高考专题 三角恒等变换与解三角形(押题专练)高考理数二轮复习精品资料含答案

1．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝1
5，那么cos α＝( )
A ．－25
B ．－1
5 C.15 D.25
解析：选C.sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15.
2．若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2，则tan β＝( ) A.17 B.16 C.57 D.56
3．设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.
k 1－k 2 D ．－k
1－k 2
解析：选B.sin 80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2
－
＝1－k 2
，所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°
cos 80°＝－1－k 2k ，故选
B.
4．已知sin α＋cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.2
2 D ．1
解析：选D.法一：由sin α＋cos α＝2得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α∈(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α
tan 2α＋1
＝1，解得tan α＝1，故选D. 法二：由sin α＋cos α＝2得：
2sin ⎝
⎛⎭
⎫α＋π4＝2，即sin ⎝
⎛⎭
⎫α＋π4＝1，∵0＜α＜π，
∴π4＜α＜5π
4， ∴α＋π4＝π2，即α＝π4 故tan α＝1，故选D.
5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )
A ．－34
B ．－310
C ．－43 D.43
6．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝45，则tan θ＝( )
A.43
B.3
4 C ．2 D.1
2
解析：选C.法一：∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，且sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈⎣⎡⎦
⎤π4，π2，∴sin θ
＋cos θ＝35
5，
sin θ－cos θ＝5
5，
∴sin θ＝255，cos θ＝5
5，∴tan θ＝2，故选C.
法二：由θ∈⎣⎡⎦
⎤π4，π2知tan θ≥1， ∴sin 2θ＝45，∴2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝4
5
∴
2tan θtan 2
θ＋1
＝45解得tan θ＝1
2(舍)或tan θ＝2. 7．在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B
2＝4，则tan A ·tan B 等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1
4
8．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭
⎫α－π6的值等于( )
A.4＋3310
B.4－33
10 C.33－410 D.－4－3310
解析：选A.∵α为第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－45，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35×32－⎝⎛⎭⎫－45
×12＝4＋33
10，故选A.
9．若α是第四象限角，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝( )
A.15 B ．－1
5 C.513 D ．－513
解析：选D.由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513，cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513.
10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( )
A.79
B.1
3
C ．－13
D ．－79
解析：选D.cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭
⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.
11．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭
⎫π4
－α的值为( ) A.14 B ．－14 C.12 D ．－12
解析：选A.原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α ＝12sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋2α＝1
2cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14，故选A.
12．已知向量a ＝⎝⎛⎭
⎫sin ⎝
⎛⎭
⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭
⎫α＋4π3＝( )
A ．－34
B ．－1
4 C.34 D.14
13. 已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x
2－sin x －1
sin x ＋cos x
＝________.
解析：tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.故2cos 2x
2－sin x －1
sin x ＋cos x ＝
cos x －sin x
sin x ＋cos x ＝1－tan x
tan x ＋1
＝－3. 答案：－3
14．若tan θ＝2，则2sin 2θ－3sin θcos θ＝________.
解析：法一：原式＝cos 2θ(2tan 2θ－3tan θ)＝11＋tan 2θ(2tan 2θ－3tan θ)＝11＋22×(2×22
－3×2)＝25.
法二：原式＝2sin 2θ－3sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－3tan θtan 2θ＋1＝2×22－3×222＋1＝2
5.
答案：2
5
15．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝1
7，则sin α＋cos α＝________.
解析：依题意，1＋tan α1－tan α＝17，解得tan α＝－34＝sin αcos α，因为sin 2α＋cos 2α＝1且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，
解得sin α＝35，cos α＝－45，故sin α＋cos α＝35－45＝－1
5.
答案：－1
5
16．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5，则sin α＋cos α的值为________．
答案：36565
17．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝
33
5
，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．
解：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋3
2sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x
2＝1－cos x .
(1)由f (α)＝335得sin α＝3
5.
又α是第一象限角，所以cos α>0.
从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝1
5
.
(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12
. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π
3，k ∈Z .
故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合 为⎩
⎨⎧x ⎪
⎪⎭
⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 18．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π
4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫
A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．
(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得 sin A ＝12
.
由题意知A 为锐角，所以cos A ＝
32
. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．
因此1
2bc sin A ≤2＋34.
所以△ABC 面积的最大值为2＋3
4
.。