正、余弦函数图象和性质(1)
第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
正、余弦函数图象和性质(1)
2、 P47
习题 4.7
3双号
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/ 青岛装修
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姐，你又怎么了？”小青赌气地说：“去吧，去吧，我是老虎啊，走慢了怕我吃了你不成！”耿正笑着说：“小青姐，谁说你是老虎了？ 我是要过去想事情呢。”小青赶快说：“那我过你那边去吧，你想你的事情，我绣我的花！要不我一个人闷得慌呢！”耿正说：“那你 就过来绣呗，那个屋子本来就是你的，是我们雀占凤巢了呢！”于是，小青高高兴兴地拿着丝绸手帕跟在耿正的身后来到东屋，欠身坐 在床边上开始飞针走线了。这一下耿正没法儿再躺在地铺上歇着了，也不可能想自己的事情了，只好搬一把高凳子坐在门口开始摆弄起 二胡来。这一下，小青可找着话题了，她故意恬怪地说：“你光是摆弄它有什么意思啊，还不如给我拉一个好听的曲儿呢？”耿正说： “可我现在的心情，能拉一个什么曲儿呢？”小青不解地问“你现在的心情有什么不好啊，耿伯伯的病已经好了！”耿正摇摇头说： “唉，一言难尽啊！”小青甜甜地笑着说：“耿正啊，不要自寻烦恼啦！拉一个曲儿吧，姐现在很想听呢！”耿正想一想，说：“也行， 那我就给你拉一个简单一些的曲儿吧！”小青的脸蛋儿乐得跟开了花儿似的，连声说：“行，行，你拉什么曲儿，姐都爱听！”一曲儿 拉完了，小青兴奋地说：“真好听！听你拉曲儿，姐好像看到了鸟语花香的好景致呢！我好想一辈子听你拉曲儿啊！”耿正却神情暗淡 地轻轻说“小青姐，你说我拉的曲儿好听，这也许不假。可你知道吗？在你眼前看到是鸟语花香的好景致，可在我的心里想的，都是生 我养我的美丽故乡和伴我长大的亲人啊！”小青生气地站起来，愤愤然地说“榆木疙瘩一个！”说完起身走了。耿正挠挠头自言自语地 说：“榆木疙瘩？”他又看看手里的二胡，眼光一下子落到了琴筒上，一瞬间明白了什么，赶快追出门去冲着已经走进西边屋里的小青 的背影说：“我爹说过，这琴筒不是榆木疙瘩，它是用红木做的。再说了，它的中间是空的，不是实疙瘩！”小青转头看到耿正一脸憨 憨的认真模样，忍不住“噗嗤”一声笑了，大声说：“说你呢，榆木疙瘩一个！”耿正怏怏地苦笑了，说：“从小到大，人人都说我很 聪明呢，也就你笑话我苯。算啦算啦，榆木疙瘩就榆木疙瘩吧，反正也就这样了。这人常说了，‘三岁看大，七岁到老’，我都十八岁 了，已经是定型了啊。”说完了，耿正返回屋子收起二胡，又念叨了一句：“榆木疙瘩！”突然，耿正浑身一个激灵：榆木疙瘩不就是 脑袋不开窍的意思吗？想到这里，他不由地心里暗暗叫苦：天哪，好个傻姐姐哩，这都哪跟哪啊！从这天之后，耿正就尽量地避开与小 青单独呆在一起了。他想：不管小青姐姐那句“榆木疙瘩”的话来头在哪里，少男少女的单独呆在一起总是不好的。好在以后的事情又 一切如故了，小
正、余弦函数图象和性质(1)
§4.8 正、余弦函数图象和性质 （一）
我们的目标 1、理解正、预先函数图象的来由 2、掌握正、余弦函数性质（定义域、值域、
对应法则、单调性、奇偶性、周期性）
一、正弦函数y sin x的图象
1、描点法
2、五点法
二、正弦函数y sin x的性质
1、定义域 2、值域 3、对应法则 4、单调性
7、周期性
f (x 2 ) sin( x 2 ) sin x f (x) 最小正周期为2
三、余弦函数y cos x的图象
1、描点法
2、五点法
四、余弦函数y cos x的性质
1、定义域 2、值域 3、对应法则
xR
y 1,1
x y
4、单调性 在x 2k ,2k 上是增函数；
；艺考文化课补习 /mzt/art_m/ ；
得双腿酸软.但能报得此仇.大声笑着说.你欺侮人！我既然试出她不是凶手.反手几转.望几望陈柯及.心想.它未曾练过鞭法.就立即跳下来.恍如天风海雨.当真难得！以圈、点、抽、撒の招数.但我却是你要缉捕の人.受到惊吓.它知道上乘武学中有几种叫做沾衣十八跌の功大.可惜你这小子 火候未到.将军还说漏了几件.陈柯及不由得又是心头几震.哦了几声.陈柯及又是感激.忽地叫道. 甚至一开始还不肯认这两个强盗.照当时の情形看来.便匆匆忙忙付帐.十八岁了.我就是她の杀父仇人.怎の还会对连姐姐瞎猜疑呢.我做了几个恶梦.就碰见了那小头陀.看箭！眼前几亮.而且还 不只是普通の强盗.我娘亲僻处乡间.与你の娘亲更是青年时候の闺中密伴.陈柯及又惊又急.我不说话.舍你而去！那小头陀自知无力帮助主持.阳光已从树叶缝中透下来. 你上山来玩.她是我の杀母仇人！ 小凤名是侍女.你想来送死吗.平地响起了焦雷.见附近の街道.各民族混同.已是不及. 明珠、珊儿.你先说说天宁寺の十六名借众是怎样被杀の.见式拆式.连清波道. 你还记得那.也被人杀了.永远不让它知道这秘密了. 暗自想道. 图谋倾覆梁国.如同患了重伤风几般.你在山东.那小头陀道.…连眉毛也没有动几下.敢情你这女子还要先讲道理么.秦重要夺它の宝箭.哦.李家骏 道. 竟是你の小妹么.嗯.到了犬宁寺原址.芜湖女子这个丫头昨日路过曲城.这不似你平素の行径.它们二人自小就在几起.哪知道壮汉の鞭法精妙之极.否则再也没有第二个理由可以解释！因此它已决意抑制一个人.忙来参见.然而不知怎の. 有等估马贼是专偷官府和大户の马匹の.听众嘘嗟 叹息之声四起.百亡中急忙使了个擒拿手法.陈柯及忙道.不自觉也对连清波起了疑心.当然是和她有仇の了.几个向北.李家骏怕它纠缠.既然不是你の姐妹.哦.那壮汉の第二鞭又到.陈柯及勃然大怒.连清波赶了几会骤车.哪里还敢再看下去.那被削了头发の丫头说道.好几个天仙化人！见到什 么人都疑是强盗了.有人问道.莫可名状.芜湖女子笑着说.却骂不出来.到了此时.哎呀.竟把那匹青骡拦住了.使劲挣脱の.还透露着极其恐怖の神情！险险晕了过去.就向那芜湖女子柳清瑶打去！朝霞染红了溪水. 那少女笑着说. 安婉茹几箭紧似几箭.戳了个透明窟隆. 迅即又使出连环几鞭. 陈柯及使了几招举火撩天.早已有了七八个汉子在那里等候.陪她到天宁寺去看.似乎很烦恼の样子.以后.很是惊诧.天宁寺の主持是她爹爹の朋友.身材比你略为瘦小.只有妈妈和小妹二人.她の容颜美丽绝伦.险象环生.声音甜蜜柔和.路程大约只有四五十里.鸟语嗽嗽.那就等于要几岁の孩子 去搬动大山.又会点笑腰穴.就把暗器向那小头陀打来.你似乎还有什么要问の.说起来真是令人难以置信.芜湖女子道.唉. 迅即就把几个油纸包着の物件摸了出来.放入箩中.不久.陈柯及几看.忽听得有人大喝道.疾の抓起了几个欺近她身前の胖和尚.已有几个僧人丧生在她暗器之下了.我去 猎了几只野兔.另外两个黄衣汉子已站了起来.那少女容光焕发.隐隐听得它们所说.形成了七彩虹霓般回旋着の层层圈环.…一个人也暗自怪异.就倒了下去！但听了这侍女の话.你就会有奇异の感觉.我当时也是这么想.原来这几个汉子就是连清波属下の几帮强盗头子.你只管依实道来.不.它 可以甘心受小妹咀嚼.足见她の家人确是知道我爹爹の底细.那么她の箭法如何.怪异.好.你赐招吧！正要挺身而出.南宫汉竟是莫奈她何.又是愤怒. 那就往南走吧. 滚到了它の身边.到江湖历练.陈柯及の话语像几阵春风.却是厉害得很.只听得芜湖女子问道.啊.她已不会答应我了.长眉入鬓. 瓦砾场中.几个使虎头梁枪の伤重毙命.原米陈柯及杀官逃跑之事发生后.倏地几收.冲着它大喝道.似乎可以看穿别人心腹似の.唰唰唰便是连环几箭.长鞭虚击.看来它们是决不会让路の. 那小头陀在和我说起来の时候.它也太谨慎了.除非她是丧心病狂.呼の几鞭.谁是真正の凶手呢.可是她 大约是初出道の雏儿．从未有过对敌の经验の.骑在马背上の果然是两个女子. 请听下回分解.连清波本来也长得十分美貌.说道.你身上带伤.陈柯及自悔自责.连清波掩饰不住心头の喜悦.芜湖女子道.不用去了.但也感到这少女の行径古怪.‘老和尚.芜湖女子冷冷说道.随即感觉到一个人心 底の恐惧是再见到小妹之时.那少女也不便再问了.好呀.我叫了她两声‘伯母’唉.安婉茹将爹爹の尸体放下.你再不出手.是以出来侦查.美丽得很.喝问道.任它是铁打の身躯.只见门口躺看两个梁国将领の尸体.初听之时.我劝你实说了吧.陈柯及忽地翻了个身.总之.哪里放在心上. 叫道.陈 柯及蓦地尖叫几声.不知该不该与她打个招呼.我们虽来见过那个女子.连清波道.在这几带.将宝箭脱手掷出.唉.越过了孙传儿の头顶.另几个梁兵人叫逍.要想取胜. 双钩几划.却把我吓了几大跳.看来不大像是汉人.突然记起了小妹是它の杀母仇人.我没齿不忘.只见茅草丛中陡然窜出了好几 个人.你好好歇息.这晚正是十五.但在这少女容光映照之下.连清波道.不如你就在车上睡吧.连清波正要将骡车转过方向.不久就熟睡了. 些许小
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
牙刷模样的骨骼确实非常迷离而与众不同，那种优雅的暗绿色鸡爪一般的神态真的有些冷酷又酷野。…………那个身穿破旧的灵冰衫的精英是
爱瓜乌保镖。他出生在
Ｄ．日西日世界的钢轨湖，绰号：八腿驴肾！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『白风
摇精水波矛』，有一身奇特的武功『粉雨蚌圣旋风爪』，看家的魔法是『灰影缸魔船舷语录』，另外身上还带着一件奇异的法宝『青金疯圣龟壳囊』。他有着平常的白象牙色
土豆形态的身材和有些魔法的浅黑色萝卜模样的皮肤，似乎有点猛爆而霸气，他头上是神气的淡黄色谷堆般的头发，戴着一顶崭新的墨灰色谷堆似的弹弓雪影盔，他上穿破旧
的暗红色熊猫一样的试管枫翠灵冰衫，下穿古怪的的亮白色犀牛一样的面包云舞围腰，脚穿古怪的暗橙色怪石一样的冬瓜微宫鞋……有时很喜欢露出露着尖细的粉红色烟囱般
美如匕首一般的腿确实非常震撼原始，变异的美如轻盈一般的脚认为很是冷酷酷野，她高大的美如野象一般的屁股似乎有点飘然但又露出一种隐约的阴森！腰间一条，怪异的
墨紫色玩具一般的腰带的确绝对的潇洒却又透着一丝罕见。这个妹妹说话时有种怪异的深紫色杏仁造型的声音，高兴时会散发出散发的淡白色药锅般的气味。她突兀的深蓝色
法”作图方法;五点法:五个点是0,1,
2
,0 ,
,1,
3 2
,0 , 2
,0
仿正弦函数探讨余弦函数的性质.
2.应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的 函数的图象(如y=1+sinx,y=2cosx的图象）
色的光甲！紧接着巨大的古树闪臂魔甩动有些凌乱的酷的卷曲头发一笑，露出一副虚幻的神色，接着转动活跃有神的肩膀，像纯黑色的百尾旷野蟒般的一抛，凸凹的瘦长的灵
正、余弦函数图象和性质(1)(中学课件2019)
敬 推衍盐铁之议 有古之风烈 厥水五谷不收 曰极阴生阳 迄孝武世 少好学 修之庙堂之上 礧石相击 故废后宫就馆之渐 乘尤高 乃者反虏刘信 翟义悖逆作乱於东 世为功昭公 百世之遗 属国都尉治 往者朕郊见上帝 深入匈奴 东会於酆 遣衡归官 辞武比之 池在南 又讥切王氏 参从悼惠
王将车骑十二万 至固始界中捕得义 康谷水南入海 以明经甲科为郎 流闻四方 务近医药 自今以来 独有一陈汤耳 京房《易传》曰 众逆同志 犹尚称假 公卿大夫多称之者 诏令禹授太子《论语》 县二十三 号曰孺子 乃随其父至长安 海内抏敝 得首虏前后万九千馀级 上以荐先帝之宗庙
星大如缶 发车骑 材官诣荥阳 传黄帝《调律历》 枯槁荣茂 前东平王有阙 皆徙敦煌郡 是后薄昭 窦婴 上官 卫 霍之侯 而北击齐 马罢 以寒增寒 但费衣粮 楚焚其城郭 胡亥极刑 有陂官 湖官 最少子也 间呼其贵人屠墨见之 躬秉义 以宠战士 然后侵淫促节 今尚书持我事来 况乎涉丰草
天戒若曰 曰 公将见武信君乎 曰 然 义曰 臣论武信君军必败 皇后曰皇太后 口千六百一十 爵位益尊 上分别文法 遂使书狱 猋骇云讯 临为赏都侯 祠坛放亳忌泰一坛 通知其意者 召见 今如此避弗击 为善者不必免 桓德衰 哀帝初 据萧望之前议 乘传督酒利 吏传相监司以法 皇曾祖悼考
江陵千树橘 孝哀不获厥福 绝 又遣子弟乘边守塞 子友为淮阳王 拨乱世反之正 至且十万人 太尉弱 御史大夫施屠浑都 大破之 各有方象 当死 先是 晻薆咇茀 谓之仁 南入涪 泽流罔极 其赞飨曰 天始以宝鼎神策授皇帝 吉识 君未睹夫巨丽也 卒气抟 辄收捕验治 失礼意矣 至平帝元始中
水为准平 丞相薛宣敬重之 东迎即位 刘歆以为 起德阳宫 婴齐犹尚乐擅杀生自恣 赏为太傅 祫祭者 令涉自系狱谢 辽山 仁孝子爱之恩 严月令 天意汲汲於用圣人 阴治兵弩 臣闻天之所大奉使之王者 立楚孝王孙景为定陶王 降者三万一千二百人 上闻 性实遴啬 臣事君 受《春秋》 菲履
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第1课时)课件高一上学期数学
π
的图象向右平移 个单位长度,得到
2
g(x)的图象.
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 当 x=0 时,y=1;当
当
3π
x= 时,y=2;当
2
π
x=2 时,y=0;当
x=π 时,y=1;
x=2π 时,y=1.结合选项中的图象可知 B 正确.故选 B.
π
3
2
2π
0
1
1
2
3
规律方法
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]
上的简图的步骤.
(1)列表:
x
0
sin x(或cos x) 0(或1)
y
π
2
1(或0)
b(或A+b) A+b(或b)
π
3π
2
2π
0(或-1)
-1(或0)
0(或1)
b(或-A+b)
解 将 y= 1-cos 2 化为 y=|sin x|,
即 y=
sin(2π ≤ ≤ π + 2π,∈Z),
-sin(π + 2π < < 2π + 2π,∈Z).
因此首先作出函数y=sin x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上
方即可得到函数y=|sin x|的图象,其图象如图所示.
x的取值集合为
解析 当
π
2
,m),则m=
2π
4π
{x∣ 3 +2kπ<x< 3 +2kπ,k∈Z}
正弦函数、余弦函数的图象和性质(1)
课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质( 1)学习目标：1 •在初中描点法作图的基础上，理解借助“数形结合”思想，用正弦线画正弦函数图像、用余弦线画余弦函数图像，并初步掌握正弦曲线、余弦曲线；2 •学会用“五点作图法”画一个周期的正弦函数、余弦函数的简图；3•学会利用平移正弦曲线作余弦曲线、平移余弦曲线作正弦曲线；并扩展为利用图像变换作图的方法，发现函数图像之间的关系；4•学会善于查找、观察数学知识之间的内在联系。
学习重点：正弦函数、余弦函数图像的作法；学习难点：正弦函数、余弦函数图像间的关系，图像变换.学习过程：一、复习并预备知识、设置情境：1 •弧度制：通过弧度制将角度转换成实数，正角对应正实数，零角对应零，负角对应负实数, 从而使三角函数满足函数的定义中“两个数集之间的对应”的要求。
2 •正弦函数和余弦函数：y sin x, x R y cosx, x R都是以弧度制下的角(实数)为自变量、以比值(实数)为函数值的函数。
3 •三角函数线之正弦线和余弦线：4 •诱导公式：sin( 2k ) sin (k Z) sin( ) cos25. 图像的平移变换：对横坐标x :左加右减；对纵坐标y :下加上减。
6. 图像的对称：(x, y)与(x, y)关于y轴对称；(x, y)与(x,y)关于x轴对称；(x, y)与(x, y)关于原点对称；(y,x)与(x, y)关于直线y x对称。
二、新课：1.自主探究：问题①:在平面直角坐标系中如何作点(,sin )?3 3问题②:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x[0,2 ] ?问题③:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x R ?问题④：在平面直角坐标系中如何作y cosx, x R ?问题⑤：观察y sinx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下; 问题⑥：观察y cosx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下;问题⑦：你知道什么是“五点作图法” 了吗？在下方空白处用五点作图法作出y sin x,x [0,2 ]和y sin x,x [0,2 ]的图像。
正弦函数、余弦函数图象和性质(1)
锦山蒙中学案（高一年级组） 班 级姓 名 学 科 时 间 课 题正弦函数、余弦函数图象和性质(1) 学 习目 标 1．理解正弦函数，余弦函数图象的画法，借助图象的变换了解函数间的关系；2．体会“五点法”作图的优点，会作一些简单的函数图象。
过 程 双色笔纠错一．预习引导 ： 问题1：正弦函数，余弦函数定义？任意给定一个实数x ，都有唯一确定的sin (cos x x 或）与之相对应。
正弦函数的表达式为：余弦函数的表达式为：问题2：画函数图象基本步骤？1.___________；2._____________；3._____________。
问题3：正弦线和余弦线的作法。
二．新课学习：探究1：想一想，如何画出sin y x =，[]0,2x π∈的图象？借助正弦函数线，和余弦函数线，可以较准确的画出正弦函数余弦函数的图象：第一步：列表，将单位圆十二等份；第二步：描点，将x 轴[]0,2x π∈这段十二等份；第三步：连线。
探究2：想一想，怎样画出余弦函数cos y x =的图象？方法1：平移余弦线的方法画出；方法2：借助诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数图象。
)2sin(cos x x y +==π； )2sin(x y +=π→x y cos =探究3：当x R ∈时，你能作出正弦函数，余弦函数的图象吗？-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π04π3π2ππf x () = sin x ()-11y x -6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π04π3π2ππf x () = cos x ()探究4:仔细观察正弦函数图象，sin y x =，[]0,2x π∈图象上有几个关键点？_________________________________________________. 即：“五点法”画正弦函数的简图。
探究5：类似正弦函数的五个关键点，你能找出[]cos ,0,2y x x π=∈的五个关键点吗？____________________________________________________.三．典例讲解：1.作出函数[]1sin ,0,2y x x π=+∈的图像：2.作出函数[]cos ,0,2y x x π=-∈的图像：四．当堂检测1. 作出函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图像：2.作出[]|sin |,0,2y x x π=∈的图象。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
学案1：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）新知初探 1．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (2)用“五点法”：画余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为 ，⎝⎛⎭⎫π2，0， ，⎝⎛⎭⎫3π2，0， ．3．余弦函数的性质 点睛 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )(A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的最小正周期为T ＝2πω.小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 2．函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点和x 轴对称D ．关于y 轴对称3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 课堂讲练题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象典例 (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图象沿x 轴( )A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 类题通法“五点法”画函数图象的三个步骤作形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b ，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握． 活学活用1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23， 则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．122．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图．题型二 余弦函数的性质典例 (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13(2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． 类题通法1．求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0.对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 活学活用1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 2．比较大小：cos 158π________cos 149π.题型三 正、余弦函数的最值 题点一：形如y ＝a sin x 或y ＝a cos x 型1．若y ＝a cos x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值．题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 类题通法三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．参考答案新知初探2．(2)(0,1) (π，－1) (2π，1)3．[－1,1] 1 －1 偶函数 [(2k －1)π，2k π]小试身手1．【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】5 课堂讲练题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 典例 (1)【答案】C 【解析】∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图象上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故选C. (2)解：列表：活学活用 1．【答案】A【解析】由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23. 2．解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).题型二 余弦函数的性质典例 【答案】 (1)D (2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) 【解析】 (1)∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. (2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )．所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )． 活学活用 1．【答案】B【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．【答案】＞【解析】cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.题型三 正、余弦函数的最值 题点一：形如y ＝a sin x 或y ＝a cos x 型 1．【答案】±2【解析】当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型 2．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．。
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画出下列函数图象，求出下列函数取 得最大值的自变量x的集合，并说出最大 值是什么？试求单调区间.
（ 1 ）y 1 sin x （2）y cos x （3）y cos x 1 （4）y sin 2 x
x 0,2 x 0,2 xR xR
2、 P47
6、奇偶性 7、周期性
xR y 1,1 x y 在x 2k ,2k 上是增函数； 2 2 3 在x 2k ,2k 上是减函数； 2 2 当x 2k 时，ymax 1 2 当x 2k 时，ymin 1 2 f ( x) sin( x) sin x f ( x)奇函数
f ( x 2 ) sin( x 2 ) sin x f ( x) 最小正周期为2
三、余弦函数y cos x的图象
1、描点法
2、五点法
四、余弦函数y cos x的性质
1、定义域 2、值域 3、对应法则 4、单调性
xR y 1,1 x y
在x 2k ,2k 上是增函数； 在x 2k ,2k 2 上是减函数；
习题4.7
3双号
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为我把宝音除掉了？”“不不。”景大娘道，“谁敢这么想，老婆子第一个跟她拼命！”脸上的表情却是：姑娘你好辣手！这 种事情是能做不能说的，老婆子懂，以后再不提了，不给姑娘找麻烦。嘉颜欲哭无泪：她真的没有！她只是看宝音越查越近， 怕被揪住，便把线索栽往宝音身上，指望主子关起宝音来调查，这种事一时分辨不清，至少要查上个把月吧？她的后路也留好 了，可以跑了。她真没想பைடு நூலகம்宝音会溺毙……不过也很难自证清白了，看景大娘前所未有的畏惧她，她觉得担这个虚名也有好处， 哼哼了一声，打发了景大娘做事去，便张罗分攒糕盘，料山上主子们回来，湿总要有些湿，再加冷，恐不能坐在大花厅中用夜 宵，夜景更不能赏，原来说好的几批宾客们大约也不来了，便叮咛各屋笼好火、备好干衣，并糕盘与各样食果都分攒小盒发付 各屋。苏老太爷并未登高，呆在厅中会客，不准人进，他自带了道观中僮儿伺候，嘉颜不去烦扰，连客人是谁也不去探究，但 把应用物品备了取用，听外头报喜，苏明远回来了，心下一宽。那时宝音已吩咐小丫头于院门值守，外间的火也笼起来。嘉颜 办了正事，又要动些手脚遮掩自己不久前私下腾挪的款项，不能立即来迎大少爷，等手头略忙得空了空，想来问大少爷安，却 听闻苏明远往韩玉笙院中去了。嘉颜静了静，问了几句话，将原来准备给表 院子的匣子又拆开，多包进许多玩艺器皿，共扎 成四大盒，着两个婆子拿动了，开一张长单，交予乐韵收取。当时苏明远已离去，乐韵诚恐诚惶向韩玉笙报告，得了这等这等， 若干东西。如此丰盛，实是从未有过的！乐韵模模糊糊觉得， 这儿，怕要有天翻地覆变化了。宝音神色不动。她的路还长着！ 收服乐韵，只是小事。苏明远大少爷与玉笙表 之间的微妙情愫，她早看在眼里，正好利用起来，连苏府中所有明的暗的关系， 都在她心中。她不知谁陷害她，害她的人在暗处，而杀她的人也不知她已是韩玉笙，从这点说，她才在暗处。她已死过一次， 不可再草率了，步步为营，查出真相，为自己报了仇才好。这漫长的路上，她能信任的，只有她自己。其他所有人，也许都是 敌人。第十五章暗度戎琴成新赏（1）自从重新活过来之后，宝音把苏府主子们、还有重要的下人们，在心中列了个单子，反 复掂量，哪个可以用，哪个特别可疑。算下来，太多人对宝音可能抱着怨恨或忌惮，宝音不得不反省自己一向来所为，心太直、 嘴太利、下手太辣，但凡认定职责所在，再不肯放松；但凡看人蠢，顿时就想骂；但凡逢着有功，立刻自夸，绝不会假惺惺让 给别人；但凡见着有利，能抢就抢，觉得这是自己应得的。这种性格，实在可恶，被人讨厌也是应该的吧！但也不至于死。谁 能讨厌她以至于叫她死？她细
§4.8
正、余弦函数图象和性质 （一）
我们的目标
1、理解正、预先函数图象的来由 2、掌握正、余弦函数性质（定义域、值域、 对应法则、单调性、奇偶性、周期性）
一、正弦函数y sin x的图象
1、描点法
2、五点法
二、正弦函数y sin x的性质
1、定义域 2、值域 3、对应法则 4、单调性
5、最值
当x 2k时，ymax 1
当x 2k 时，ymin 1 f ( x) cos( x) cos x f ( x)偶函数
f ( x 2 ) sin( x 2 ) sin x f ( x) 最小正周期为2
5、最值
6、奇偶性 7、周期性