【精品提分练习】新版高中数学选修22习题：第二章推理与证明 2.1.1
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案
4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析： 按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射 的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上 ，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推理和演绎推理的联系和区别．
二、课后作业
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1. 下面说法正确的有 (
)
①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理一般模式是"三段论"形式； ④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A．1 个
答案： D
B．2 个
答案： B
)
B．4 或 6 或 7 或 8 个部分D．6 或 7 或 8 个部分
C．4 或 7 或 8 个部分
4. 已知 √2 +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − 2 2 3 3 4 4 = 2 ⋅ √ ，√3 + = 3 ⋅ √ ，√4 + = 4 ⋅ √ ，…．若 3 3 8 8 15 15 − − − − − − − a a √8 + = 8 ⋅ √ （a, t 均为正实数），类比以上等式，可推测 a, t 的值，则 a + t = t t
答案： 解析： 根据已知归纳推理有根号下的分子和根号前面的数字一样，即
．
71
数相乘减一，所以 t = 64 − 1 = 63 ．
a = 8，分母等于分子与根式外的
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C．3 个
D．4 个
2. "因为对数函数 y = loga x 是增函数，而 y = log 1 x 是对数函数，所以 y = log 1 x 是增函数"．这个推 理是错误的，是因为 ( A．大前提错误
【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理习题新人教A版选修2-2(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理习题新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理习题新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章2。
1 2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是（ D ）①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列;③数列｛a n}是一个等比数列；④数列{a n｝的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N＊）．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]由于a1＝1,a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4．因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而｛a n｝显然不是等差数列也不是等比数列,故②③错误，故选D．2．（2018·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝错误!，a3＝错误!,a4＝错误!,则数列｛a n｝的一个通项公式为a n＝（ B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!3．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到( D ）A．空间中平行于同一直线的两条直线平行B．空间中平行于同一平面的两条直线平行C．空间中平行于同一直线的两个平面平行D．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是( A ）错误!A．白色B．黑色C．白色的可能性较大D．黑色的可能性较大5．（2018·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( C )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若（a＋b）c＝ac＋bc"类比推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”D．“(ab)n＝a n b n"类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”6．（2017·长春三模）设n∈N＋，则错误!＝( A ）A．33…错误!B．33…错误!C．33…错误!D．33…错误![解析］错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝33…错误!个．故选A．二、填空题7．（2018·聊城模拟）高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动,在课外活动中，有一人在打篮球,有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球;②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞"的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步;⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在画画．［解析］∵以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞,BA×√×B√××C××D××∵③“C在散步”是“A∴C在散步，则D在画画，故答案为画画．8．观察下列等式：（1＋1）＝2×1;(2＋1）(2＋2）＝22×1×3；（3＋1）(3＋2）(3＋3)＝23×1×3×5;……照此规律，第n个等式可为（n＋1）(n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×…×（2n－1)．[解析]观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘,从n＋1到n＋n，等式右端是2n 与等差数列｛2n－1｝前n项的乘积,故第n个等式为（n＋1）(n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×…×（2n－1）．三、解答题9．(2018·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间,在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC,点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系．[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积,将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE,AO⊥BC．∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AE，BC⊥DE．∴S△ABC＝错误!BC·AE,S△BOC＝错误!BC·OE，S△BCD＝错误!BC·DE．在Rt△ADE中,由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S错误!＝S△BOC·S△BCD．10．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝错误!,sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34．请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．［解析]等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos（30°＋α)＝错误!．证明如下：sin2α＋cos2（30°＋α）＋sinαcos(30°＋α）＝sin2α＋错误!＋sinα（co s30°·cosα－sin30°·sinα)＝错误!＋sin2α＋错误!＋错误!sin2α－错误!sin2α＝错误!＋sin2α＋错误!（错误!cos2α－错误!sin2α）＋错误!sin2α－错误!sin2α＝错误!＋sin2α＋错误!cos2α－错误!sin2α＋错误!sin2α－错误!sin2α＝错误!＋错误!sin2α＋错误!(1－2sin2α）＝错误!．B级素养提升一、选择题1．（2018·金台区期中）下面几种是合情推理的是（ B ）①已知两条直线平行同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③数列｛a n｝中，a n＝2n－1推出a10＝19④数列1,0，1,0，…推测出每项公式a n＝错误!＋（－1)n＋1·错误!．A．①②B．②④C．②③D．③④［解析]①为三段论,是从一般→特殊的推理，是演绎推理．②:由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理,为类比推理,属于合情推理；③是从一般→特殊的推理，是演绎推理．④是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理．故选B．2．类比三角形中的性质：(1）两边之和大于第三边(2）中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的错误!(3）四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( C ）A．(1) B．（1）(2)C．(1）（2)（3) D．都不对［解析]以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题3．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P（x0，y0),则圆的面积S圆＝πr2,过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．在椭圆x2a2＋错误!＝1(a〉b>0）中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝πab．类比过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程，则过椭圆错误!＋错误!＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1）的椭圆的切线方程为错误!·x＋错误!·y＝1．［解析]当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得xr2·x＋错误!·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为错误!·x＋错误!·y＝1,其严格证明可用导数求切线处理．4．观察下列等式：(sin π3）－2＋（sin错误!)－2＝错误!×1×2；（sin错误!）－2＋(sin错误!)－2＋（sin错误!）－2＋(sin错误!)－2＝错误!×2×3；(sin错误!）－2＋(sin错误!)－2＋（sin错误!）－2＋…＋(sin错误!）－2＝错误!×3×4；（sin错误!）－2＋(sin错误!)－2＋（sin错误!）－2＋…＋（sin错误!）－2＝错误!×4×5；……照此规律，(sin错误!)－2＋(sin错误!）－2＋(sin错误!）－2＋…＋(sin错误!）－2＝错误!n(n＋1）．［解析]根据已知，归纳可得结果为错误!n（n＋1）．三、解答题5．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝（2＋1）2＝22＋2×2＋1,42＝（3＋1）2＝32＋2×3＋1，……n2＝（n－1）2＋2(n－1）＋1，左右两边分别相加,得n2＝2×［1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝错误!．类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．［解析]我们记S1（n)＝1＋2＋3＋…＋n，S(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，S k(n）＝1k＋2k＋3k＋…＋n k（k∈N＊）．2已知13＝1,23＝（1＋1）3＝13＋3×12＋3×1＋1,33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1）3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝（n－1)3＋3(n－1）2＋3(n－1）＋1．将左右两边分别相加,得S（n）＝[S3(n）－n3］＋3［S2（n)－n2］＋3［S1（n）－n]＋n．3由此知S2(n）＝错误!＝错误!＝错误!．6．（2018·隆化县高二检测）在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：错误!＝错误!＋错误!，那么在四面体A－BCD中,类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[解析］如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!．又BC2＝AB2＋AC2,∴错误!＝错误!＝错误!＋错误!．∴1AD2＝错误!＋错误!．类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD．则错误!＝错误!＋错误!＋错误!．如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF．∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．在Rt△ABF中,AE⊥BF，∴错误!＝错误!＋错误!．在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴错误!＝错误!＋错误!∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!,故猜想正确．C级能力拔高已知椭圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点,若直线PM，PN的斜率都存在,并记为k PM，k PN，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线错误!－错误!＝1,写出具有类似的性质，并加以证明．［解析]类似的性质为：若M,N是双曲线错误!－错误!＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM,PN的斜率都存在，并记为k PM,k PN，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：设M(m，n)，P（x,y)，则N(－m,－n），因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2＝错误!m2－b2．同理,y2＝错误!x2－b2．则k PM·k PN＝y－nx－m·错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!（定值）．。
高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章 推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考
高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课标人教b版《选修二》《选修2-2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课程标准人民教育B版《选修二》、《选修2-2》、《第二章推理与证明》优秀课后专项练习[6]（含答题和分析）班级:___________姓名：___________分数：___________1.当用反证法证明一个数学命题时，我们应该首先做出与命题结论相矛盾的假设，当否定“自然数是偶数”时，正确的反比是a.自然数B.自然数C.自然数D.自然数【答案】d【考点】高中数学知识点“推理与证明、数系扩展与复数”推理与证明“直接证明与间接证明【分析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：d．考点：命题的否定.中侨油都是奇数都是偶数中至少有两个偶数中至少有两个偶数或都是奇数2.下列命题：（1）如果向量，则与的长度相等且方向相同或相反；而且方向和；（2）对于任何非零向量，如果（3）非零向量与非零向量满足（4）向量（5）若还有，还有是共线向量，则，则，则向量与方向相同或相反；四点共线；正确号码：（）a.0【答案】c【考点】高中数学知识点集与常用逻辑术语命题及其关系【分析】试题分析：由于与可能为零向量，而零向量的方向是任意的，所以（1）若向量与的长度相等且方向相同或相反；不正确。
由相等向量的定义知，（2）对于任意非零向量若而且方向和；正确。
然后b．1c．2d．3根据共线向量的定义，（3）非零向量和非零向量满足正确的要求。
，则向量与方向相同或相反；向量（5）如果与是共线向量，意味着两向量方向相同或相反，说，且然后四点共线；不正确。
.总之，选择C。
，不正确，因为，为零向量时，不一定向量的概念：平面的公共线。
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理训练含解析新人教A版选修1_2
2.1.1 合情推理[A 组 学业达标]1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) A.r 22B.l 22 C.lr2D ．无法确定解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2. 答案：C3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )A．丁酉年B．庚午年C．乙未年D．丁未年解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.答案：B4．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( )A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.答案：D5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.答案：A6．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此规律，第五个等式应为________．解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A BCD ＝________.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R .△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A BCD 各面面积和． 答案：V A BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. [B 组 能力提升]1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 019出现在( )A．第44行第78列B．第45行第82列C．第44行第77列D．第45行第83列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 019＜2 025，∴2 019在第45行．又2 025－2 019＝6，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 019在第89－6＝83列．答案：D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C24．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC＝AC BC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC类比成V A CDE V B CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC类比成S △ACD S △BDC.故有V A CDE V B CDE ＝S △ACD S △BDC.答案：V A CDE V B CDE ＝S △ACD S △BDC5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。
高中数学选修2-2第二章课后习题解答
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立.2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=--即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++ 即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略.2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++.那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++.111(1)12k k =--++ 121111122k k k k +-=-⋅=-+++所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++.那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯.[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++ 1(1)(2)(3)6k k k =+++ 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n 个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1OA OB OC OD AA BB CC DD''''+++=''''用“体积法”证明： OA OB OC OD AA BB CC DD ''''+++'''' O BCD O CDA O DAB O ABCA BCDB CDAC DABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BCD A BCDVV --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=（第5题）即证 tan tan 1tan tan A B A B +=-由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=-.那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+-.1(1)(1)[2(1)1]k k k k +=-+-+- 1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分； （2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++ 部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立.2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=， 代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++-222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。
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第二章
推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
课时过关·能力提升
基础巩固
1数列5,9,17,33,x,…中x的值为()
A.47
B.65
C.63
D.128
解析5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.
答案B
2下列类比推理恰当的是()
A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a y
B.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin y
C.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n
D.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c
解析选项A,B,C没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.
答案D
3下列关于归纳推理的说法错误的是()
A.归纳推理是由一般到一般的推理过程
B.归纳推理是由特殊到一般的推理过程
C.由归纳推理得出的结论不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误,选项B,C,D均正确,故选A.
答案A
4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知a所表示的数是()
A.2
B.4
C.6
D.8
解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第3行开始,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数为5,它肩上的两数为1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.
答案C
5若在数列{a n}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,……,则a10=.
解析前10项共使用了1+2+3+…+10=55个奇数,a10由第46个到第55个共10个奇数的和组成,即
a10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)==1 000.
答案1 000
6观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……根据上述规律,第四个等式为.
答案13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2
7对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题.
解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面.
答案夹在两个平行平面间的平行线段相等
8在平面△ABC中,角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比为△
△
,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B,且与AB交于点E,则类比的结论
为.
解析平面中的面积类比到空间为体积,
故△
△ 类比成-
-
.
平面中的线段长类比到空间为面积, 故类比成△
△
.
故有-
-△ △
.
答案-
-△
△
能力提升
1下列说法正确的是()
A.合情推理得到的结论是正确的
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
解析归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.
答案D
2定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:
下列4个图形中,
可以表示A*D,A*C的图形分别是()
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(1)(4)
解析由已知的4个图形可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,所以表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.
答案C
3已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则此数列的第k项是()
A.a k+a k+1+…+a2k
B.a k-1+a k+…+a2k-1
C.a k-1+a k+…+a2k
D.a k-1+a k+…+a2k-2
解析利用归纳推理可知,第k项中的第一个数为a k-1,且第k项中有k项,幂指数连续,故第k项为a k-
1+a k+…+a2k-2,故选D.
答案D
4观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,……,52 017的末四位数字为()
A.3 125
B.5 625
C.0 625
D.8 125
解析由观察易知55的末四位数字为3 125,56的末四位数字为5 625,57的末四位数字为8 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,故周期T=4.又由于2 017=504×4+1,因此52 017的末四位数字是3 125.
答案A
5观察下列等式
1-
1-
1-
……
据此规律,第n个等式可为.
解析经观察知,第n个等式的左侧是数列--的前2n项和,而右侧是数列的第n+1项到第
+…+.
2n项的和,故为1-+…+
-
+…+
答案1-+…+
-
6一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算 义
为:00=0,01=1,10=1,11=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,则利用上述校验方程组可判定k=.
答案5
7图①是某届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化
而成的,其中|OA1|=|A1A2|=|A2A3|=…=|A7A8|=1.如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},那么推测数列{a n}的通项公式为a n=.
解析根据|OA1|=|A1A2|=|A2A3|=…=|A7A8|=1和题图②中的各直角三角形,由勾股定理,可得
a1=|OA1|=1,a2=|OA2|=,a3=|OA3|=
,……
故可归纳推测a n=.
答案
★8有一个雪花曲线序列,如图所示.
其产生规则是:将正三角形P0的每一边三等分,而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段,便得到第1条雪花曲线P1;再将P1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第2条雪花曲线P2,……将P n-1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第n条雪花曲线P n(n=1,2,3,4,…).
(1)设P0的周长为L0,试猜想P n的周长L n;
(2)设P0的面积为S0,试猜想P n的面积S n.
解(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示,
易得L n=L n-1(n∈N*),
故可猜想L n=L n-1=…=L0,n∈N*.
(2)由雪花曲线的构造规则比较P0和P1,易得P1比P0的每边增加一个小等边三角形(缺少一边),其面积为,而P0有3条边,
故有S1=S0+3·=S0+.
再比较P2与P1,可知P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形(缺少一边),其面积为,而P1有3×4条边,
故有S2=S1+3×4×=S0+.
同理可得S3=S2+3×42×
=S0+,
故可猜想S n=S0++…+-
-
=S0+
-
-
S0
=-S0.。