2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质练习 文 苏教版

第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质1．(2019·南京模拟)椭圆x 225＋y 29＝1的离心率是________．[解析] 由椭圆方程可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45．[答案] 452．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程x 2m ＋12＋y 2m 2＋m＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为方程x 2m ＋12＋y 2m 2＋m ＝1表示双曲线，所以当焦点在x 轴上时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋12>0m 2＋m <0，解得－1<m <0；当焦点在y 轴上时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋12<0m 2＋m >0，解得m <－1．所以实数m 的取值范围是m <－1或－1<m <0． [答案] (－∞，－1)∪(－1，0)3．(2019·南京、盐城模拟)若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则a ＝________．[解析] 双曲线x 2－y 2＝a 2的右焦点的坐标为()2a ，0，抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，从而2a ＝1，故a ＝22． [答案]224．(2019·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以直线y ＝±2x 为渐近线，且经过抛物线y 2＝4x 焦点的双曲线的方程是________．[解析] 因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x 轴上，故可设所求双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．又双曲线的渐近线为y ＝±2x ，故ba＝2．即所求双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1．[答案] x 2－y 24＝15．(2019·镇江期末)若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是________．[解析] 不妨设焦点为(c ，0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，故14(2c )＝bc a 2＋b 2＝bc c＝b ，即c ＝2b ，从而a ＝c 2－b 2＝4b 2－b 2＝3b ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ．[答案] y ＝±33x 6．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，若C 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC ＝OF ，AB ∥OC ，则该椭圆的离心率为________．[解析] 设点C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 20＝c 2y 0x 0＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ac a 2＋b2y 0＝bc a 2＋b 2，代入椭圆方程得a 2c 2a 2＋b 2a 2＋b 2c 2a 2＋b 2b2＝1，整理得2c 2＝a 2＋b 2，又a 2＝b 2＋c 2，故2c 2＝a 2＋a 2－c 2，所以e 2＝23，又0＜e ＜1，故e ＝63． [答案]637．(2019·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为______．[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，右准线方程为x ＝a 2c，联立可求得两交点的纵坐标为±ab c ，所以△AOB 的面积S ＝12×2ab c ×a 2c ＝ab 4，得c 2a 2＝4，e ＝ca＝2．[答案] 28．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．[解析] 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2． 又F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1 ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1．由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－349．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知抛物线的方程为y 2＝4x ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3，O 为坐标原点，则△AOF 的面积和△BOF 的面积的比值为________．[解析] 易知F (1，0)，不妨设A 在第一象限，B 在第四象限．因为|AF |＝3，所以x A ＋1＝3，解得x A ＝2，代入抛物线方程可得y 2A ＝4×2，得y A ＝22，所以直线AB 的方程为y ＝22－02－1(x －1)，即y ＝22x －22．联立⎩⎨⎧y ＝22x －22y 2＝4x，消去x 得，y 2－2y －4＝0，所以22y B ＝－4，解得y B ＝－2，所以△AOF 的面积和△BOF 的面积的比值为|y A ||y B |＝2．[答案] 210．(2019·南京模拟)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )．当m ＋n >0时，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 设F 、B 、C 的坐标分别为(－c ，0)，(0，b )，(1，0)，则FC 、BC 的中垂线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c 2b ．m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c 2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，即(1＋b )·(b －c )>0，所以b >c ．从而b 2>c 2，即有a 2>2c 2，所以e 2<12．又e >0，所以0<e <22． [答案] 0<e <2211．(2019·扬州期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．[解] (1)证明：右准线为x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝bax ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，又F (c ，0)，所以k PF ＝ab c －0a 2c－c ＝－ab ，又因为k l ＝b a ，所以k PF ·k l ＝－a b ·b a＝－1， 所以PF ⊥l ．(2)因为PF 的长即F (c ，0)到l ：bx －ay ＝0的距离， 所以|bc |a 2＋b 2＝3，即b ＝3，又e ＝c a ＝54，所以a 2＋b 2a 2＝2516，所以a ＝4，故双曲线方程为x 216－y 29＝1．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． [解] (1)设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1． (2)由(1)知，F 1(－1，0)，F 2(1，0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点，故x 0>0，y 0>0． 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符， 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1． 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程：y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程：y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0． 因为点Q 在椭圆E 上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1．又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫477，377．13．(2019·南通市高三第一次调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．[解] (1)由题意得，c a ＝22，a2c－c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝1． 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP2＋1OQ 2＝1．当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1．因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2．所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1．综上可知，1OP2＋1OQ 2＝1．14．(2019·江苏名校高三入学摸底)为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正西方向和正东方向设立了两个观测站A 、B ，它们到平台O 的距离都为5海里，并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域．(1)建立适当的平面直角坐标系，求禁航区域边界曲线的方程；(2)某日观察员在观测站B 处发现在该海上平台正南103海里的C 处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏东30°方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中航行的时间．[解] (1)以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．依题意可知，禁航区域的边界是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝20c ＝5a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝10，b ＝53，所以禁航区域边界曲线的方程为x 2100＋y 275＝1．(2)由题意得C (0，－103)，所以轮船航行直线的方程为y ＝3x －103．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －103x 2100＋y 275＝1，整理得x 2－16x ＋60＝0，则Δ＝(－16)2－4×60＝16>0，方程有两个不同的实数解x 1＝10，x 2＝6，所以轮船航行直线与椭圆有两个不同的交点，故轮船会驶入禁航区域．设交点分别为M ，N ，不妨取M (10，0)，N (6，－43)，易得轮船在禁航区域中航行的距离为|MN |＝（10－6）2＋[0－（－43）]2＝8(海里)，所以航行时间t ＝88＝1(小时)，所以该轮船在禁航区域中航行的时间是1小时．。