第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.6-求函数近似表达式的拟合法(1)-2017-01

2 [ ( x ) y ] min [ ( x ) y ] i i i i * 2
* a 成立，并且其系数 i (i 0,1,..., n)
m
m
i 1
( x )
i 1
可以通过解法方程（2.6.7）得到。
作为曲线拟合的一种常用的情况，讨论代数多项式拟合， n ( x ) 1, ( x ) x , , ( x ) x 即将拟合函数类的基函数取为 0 。 1 n 于是有 m m m (j ,k ) xij xik xijk ( j, k 0,1,, n) (k , f ) xik yi (k 0,1,n)
经过计算（表2.6.1）即得确定待定系数 a , b 的法方程组：
6a 396.9b 1458 396.6a 28365.28b 101176.3
（4）解法方程组得 a 95.3524, b 2.2337 代入（2.6.9）即 得经验公式： y 95.3524 2.2337x
当 x xi , i 1,2,, m 时，令 ( xi ) y，即得方程组 i
a00 ( x1) a11( x1) ann ( x1) y1 a ( x ) a ( x ) a ( x ) y 0 0 2 1 1 2 n n 2 2 即 a00 ( xm ) a11( xm ) ann ( xm ) ym 0 ( x1 ) 1 ( x1 ) n ( x1 ) ( x ) ( x ) ( x ) 1 2 n 2 若记 0 2 ( x ) ( x ) ( x ) 1 m n m 0 m
因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类 中寻求 一个“最好”的函数 ( x) 来拟合这组数据，是一个值得讨论的问题。 随着拟合效果“好”、“坏”标准的不同，解决此类问题的 方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法，最小二乘法。
2.6.1 曲线拟合的最小二乘法
在一般情况下，不能要求近似曲线 y (x) 严格地通过所有数据 x i 处的偏差（亦称残差） ) 点 ( xi , yi，亦不能要求拟合曲线函数在
i1 i1
i 1
m m xi 故相应的法方程组为 i1 m xn i i1
x
i1 m i1
m
i
2 x i

n1 x i i1 m
m xi yi i1 a0 i1 m m n1 xi a1 xi yi （2.6.8） i1 i1 an m m xny xi2n i i i1 i1
m n
例2.6.1 某种铝合金的含铝量为x% ，其熔解温度 o y 为 C 。由实验测得 x 与 y 的数据如表2.6.1左边三 列。使用最小二乘法建立 x 与 y 之间的经验公式。 解 根据前面的讨论，解决问题的过程如下： ,6) 描绘在 （1）将表中给出的数据点 (xi , yi )(i 1,2, 坐标纸上，如图2.6.1所示。 （2）确定拟合曲线的形式。由图2.6.1可以 看出，6个点位于一条直线的附近，故可以选 用线性函数（直线）来拟合这组实验数据， 即令 (x) a bx（2.6.9）, a , b 为待定常数。
i 1
m
(2)选取 ( x)，使偏差最大的绝对值最小，即
max i max ( xi ) yi min
1i m 1i m
(3)选取 ( x) ，使偏差平方和最小，即
2 2 [ ( x ) y ] i i i min i 1 i 1 m m
2.6 求函数近似值的拟合算法(1)
在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(xi , yi )(i 1,2,,m) 出发，寻求函数 y f ( x) 的一个近似表达式 y ( x)（称为经验公式）。 从几何上，就是希望根据给出的m 个点( xi , yi )，求曲线 y f ( x) 的一条 近似曲线 y ( x ) 。因此，这是一个曲线拟合的问题。 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达 式问题，但用它来解决这里提出的问题，有明显缺陷。 首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线y (x) 严格地通过所给的每个数据点( x i , y i ) ，就会使曲线保持原有的测试误 差。当个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。 其次，由实验提供的数据往往较多（即m 较大），用插值法得 到的近似表达式，明显地缺乏实用价值。
图2.6.1 数据的散点图 表2.6.1 实验数据表
（3）建立法方程组。由于问题归结为一次多项式拟合问 题，故由(2.6.8)知，相应的法方程组形如
6 6 xi i 1

6 i 1
6
i 1
xi x i2
6 y i a i 1 b 6 x y i i i 1
T

这就是最小二乘法的法方程（2.6.7）
当拟合函数类的基函数 0 ( x),1 ( x),...,n ( x) 在数据点 x1 , x2 , , xm 处的函 数值构成的n+1个m维向量线性无关时，可以证明最小二乘法的法 方程有唯一解。即此时满足残差平方和最小的最小二乘解存在唯一。 从而得出下面的定理。
0 (x1) 1(x1) 0 (x2 ) 1(x2 ) 0 (xm) 1(xm) n (x1) a0 y0 n (x2 ) a1 y1 n (xm) an yn
[ ( xi ) yi ] min [ ( xi ) yi ] min n akk ( xi ) yi ( x ) ( a0 ,a1 ,,an )R i 1 i 1 i 1 k 0
m * 2 m 2
m
n
2
* * * S ( a 0 , a1 , , a n ) a k k ( xi ) yi 的最小 a , a , , a 因此 0 1 n 应是多元函数 * * * a , a , , a 值点。从而 0 1 n 是多元函数 S (a0 , a1 ,, an ) 的驻点，即应满足方
i 1
m

n

2
k o
S 程组： 0 (k 0,1, 2,, n) ak m 即 k ( xi ) a0 0 ( xi ) a11 ( xi ) ... an n ( xi ) yi 0
i 1
亦即
a0 k (xi )0 (xi ) a1k (xi )1(xi ) ... an k (xi )n (xi ) k (xi ) yi
* 2 2 [ ( x ) y ] min [ ( x ) y ] i i i i i 1
( x )
i 1
（2.6.5）
其中， ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) 是函数类 中任一函数。
* 称满足关系式（2.6.5）的函数 ( x) 为最小二乘问题的最小二乘解。
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) a ( , f ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 1 1 n 1 0 a1 (1 , f ) ( , ) ( , ) ( , ) a n ( n , f ) n 1 n n n 0
通常是根据“偏差平方和最小”的原则（称为最小二 乘原则）来选取拟合曲线，即按最小二乘原则选择拟合曲 线 y (x) 的方法，称为最小二乘法。
线性最小二乘问题： 对于给定数据表
m
，在某个函数类 {0 (x),1(x),,n (x)} 中，
m
* * ( x ) a ( x ) a ( x
m
（2.6.7）
此方程组称为最小二乘法的法方程组或简称法方程 事实上，最小二乘法的法方程可以用下面的方法形成。 设拟合函数类 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 中的任一函数为 ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
i 1 i 1 i 1 i 1
m
m
m
m
若对任意的函数 h( x) 和 g ( x) ，引入记号 ( h , g ) h ( xi ) g ( xi ) i 1 则上述方程组可以表示成 a0 ( k , 0 ) a1 ( k , 1 ) ... an ( k , n ) ( k , f )(k 0,1, , n) 写成矩阵形式即为
由拟合函数算出的函数值(称为拟合值） ~ yi 95.3524 2.2337 xi , (i 1, 2, , m ) 与实际值 y i 有一定 的偏差。这些偏差的大小可以用来估计拟合的好坏。 由右表可以看出，偏差平方和的平方 根（称为均方误差） i 2 5.164 在一 定程度上反映了所得经验公式的好坏; i 3.22 。 还可看出，最大偏差为 max 1i 6 如果认为这样的误差是允许的话，就可以用经验公式来计算 含铝量在 36.9%~87.5% 之间的溶解度。否则，就要改变函数类 型或者增加实验数据等方法来建立新的经验公式。
用最小二乘法解决实际问题的两个基本环节： 先根据所给数据 点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类, 即确定 ( x) 所具有的形 * 式；然后按最小二乘法原则（2.6.5）求取最小二乘解 ( x)，即确定 其系数 ak * (k 0,1,, n) 。
( x) a1*1 ( x) a* 最小二乘解 ( x) ao nn ( x )应满足条件