1.doc二次根式
二次根式讲解
二次根式讲解
二次根式是数学中的一种运算形式，表示为√a，其中a表示被
开方数。
简单来说，就是找到一个数x，使得x的平方等于a。
在二次根式中，a可以是任意非负实数。
如果a是正数，那么√a 的结果也是正数；如果a是0，则√0的结果是0；如果a是负数，则
二次根式没有实数解。
例如，√4表示找到一个数x，使得x的平方等于4。
因为2的平方等于4，所以√4的结果是2。
同理，√9的结果是3，因为3的平方等于9。
当被开方数a是一个非平方数时，二次根式的结果是无理数。
无
理数是无法用两个整数的比值来表示的实数。
例如，√2是一个无理数，它的值约等于1.414。
二次根式具有一些性质。
首先，√a的值是非负的。
其次，如果
a和b都是非负实数，那么√(ab)等于√a乘以√b。
另外，如果a和b 都是非负实数且a≤b，那么√a≤√b。
二次根式在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学和代数学中。
在几何学中，二次根式可以用来表示长度、面积和体积。
在代数学中，二次根式可以用来解一元二次方程。
总之，二次根式是一个重要的数学概念，用来表示找到一个数的
平方等于给定的非负实数。
它具有一些性质，并在数学中有着广泛的
应用。
(1)二次根式基础知识点
32
2000
32
2001
______________
思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
类型六、化简求值 12、已知 4x +y -4x-6y+10=0，求(
2
2
+y
2
)-(x
2
-5x
)的值．
思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1) +(y-3) =0，即 x= 式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 举一反三
1 1 1 a 2 2 ，其中 a= ”，甲、乙两个学生的解答不同． + 2 a 5 a
甲的解答是：
1 1 1 1 2 49 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = + －a= a + 2 a a a a a 5 a a 1 1 1 1 1 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = +a－ =a= + 2 a a a a 5 a a
知识点三、二次根式的除法法则： 要点诠释：
，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，其中
，因为 b 在分母上，
故 b 不能为 0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2
2
，y=3．其次，根据二次根
【变式 1】先化简，再求值．(6x
+
)-(4y
+
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿1
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习二次根式的应用和进一步学习高中数学打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但是，对于二次根式的概念和性质，学生可能初次接触，理解起来有一定的难度。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方式，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的概念、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的性质和运算规律。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生形象直观地理解二次根式的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、有理数、无理数等基础知识，引出二次根式的概念。
2.探究二次根式的性质：让学生观察、分析例子，引导学生发现二次根式的性质。
3.学习二次根式的运算：通过讲解和练习，让学生掌握二次根式的运算方法。
4.应用拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出二次根式的概念、性质和运算方法。
可以设计如下：1.二次根式的概念–定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式。
2.二次根式的性质–√a = √b（a=b≥0）–√a × √b = √(ab)（a≥0，b≥0）–√a ÷ √b = √(a/b)（a≥0，b>0）3.二次根式的运算方法–加减法：同底数相加减，指数不变；–乘除法：底数相乘除，指数相加减。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用.doc
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。
V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。
取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。
二次根式常见题解法
二次根式常见题解法二次根式的概念在高中数学中就已经涉及，是一种求解多元二次方程的方法，也是许多高中考试中的重要内容。
对于二次根式的解法，有多种，在本文中，将介绍几种最常见的解法。
首先，提取公因子法。
二次方程的有用性在于它能提取出一个公因子，形式上也就是把乘项移到右边，即可化为带有根式的形式。
针对不同的题目，求解其根时，也可以采用提取公因子法，即把被乘项提取到右边，把所有乘项放在一起，提取出共同的因子，最后化为乘法及加法。
其次，分式分解法。
分式分解法要求将被乘项和乘项分别分解为两个不同的因数，这样，就可以由乘法的原理，把二次方程的解分解为乘积的形式。
通过分式分解，二次方程便可以化为一个简单的乘法，从而轻易求得两个根式。
最后，开方法。
开方的解法是一种直观的求解方法，其原理是，将二次方程的右边开方，直接求得两个根式。
开方法较为简单，但是需要把握正确的根式，而不容半开方或虚部处理，因此，该方法仅适用于部分题目。
以上是三种最常见的二次根式求解法。
从它们的原理和实质上来看，不同的解法都蕴含着一套精密的数学逻辑，实践中，为正确求解二次根式，需要不断掌握和提升解题技巧和算法，以便给出最优解。
在复杂的数学解法中，二次根式求解也是一种重要内容，为了更好地实现上述求解，需要在理解相关原理的基础上，结合实际情况，采用适当的方法。
比如，对于倒数问题，可以采用开方法求解；对于高次项中具有公因子的问题，可以提取公因子在右边求解；而对于含有分式的问题，可以采用分式分解法求解。
因此，遇到加减乘除等不同类型的二次方程时，要根据具体情况选择最合适的求解方法。
在掌握方法的同时，也应注意分辨解题中的根式，避免出现错误。
为此，在解题中，要熟练掌握方程的乘法和加减法，是正确求解二次根式的关键。
因此，搞清楚二次根式的求解方法，不仅对学生的学习有利，也有利于学生能够在不同的题目中求得正确答案，从而取得更高的成绩。
以上就是《二次根式常见题解法》，希望能帮助到大家更好地解决二次根式求解的问题。
第1部分 第1章 第2节 二次根式及其运算
第二节二次根式及其运算知识点考点分值考频等级考查难度常见题型二次根式及其运算二次根式的概念3～4分☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的性质3～6分☆☆☆☆易选择题、填空题最简二次根式3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的运算3～6分☆☆☆☆☆易选择题、填空题、解答题考点一：二次根式的概念核心点拨1．二次根式定义：一般地形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．(1)被开方数可以是数字、字母，也可以是代数式．(2)二次根式有意义的条件：被开方数一定是非负数．考点二：二次根式的性质核心点拨2．双重非负性(1)a(a≥0)中的a是非负数．二次根式的被开方数及结果都不能是负数．(2)a(a≥0)的值是非负数．3．运算性质(1)a2＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).a2和(a)2二者a的取值范围不同，a2中a可取全体实数，(a)2中a一定是非负数．(2)(a)2(a≥0)＝a．考点三：最简二次根式核心点拨4．最简二次根式,最简二次根式满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的两个条件缺一不可．考点四：二次根式的运算核心点拨5．二次根式的运算(1)二次根式的乘除：①a·b＝ab(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(1)二次根式的乘除主要用于乘除运算．(2)积、商的算术平方根主要用于二次根式的化简．(2)积、商的算术平方根：①a·b＝a·b(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(3)二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．1二次根式的概念基础点(2021·岱岳区期末)若式子x＋1x有意义，则实数x的取值范围为____________．(1)根据二次根式有意义的条件确定x＋1的范围；(2)再结合分式有意义的条件确定x的取值范围．x≥－1且x≠0解析：要使式子x＋1x有意义，必须x＋1≥0且x≠0，解得x≥－1且x≠0．故答案为x≥－1且x≠0．1－1(2021·内江)函数y＝2－x＋1x＋1中，自变量x的取值范围是( )A．x≤2B．x≤2且x≠－1C．x≥2D．x≥2且x≠－1B解析：由题意得：2－x≥0，x＋1≠0，解得x≤2且x≠－1．故选B．1－2(2022·新泰检测)若代数式x＋1有意义，则实数x的取值范围是________．x≥－1解析：∵代数式x＋1有意义，∴x＋1≥0．∴x≥－1．故答案为x≥－1．1－3(2022·滨州)若二次根式x－5在实数范围内有意义，则x的取值范围为___________．x≥5解析：由题意知x－5≥0，解得x≥5．故答案为x≥5．与二次根式有关的取值原则1．二次根式有意义，被开方数一定是非负数．2．若分母中有二次根式，则被开方数只能大于0．3．在既有二次根式，又有分式的代数式中确定取值范围，一定要考虑所有的限制条件．2二次根式的性质及化简能力点(2022·宁阳检测)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2的结果是( )A．－2B．0C．－2a D．2b(1)根据a2＝|a|化简；(2)绝对值化简即可．A解析：由数轴可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0．∴(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2＝||a＋1＋||b－1－||a－b＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)＝－2．故选A．2－1(2022·肥城月考)计算(27－12)×13的结果是()A．33B．1C． 5 D．3B解析：(27－12)×1 3＝9－4＝3－2＝1．故选B．2－2(2021·杭州)下列计算正确的是( )A．22＝2B．(－2)2＝－2C．22＝±2D．(－2)2＝±2A解析：22＝4＝2，故A正确，C错误；(－2)2＝2，故B，D错误．故选A．2－3(2022·舟山)估计6的值在()A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间C解析：∵4<6<9，∴ 2<6<3．故选C．2－4(2022·新泰模拟)估计3×(23＋5)的值应在()A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间B解析：3×(23＋5)＝6＋15．∵9＜15＜16，∴ 3＜15＜4．∴9＜6＋15＜10．故选B．a2和(a)2的区别：1．a的取值范围不同：a2中的a是全体实数；(a)2中的a只能是非负数．2．运算顺序不同：a2是先平方，再开方；(a)2是先开方，再平方．3．运算结果不同：a2＝||a；(a)2＝a．3最简二次根式基础点(2022·宁阳月考)将452化为最简二次根式，其结果是( )A．452B．902C．9102D．3102(1)被开方数分子、分母同乘2，化为；(2)把开方出来.D解析：452＝904＝94×10＝3102．故选D．3－1(2022·泰山区期末)下列根式中，是最简二次根式的是( )A．19B．4C．a2D．a＋1D解析：A．19＝13；B．4＝2；C．a2＝|a|；D．a＋1是最简二次根式．故选D．3－2(2021·重庆A卷)计算14×7－2的结果是( ) A．7B．62C．72D．27B解析：14×7－2＝2×7×7－2＝72－2＝62．故选B．4二次根式的运算基础点考向1| 二次根式的乘除(2022·宁阳一模改编)计算：45÷33×3 5．(1)按照从左到右的顺序进行运算；(2)结果化成最简二次根式．1解析：原式＝13×15×35＝13×15×35＝13×9＝1．4－1等式x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是( )A．x≠2B．x≥－2 C．x≥－2且x≠2D．x＞2D解析：x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是x－2>0，得x>2．故选D．4－2(2021·岱岳区检测)计算18×12的结果是( )A．6B．62C．63D．66D解析：18×12＝32×23＝66．故选D．4－3(2022·天津)计算(19＋1)(19－1)的结果等于_______．18解析：(19＋1)(19－1)＝(19)2－12＝19－1＝18．故答案为18．4－4计算：27×50÷26．答案：15 2解析：原式＝33×52÷26 ＝156÷26＝152．考向2| 二次根式的混合运算(2021·临沂)计算：│－2│＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122．(1)去绝对值，利用完全平方公式运算； (2)进行加减运算． 答案：－2解析：原式＝2＋2－2＋14－2－2－14＝－2．5－1 (2022·东平模拟)计算：2×3－24＝________． －6 解析：原式＝6－26＝－6． 故答案为－65－2 (2021·威海)计算：24－65×45＝________．－6 解析：原式＝26－65×35 ＝26－36＝－6． 故答案为－6．5－3 (2022·泰山区检测)计算：3－25＝________． －2 解析：原式＝3－5＝－2． 故答案为－2．二次根式的运算法则1．二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．2．二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．3．二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．4．二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．二次根式的概念和运算命题点1| 二次根式的有关概念1．(2022·东平检测)下列各式中，一定是二次根式的是()A．－－2B．a2＋1C．a－1 D．3 3B解析：A．根号下不能是负数，故A选项不合题意；B．a2＋1≥1，故B选项符合题意；C．当a<1时，a－1<0，此时根号下是负数，故C选项不合题意；D．33是3的立方根，不是二次根式，故D选项不合题意．故选B．2．(2022·宁阳检测)已知二次根式2x＋1，则x的最小值是() A．0 B．－1C．12D．－12D解析：由题意得：2x＋1≥0，解得x≥－12．∴x的最小值为－12．故选D．3．(2021·绥化)若式子x0x＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A ．x ＞－1B ．x ≥－1且x ≠0C ．x ＞－1且x ≠0D ．x ≠0C 解析：若x 0x ＋1在实数范围内有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋1>0.解得x >－1且x ≠0．故选C ． 4．(2022·滨州)若二次根式x －5在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________．x ≥5 解析：由题意知，x －5≥0， 解得x ≥5． 故答案为x ≥5． 5．(2022·宁阳检测)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y＝________．14 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0， ∴ x ＝4．∴ y ＝－2． ∴ (x ＋y )y ＝(4－2)－2＝14． 故答案为14．6．已知y ＝x －20＋30－x ，且x 、y 均为整数，则x ＋y ＝______． 25或33 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －20≥0，30－x ≥0，解得20≤x ≤30． ∵ x ，y 均为整数， ∴ x ＝21或29．当x＝21时，y＝4，x＋y＝25；当x＝29时，y＝4，x＋y＝33．故答案为25或33．命题点2| 二次根式的性质及化简1．(2022·岱岳区月考)当x＞2时，(2－x)2＝()A．2－x B．x－2C．2＋x D．±(x－2)B解析：∵x>2，∴ 2－x<0．∴(2－x)2＝x－2．故选B．2．化简(－5)2的结果是()A．－5B．5C．±5D．25B解析：(－5)2＝5．故选B．3．(2022·东平检测)若(a－3)2＝3－a，则实数a的取值范围是() A．a＜3 B．a≤3C．a＞3 D．a≥3B解析：∵(a－3)2＝3－a＝－(a－3)，∴a－3≤0．∴a≤3．故选B．4．实数7不可以写成的形式是()A．72B．－72C．(－7)2D．(－7)2B解析：∵72＝(－7)2＝(－7)2＝7，－72＝－7，∴ 7不可以写成－72的形式．故选B．5．(2021·娄底)2,5，m 是某三角形三边的长，则(m －3)2＋(m －7)2等于( )A ．2m －10B ．10－2mC ．10D ．4D 解析：∵ 2,5，m 为三角形的三边长，∴ 5－2<m <5＋2．即3<m <7．∴ m －3>0，m －7<0．∴ (m －3)2＋(m －7)2＝m －3＋7－m ＝4．故选D ．6．(2022·贺州)若实数m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，则 3m ＋n ＝__________．7 解析：∵ m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，∴ m －n －5＝0,2m ＋n －4＝0．∴ m ＝3，n ＝－2．∴ 3m ＋n ＝9－2＝7．故答案为7．7．(2022·新泰模拟)如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a 2－||a ＋b ＋(c －a )2＋||b ＋c 可以化简为( )A ．2c －aB ．2a －2bC ．－aD ．a C 解析：由数轴可得b <a <0<c ，|b |>|c |．∴ 原式＝－a －[－(a ＋b )]＋c －a ＋[－(b ＋c )]＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c ＝－a ．故选C ．命题点3| 二次根式的运算1．(2021·梧州)下列计算正确的是()A．12＝3 2 B．2＋3＝5C．62＝3D．(2)2＝2D解析：A．12＝23，该选项错误；B．2和3不是同类二次根式，无法合并，该选项错误；C．62是最简二次根式，无法化简，该选项错误；D．(2)2＝2，该选项正确．故选D．2．(2022·肥城模拟)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1, ③ab÷ab＝－b．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③B解析：∵ab>0，a＋b<0，∴a<0，b<0．①等号右边根号下为负数，错误；②ab·ba＝ab·ba＝1，正确；③ab÷ab＝ab÷ab＝ab×ba＝b2＝－b，正确．故选B．3．下列二次根式中，不能与2合并的是()A．12B．8C．12 D．18C解析：12＝22，8＝22，12＝23，18＝32，∴不能与2合并的是12．故选C．4．(2021·常德)计算：(5＋12－1)·5＋12＝()A．0B．1C．2D．5－1 2B解析：原式＝(5＋1－22)×5＋12＝5－12×5＋12＝1．故选B．5．(2022·河北)下列正确的是()A．4＋9＝2＋3 B．4×9＝2×3C．94＝32D． 4.9＝0.7B解析：A．原式＝13，故该选项不符合题意．B．原式＝4×9＝2×3，故该选项符合题意．C．原式＝(92)2＝92，故该选项不符合题意．D．0.72＝0.49，故该选项不符合题意．故选B．6．(2022·泰山区模拟)计算：27·83÷12＝______．12解析：原式＝33×223×2＝12．故答案为12．7．计算：45－25×50＝______．5解析：原式＝35－25×50＝35－20＝35－25＝5．故答案为5．8．(2022·东平月考)若x＝3－2，则代数式x2－6x＋9的值为______．2解析：x2－6x＋9＝(x－3)2＝(3－2－3)2＝(－2)2＝2．故答案为2．。
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
八年级暑假同步讲义：第1讲 二次根式的概念与性质
二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用．1、二次根式的概念（1）代数式a（0a≥）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即a有意义的条件是0a≥．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，1x ，x 0x >（），0，42，2-，1x y +，x y +（0,0x y ≥≥）． 【难度】★【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x -；（2）2x - ．【难度】★【例3】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）1x ； （2）12x --．【难度】★【例4】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x +； （2）2(1)x -+．【难度】★【例5】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）23xx -- ； （2）23x x++-．【难度】★★例题解析【例6】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1； （2 （3．【难度】★★【例7】若,x y 是实数，且2y <，化简22y y --．【难度】★★【例8】已知实数a ，b (0b -=，求20032003a b +的值． 【难度】★★【例92344b c c +++=-，求()c ab 的值．【难度】★★★1、二次根式的性质（1）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．（2）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥； 性质2：2()(0)a a a =≥； 性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：a ab b=（0a ≥，0b >）． （3）化简二次根式： ○118与32相等吗？利用二次根式的性质3和性质1，可得：221829232332=⨯=⨯=⨯=； 一般地，设0a ≥，0b ≥，那么22ab a b b a ==g ；○238与64相等吗？ 利用分数的性质以及二次根式的性质4和性质1，可得：23326688244⨯===⨯； 一般地，设0a ≥，0b >，那么2b a b ab aba b b b b ===g g ；化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” ．通常把形如m a （0a ≥）的式子也叫做二次根式，如32，3-，221a b +等也是二次根式．知识精讲模块二：二次根式的性质【例10】 求下列二次根式的值：（1）2(4)-；（2）25；（3）221612-；（4）2(3)π-．【难度】★【例11】 求二次根式221x x -+的值，其中3x =-． 【难度】★【例12】 计算下列各式的值：（1）2(18)； （2）22()3；（3）29() ； （4）2(0)；（5）27(4)8；（6）22(35)(53)-； （7）2(1)(0)x x +≥；（8）22()a ；（9）22(21)a a ++．【难度】★【例13】 化简以下二次根式：（1）72； （2）212a （0a ≥）； （3）327x ．【难度】★例题解析【例14】化简以下二次根式：（1；（2（30b>）．【难度】★【例15】化简：（10)m≥；（2（3）【难度】★★【例16】化简：2【难度】★★【例17】如=成立，求x的取值范围．【难度】★★【例18】 已知21<【难度】★★【例19】 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，a b +．【难度】★★【例20】 在ABC ∆中，a b c、、2||c a b －－． 【难度】★★【例21】 已知10a -<<．【难度】★★★【习题1】 判断下列各题的正误．（1）2(2)2ab ab -=-．…………………………………………………（ ） （2）22(1)(1)x x -=-．…………………………………………………（ ）【难度】★【习题2】 求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）34x -； （2）183a -； （3）24m +； （4）1x-；（5）x x +-；（6）321xx -+． 【难度】★【习题3】 计算：（1）49；（2）2(1.5)-； （3）2(3)a -a <（３）（4）2(23)x -32x <（）．【难度】★随堂检测【习题4】 计算：求下列二次根式的值：（1（2(a =；（3（4（53253-；（6）1x -()12x <<．【难度】★【习题5】 解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、【难度】★★【习题6】 把中，根号外的a 移入根号内的结果是________ 【难度】★★【习题7】 已知3y =，求22x xy y -+的值． 【难度】★★★=，求xy的值．【习题8】0【难度】★★★【习题9】已知2440++=，则xy的值等于__________．y y【难度】★★★【习题10】x y z、、满足关系式：、、的值．+=x y z【难度】★★★八年级暑假班 11 / 12 a c b 0 【作业1】 要使式子2131a a a -++有意义，则a 应满足（ ） A 、1a ≤且13a ≠- B 、1a ≤ C 、13a ≠- D 、1a ≤且13a ≠ 【难度】★【作业2】 已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示： 则化简222()()()b a a c b c --+-+的结果是__________．【难度】★【作业3】 化简二次根式：（1）18； （2）32； （3）38； （4）3a ； （5）292a b ． 【难度】★★【作业4】 把根号外的因式移到根号内．（1）a a ； （2）1a a； （3）a a -； （4）a a --； （5）1a a --． 【难度】★★【作业5】 若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是__________．【难度】★★课后作业八年级暑假班【作业6】把(m -根号外的因式移到根号内，得__________． 【难度】★★【作业7】296x x =-，求x 的值．【难度】★★★【作业8】 若a 、b是实数，且13b <31b - 【难度】★★★【作业9】已知1y +【难度】★★★【作业10】 已知x y 、是实数，且y． 【难度】★★★。
1.二次根式的性质及乘除运算
第一讲二次根式及其运算知识点一：二次根式的乘法二次根式的乘法法则：abba=⋅（0≥a，0≥b），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=.例1 计算：(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.知识点二：积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质：baab⋅=（0≥a，0≥b），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a，0≥b才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质baab⋅=（0≥a，0≥b）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2aaaaaa（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简例2.化简知识点详解(1)； (2)； (3)； (4)； (5).二次根式的除法法则：ba b a=（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.例3.化简(1)； (2)； (3)； (4).商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.（2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ）② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简例4.化简(1)；(2)；(3)；(4).1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例5：下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).例6把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并例7.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1一 、二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 。
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1.计算：23323322-+-＝2.计算：1227+＝3.如果最简二次根式38a -和172a -是可以合并的，那么a ＝4.等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是.5.计算：（1）1625= ；（2）(15)(27)-⨯-= .（3）5614= ；（4） 1.530.17= .6.化简：（1）3227a b ＝ ；（2）32418a a ⋅= .7.计算：（1）23649y x ＝ ；（2）3227= . 8.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（ ）（A ）18（B ）12 （C ）23（D ）299.下列计算：①x y x y +=+；②22a a +=；③632343-=；④52832a a a -=；⑤8184952+=+=.其中正确的是（ ）（A ）①和③（B ）②和③ （C ）③和④（D ）③和⑤10.把18a化简的结果应是（）（A ）32a （B ）32a a （C ）32a a （D ）23a a11.下列计算中，正确的是（ ）（A ）355344= （B ）5539335777== （C ）19131716254520+=+= （D ）224832(4832)(4832)165-=+-=12.如果3222a a a a +=-+，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）0a ≥ （B ）02a ≤≤ （C ）20a -≤≤ （D ）2a ≤-13.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（A ）12 （B ）2x - （C ）32（D ）324a b 14.计算：（1）48300⨯ （2）641449169⨯（3）11904032 （4）3515（5）18(3222)÷⨯ （6） 2.7331.1-（7）221917-- （8）1834 （9）34yx（10）3118(2)2a a --（12）2322x a x - （13）333954x x x x +-(14) ()()26522652-+ (15) 114()2aab b ab+--15.已知： 1.69,x =求2331234x x x x-+的值。
16.如图，直线l 表示草原上一条河，在附近有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别为AC ＝30km,BD=40km ，A 、B 两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A 村出发到B 村，途中要到河边给马饮一次水。
如果他在上午八点出发，以每小时30km 的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B 村？17.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数。
18.已知实数x 满足20052006x x -+-=x ，求x 的值。
一、选择题 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 ( ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ）A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－24．下列计算正确的是（ ）①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．化简二次根式352⨯-)(得 （ ）A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 6．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ）A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是3 7．把aba 123分母有理化后得 （ ）A ．b 4 B ．b 2 C ．b 21D ． b b 2 lD C B A405804520?7548274507250328．y b x a +的有理化因式是 （ ）A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a +9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）A ．23a B ．31C ．153D ．143 10．计算：ab ab b a 1⋅÷等于 （ ）A ．ab ab21 B ．ab ab 1 C ．ab b1D ．ab b 二、填空题 11．当x___________时，x 31-是二次根式．12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义．13．比较大小：23-______32-．14．=⋅baa b 182____________；=-222425__________． 15．计算：=⋅b a 10253___________．16．计算：2216acb =_________________． 17．当a=3时，则=+215a ___________．18．若xx x x --=--3232成立，则x 满足_____________________． 三、解答题19．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：⑴52-x ； ⑵742-a ； ⑶15162-y ； ⑷2223y x -． 20．计算：⑴))((36163--⋅-； ⑵63312⋅⋅； ⑶)(102132531-⋅⋅； ⑷z y x 10010101⋅⋅-．21．计算：⑴20245-； ⑵14425081010⨯⨯..； ⑶521312321⨯÷； ⑷)(ba b b a 1223÷⋅．22．把下列各式化成最简二次根式：⑴27121352722-； ⑵ba c abc 4322-．23．已知：2420-=x ，求221xx +的值．二次根式1. 使式子4x -有意义的条件是 。
2. 当__________时，212x x ++-有意义。
3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 时，()21x -是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。
6. 若242x x =，则x 的取值范围是 。
7. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。
8. 化简：()2211x x x -+的结果是 。
9. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。
10. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。
12. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。
13. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b15. 若23a，则()()2223a a ---等于（ ）A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a -16. 若()424A a=+，则A =（ ）A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a ≤，则()31a -化简后为（ ） A. ()11a a -- B. ()11a a --C. ()11a a --D. ()11a a -- 18. 能使等式22xxx x =--成立的x 的取值范围是（ ）A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ）A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a -20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()()222323121232312223233224=⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-⨯=∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 若2440x y y y -+-+=，求xy 的值。
22. 当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：()()21.303y x x()()()512.11x x x x -+24. 已知2310x x -+=，求2212x x+-的值。
25. 已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006a b -的值。
21.2 二次根式的乘除 1. 当0a ≤，0b时，3__________ab =。
2. 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==。
3. 计算：23________;369__________⨯=⨯=。
4. 计算：()483273_____________-÷=。
5. 长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为 （精确到0.01）。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. 21a + B. 21x + C.24bD. 0.1y 7. 已知0xy ，化简二次根式2yxx-的正确结果为（ ） A. y B. y - C. y - D. y -- 8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A.()2a ba b +=+ B. 22a b a b +=+ C.()22222aba b +=+ D.()2a b a b +=+9. 23-和32-的大小关系是 A. 2332-- B. 2332-- C. 2332-=- D. 不能确定10. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：()1.232⨯ ()32.53x x ⨯ ()()()33.540,0ab a b a b ⋅-≥≥ ()()364.0,0a b ab ab÷()2125.121335÷⨯ ()53236.32b ab a b b a ⎛⎫⋅-÷ ⎪⎝⎭12. 化简：()()351.0,0a b a b ≥≥ ()2.x y x y-+ ()3213.a a a ---13. 把根号外的因式移到根号内：()11.55- ()()12.11x x --二次根式的加减1. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C. 32D. 18 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式 C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与3a b 不是同类二次根式的是（ ） A.2ab B. ba C. 1abD. 3b a 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 0.2b B. 1212a b - C. 22x y - D. 25ab 5. 若12x，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -36. 若2182102x x x x++=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4± 7. 若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x y -的值是（ ） A. 333- B. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. 527+= B. 22a b a b -=- C. ()a x b x a b x -=- D.6834322+=+=+ 9. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 。