝﹣1时，φ13π=-. 故选：A. 点评：本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础题.7．设直线l ：ax+by+c ＝0与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且AB =a 2+b 2＝2”是“c =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B由半径r ＝2和弦长AB =0，0）到直线l 的距离d ＝1=，即a 2+b 2＝c 2．进而判断出结论． 解：因为半径r ＝2和弦长AB =所以圆心（0，0）到直线l 的距离d ＝1=即a 2+b 2＝c 2．由“a 2+b 2＝2＝c 2，解得c =∴“a 2+b 2＝2”是“c =故选：B ． 点评：本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.8．已知α为锐角，且tan m α=，22cos 24m m α=-+，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B12C ．4 5D ．9 5答案：B利用二倍角的余弦公式，同角的三角函数关系化简已知等式解得22m =，可求cos2α的值，根据同角三角函数关系可求sin 2α的值，进而利用二倍角公式化简所求即可求解． 解：解：∵2222cos sin cos 2cos sin ααααα-=+221tan 1tan αα-=+2211m m -=+224m m =-+，解得22m =， ∴1cos 23α=-， ∵02πα<<，∴02απ<<，∴sin 2α==∴21cos 22sin 42παπα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭1sin 21222α=+=， 故选：B ． 点评：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于基础题．9．已知直线()14104l abx a y m a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭：＞与双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为（） ABC ．2D答案：D 当2AOB π∠=时，e =2OAB π∠=或2OBA π∠=时，求出22141e a a=-++， 再利用二次函数的图象和性质求出函数的最大值即得解. 解：解：当2AOB π∠=时，双曲线是等轴双曲线时，e =当2OAB π∠=或2OBA π∠=时，双曲线不是等轴双曲线时，直线l 与渐近线中的一条垂直，所以141ab ba a⨯=-， ∴241b a =-，所以e 222222221411(2)55c a b a a a a a+===-++=--+≤， 当a 12=时，取得最大值；∴e ≤所以双曲线的离心率e 故选：D ． 点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线离心率的计算和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F ，6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（） A ．36种 B ．48种C ．56种D ．72种答案：D根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若BC 相邻且与D 相邻，若BC 相邻且不与D 相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案． 解：让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有222A =种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC 相邻且与D 相邻，有232312A A =种安排方法，若BC 相邻且不与D 相邻，有22222324A A A =种安排方法，则中间5人有12+24=36种安排方法，则有23672⨯=种不同的安排方法；故选：D．点评：本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（）A．9 10B．109C．1011D．1110答案：D由题意画出图形，可得当截面周长最小时的BM值，再由已知可得AB⊥平面BB1C1C，分别求出截面上下两部分的体积，作比即可得解．解：由AB＝3，BC＝4，AC＝5得AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，AB⊥平面BB1C1C，将侧面BCC1B1折叠到平面ABB1A1内，如图，连接1AC'，1AC'与BB1的交点即为M，由相似可得BM＝3，设四棱锥A﹣BCC1M的体积为V1，则()11137432032V=⨯⨯+⨯⨯=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积1437422V=⨯⨯⨯=，∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为111110V VV-=．故选：D．点评：本题考查了棱柱几何性质的应用，考查了立体图形体积的求解，属于中档题.12．如图，在ABC 中，tanC ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：B 由题得2ABCS BC ACcosC =⋅，再利用余弦定理和勾股定理化简即得解.解： 解：由题得11222ABCSBC ACsinC BC ACcosC tanC BC ACcosC =⋅=⋅⋅=⋅ ＝BC 2+AC 2﹣AB 2＝AC 2+BC 22()AD BD -+22222AC BC AD BD AD BD =+---⋅2222()()2AC AD BC BD AD BD =-+--⋅ 22=222()236CD AD BD CD AD BD -⋅=-⋅=⨯=故选：B ． 点评：本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13．抛物线22y x =上的点(1,2)A 到焦点F 的距离为_____．答案：178求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可． 解：抛物线22y x =，∴标准方程为：212x y =．准线方程为：y 18=-，点(1,2)A 到焦点F 的距离为A 到准线的距离：117288+=． 故答案为：178． 点评：本题解题关键是掌握抛物线定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14．曲线y ＝f （x ）＝x n e x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为23e，则n ＝_____． 答案：2或23-先求出x ＝1处的切线方程，然后分别求出切线与x ，y 轴交点的横坐标、纵坐标，然后表示出三角形的面积，即可得解． 解：由已知得：()f x '＝(x n +nx n ﹣1)e x，所以f(1)＝e ，()1f '＝（n+1）e ， 所以切线方程为y ﹣e ＝(n+1)e(x ﹣1)． 令x ＝0得y ＝﹣ne ；令y ＝0得x 1nn =+， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为212213n e S e n =⨯=+，解得n ＝2或23-.故答案为：2或23-． 点评：本题考查了导数几何意义的应用与导数的计算，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．在ABC 中，4AB =，8AC AB ⋅=，则AB BC ⋅=_____． 答案：﹣8先根据平面向量的减法运算可知BC AC AB =-，再代入原等式化简，并结合数量积的运算即可得解． 解：解：∵4AB =，8AC AB ⋅=，∴()2AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=2848-=-. 故答案为：﹣8． 点评：本题主要考查平面向量的运算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知三棱锥P ABC -中，2PA AB AC ===，PA ⊥平面ABC ，A 到平面PBC 的距离是25，则三棱锥外接球的表面积为_____． 答案：20π取BC 的中点，连结AD ，PD ，由题意得AD BC ⊥，推导出平面PAD ⊥平面PBC ，过A 点向PD 引垂线交PD 于M ，则AM ⊥平面PBC ，延长AD 到1O ，1O 是ABC 的外心，过1O 作平面ABC 的垂线，交PA 的垂直平分面于O ，O 是三棱锥外接球球心，三棱锥外接球半径5r AO ==，由此能求出三棱锥外接球表面积．解：取BC 的中点，连结AD ，PD ， 根据题意画出图象：如图又AB AC =∴AD BC ⊥，PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥，BC ⊥平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PBC ，过A 点向PD 引垂线交PD 于M ， 则AM ⊥平面PBC ，∴255PA AD AM PD⋅==解得1AD =，120BAC ︒∠=，延长AD 到1O ，使12AO ＝， ∴1O 是ABC 的外心，过1O 作平面ABC 的垂线，交PA 的垂直平分面于O ，∴O 是三棱锥外接球球心，∴三棱锥外接球半径r AO ==， ∴三棱锥外接球表面积2420S r ππ==．故答案为：20π． 点评：本题考查了求三棱锥的外接球表面积问题，解题关键是掌握三棱锥几何特征，数形结合求三棱锥的外接球半径的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{}2log n a 的前n 项和为()112n A n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和S n ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，求S n ﹣8T n 的最小值．答案：（1）2n n a =；S n =2n+1﹣2；（2）-2．（1）先求得首项12a =，再由2n ≥时，21log n n n a A A -=-求出n a ，然后求得前n 项和S n ；（2）由（1）可求得112nn a =，然后求出T n ，再求S n ﹣8T n 的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可． 解：解：（1）由已知得当n ＝1时，211log 1a A ==，解得12a =， 当n ≥2时，21log n n n a A A -=-()()111122n n n n =+--=n ， ∴=2n n a ，当n ＝1也符合. ∴=2nn a ，S n ()21212n -==-2n+1﹣2.（2）由（1）知112nna=，∴T n11[1)22112n⎛⎤- ⎥⎝⎦==-11()2n-，∴S n﹣8T n＝2n+1﹣2﹣882n+=2n+182n+-10≥108102=-=-，当且仅当2n+182n=即当n＝1时取得最小值﹣2．点评：本题主要考查数列通项公式的求法，考查等比数列的求和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A、B、C三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．（1）求六个月后A，B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率；（2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X，求X的分布列和数学期望．答案：（1）512；（2）分布列详见解析，数学期望为2312．（1）A，B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种分两种情况：A团队研究出但B团队未研究出，B团队研究出但A团队未研究出，然后根据相互独立事件的概率求解即可；（2）X的可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：解：（1）由题意得，六个月后，A、B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率为21135343412P=⨯+⨯=．（2）X的可能取值为0，1，2，3，()1111023424P X =⨯⨯=＝，()111121113611234234234244P X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==＝， ()12112311311223423423424P X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=＝，()123613234244P X =⨯⨯==＝． ∴X 的分布列为 X123P124 14 1124 14数学期望()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 点评：本题考查古典概型的概率计算,考查互斥事件和相互独立事件发生的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.19．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 12=BC ，D 是CC 1的中点．（1）证明：B 1C ⊥平面ABD ；（2）若AB ＝BC ，E 是A 1C 1的中点，求二面角A ﹣BD ﹣E 的大小． 答案：（1）详见解析；（2）60°．（1）设BC ＝2，证明△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1，可得∠DBC+∠BCB 1＝90°，则BD ⊥B 1C ，由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，得BB 1⊥AB ，进一步得到AB ⊥平面BCC 1B 1，从而有AB ⊥B 1C ，进一步得到B 1C ⊥平面ABD ；（2）设BC ＝2，以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABD 的一个法向量与平面BDE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BD ﹣E 的大小． 解：（1）设BC ＝2， ∴122BB =2DC BC =12222BC BB ==．∴1DC BCBC BB =，则△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1， ∵∠DBC+∠BDC ＝90°， ∴∠DBC+∠BCB 1＝90°， 得BD ⊥B 1C ．∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ， ∴BB 1⊥AB ，又∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ， ∴AB ⊥平面BCC 1B 1， 而B 1C ⊂平面BCC 1B 1， ∴AB ⊥B 1C ， 又BD ∩AB ＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABD ；（2）解：设BC ＝2，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知，E （1，1，2），D （0，22）， A （2，0，0），B 1（0，0，2，C （0，2，0）．由（1）知平面ABD 的一个法向量(10222CB =-，，， (1122BE =，，，(022BD =，．设平面BDE 的一个法向量为()n x y z ，，=．由020n BE x y n BD y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取z 2=-，得(31n =-，，． ∴cos 1111223CB n CB n CB n⋅===-⨯⋅＜，＞．由图可知二面角A ﹣BD ﹣E 为锐角， 则二面角A ﹣BD ﹣E 的大小为60°． 点评：本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx+m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．答案：（1）2284x y +=1（x ≠0）；（2）y ＝x 83-． （1）根据动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-，可得P 的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P 的轨迹方程；（2）由（1）可得右焦点F 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F 是△AMN 的垂心可得AF ⊥MN ，NF ⊥AM ，可得m 的值． 解：（1）因为动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-， 所以2212y y x x -+⋅=-（x ≠0）， 整理可得2284x y +=1，所以动点P 的轨迹C 的方程：2284x y +=1（x ≠0）； （2）由（1）可得右焦点F （2，0），可得k AF 2002-==--1， 因为F 为垂心，所以直线MN 的斜率为1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程：2228y x m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得：3x 2+4mx+2m 2﹣8＝0， △＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣8）＞0，即m 2＜12，x 1+x 243m =-，x 1x 22283m -=，因为AM ⊥NF ， 所以k AM ⋅k NF ＝﹣1，即121222y y x x -⋅=--1， 整理可得y 2（y 1﹣2）+x 1（x 2﹣2）＝0， 即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2y 2＝0， 即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2（x 2+m ）＝0， 整理可得y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣2m ＝0，而y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2283m -=所以283m --243m -⋅-2m 2283m -+=0， 解得m 83=-或m ＝2（舍）， 所以直线l 的方程为：y ＝x 83-． 点评：本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及垂心的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．已知函数()f x ()12sinx cosx x sinxπ+=+-．（1）证明：函数f （x ）在（0，π）上是减函数； （2）若02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()f x >2()2m x π-，求m 的取值范围．答案：（1）详见解析；（2）（﹣∞，0]．（1）求导，结合基本不等式可得()f x '≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得证；（2）当m ≤0时，由（1）()2()2f x m x π-＞在02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上成立；当m ＞0时，利用导数可推导存在2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()2()2f x m x π-＜与()2()2f x m x π-＞矛盾，综合即可得出结论．解：（1）因为2cosxf x cosx x sinxπ=++-（）， 则()222112220f x sinx sin x sin x sin x '=--+≤--+≤-=，当且仅当sinx ＝1时取等号，故函数()f x 在（0，π）上是减函数；（2）因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当m ≤0时，由（1）知，()20()22f x f m x ππ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭＞成立； 当m ＞0时，令()2g x cosx x π=+-，()g x '＝﹣sinx+1＞0，∴()g x 在02，上单调递增，∴()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭＜，即2cosx x π-＜， ∴()222()2()()2222cosx cosx f x m x cosx x m x x m x sinx sinx πππππ--=++---+---＜， 令()2()22cosx h x x m x sinx ππ=+---， 则()2222()22222x cos x h x m x m x sin x sin x πππ-⎛⎫⎛⎫'=-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， 22222222222xx msin x x mcos x x sin x sin x πππππ--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令()p x ＝2mcos 2x ﹣x ，p x '（）＝﹣4mcosxsinx ﹣1＜0，∴()p x 在02，上单调递减，则()22222q x p x mcos x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在02，上递增，∵()0002q q π⎛⎫⎪⎝⎭＜，＞， ∴存在02t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得q （t ）＝0，即2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()q x ＞()q t ＝0， ∴()h x '＞0，则()h x 在2t π⎛⎫⎪⎝⎭，递增，故()02h x h π⎛⎫=⎪⎝⎭＜， ∴存在2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()2()2f x m x π-＜与()2()2f x m x π-＞矛盾，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，0]． 点评：本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题以及基本不等式，放缩法的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为20226sin πθρπθπθ⎧≤⎪=≤≤-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，＜，，． （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线C 与曲线ρsin θ＝1交于A ，B ，求|AB|． 答案：（1）π+（2）（1）直接利用转换关系，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，得到曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆周及一个两直角边分别为2与面积.（2）联立方程组，分别求出A 和B 的坐标，再利用两点间的距离公式求出结果． 解：（1）因为曲线C的极坐标方程为20226sin πθρπθππθ⎧≤⎪⎪⎪=⎨≤≤⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，＜，，， 所以当02x ≤<时，224x y +=，当0x -≤≤时，x 0+=，所以曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆周及一个两直角边分别为2与23的直角三角形， 如图所示：所以23S π=+（2）因为曲线C 与曲线ρsin θ＝1交于A ，B ，由21sin ρρθ=⎧⎨=⎩，得A （2，6π），转换为直角坐标为A 3，）． 极坐标方程ρsin θ＝1转换为直角坐标方程为y ＝1，极坐标方程36sin ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭转换为直角坐标方程为x 3230+=， 所以B （31，）， 所以|AB|(3323-=点评：本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及联立方程组求交点坐标，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．设x ，y ，z ∈R ，z （x+2y ）＝m ． （1）若m ＝1，求222142++x y z 的最小值； （2）若x 2+2y 2+3z 2＝m 2﹣8，求实数m 的取值范围． 答案：（1）1；（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．（1）由均值不等式及其变形，可得到两数的平方和不小于两数和平方的一半，对222142++x y z 运用刚得到的基本不等式的变形性质，结合已知进行求解即可；（2）由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，进而得到关于m的不等式，解出即可．解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b212≥（a+b）2，∴x2+4y212+z212≥（x+2y）212+z212≥•2|（x+2y）z|＝1，当且仅当x＝2y，x+2y＝z时，即x＝2y12=z，等号成立，∴x2+4y212+z2的最小值是1．（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（当且仅当|x|＝|y|＝|z|时等号成立），又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（当且仅当xz与yz非异号时等号成立）．∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．点评：本题主要考查基本不等式、绝对值三角不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了转化运算求解问题的能力，属于中档题.21。