矢量场环量强度方向特性的一种证明过程_徐慧婷

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矢量函数的一阶近似展开
下面， 我们通过一阶泰勒展开方法获得矢量场 F 在点 P1 ， P2 ， P3 及 P4 处的近似值。 矢量场 F 在点 P1 处的值的分量表达式为 F （ P1 ） = F x （ P1 ） e x + F y （ P1 ） e y + F z （ P1 ） e z （ 3 ） 假设 e t1 = cosα t1 e x + cosβ t1 e y + cosγ t1 e z 由此可见， 点 P1 的坐标可以写成 x+ a a a cosα t1 ， y + （ ） cos β t1 ， z + （ ） cos γ t1 2 2 2
0510 ； 修回日期： 20121128 收稿日期： 2012-
基金项目： 华北电力大学教学改革重大项目 基于创新型人才培养体系下的工程电磁场教学体系的研究（ X10062 ） ）， Email： 470780869@ qq． com 作者简介： 徐慧婷（ 1991女， 在读本科生， 研究方向为电气工程及其自动化， ） ： 男， Email： cqjiao@ ncepu． edu． cn 焦重庆（ 1981博士， 副教授， 主要从事电磁场和电磁兼容的研究教学工作，
如图 1 所示，ABCD 四点连成一个正方形。 点 P 为正方形的中心点， P2 ， P3 及 P4 分别为正方 点 P1 ， 向的四条边的中心点。 e n 为一单位矢量， 其方向满 足与正方 形 所 在 的 平 面 垂 直， 并与有向闭合路径 ABCDA 成右手螺旋关系。e t1 为点 P 到点 P1 的连线 e12 为点 P 到点 P2 的连线方向的 方向的单位矢量， y， z） ， 单位矢量。此外， 我们假设点 P 的坐标为 （ x， 正方形的边长为 a。 按照环量强度的定义， 矢量场 F 在点 P 处沿法 向方向 e n 的环量强度可表示成 fot n F = lim（ Γ / a ）
［25 ］
。方式②以 “高等数学” 课程中已证明的斯托克
图1 环量强度推导示意图
斯定理为基础（ 该定理的证明不需要借助旋度的概 念） ， 通过该定理将环量强度定义式中的环路积分 转换成面积分， 进而可直接得出环量强度的表达式 ［67 ］ 。 和方向特性 从理解上来说， 方式②是一种不错的选择， 只不 过它与电磁场教材中更偏好的“环量—环量强度— 旋度—斯托克斯定理 ” 逻辑顺序， 即把斯托克斯定 理当作旋度的后续导出内容的逻辑顺序相背而已 。 笔者认为， 从环量强度的定义式中难以直接看 如果仍要在 出环量强度具有上述方向特性。 因此， 形式上坚持从旋度到斯托克斯定理的逻辑顺序 ， 就 有必要给出一种关于环量强度方向特性的解释或证 明过程， 能从环量强度的定义出发导出任意法向方 向下环量强度的表达式。 一旦得出了该表达式， 方 向特性也就不言而喻。这类似于从标量场方向导数 的定义式出发， 导出任意方向的方向导数， 从而发现 方向导数的方向特性并进而引出梯度的概念 。 本文直接从环量强度的定义式出发， 针对任意 给定的法向方向， 通过构造正方形回路详细推导了 环量强度的表达式， 从而得出环量强度的方向特性 和旋度的概念。本文可当作一道综合性较强的矢量 分析和场论习题。
旋度， 并记成 × F@ （ F x ） × e x + （ F y ） × e y + （ F z ） × e z （ 17 ） 我们从上式不难得出旋度在直角坐标系下的表 达式： ×F=
y
3 环量强度的计算公式
正方形 ABCD 的四条边矢量可以分别写成 AB = ae12 ， BC = － ae t1 ， CD = － ae t2 ， DA = ae t1 （ 11 ） （ 11 ） 代入式（ 2 ） 整理后得到 将式（ 7 ） 2 Γ = a e x * { [ （ F x ） * e t1 ] e t2 － [ （ F x ） * e t2 ] e t1 } + a e y * { [ （ F y ） * e t1 ] e t2 － [ （ F y ） * e t2 ] e t1 } +
Abstract ： In some Electromagnetic Field textbooks， the introduction of curl is based on the directivity of circulation intensity，which means that circulation intensity under any given normal direction can be expressed as the scalar product between a vector （ that is，the curl） and the unit vector in the normal direction． However，there is usually no enough explanation on the validity of the directivity characteristics． Beginning from the definition of circulation intensity，we present a detailed deduction procedure of the expression of circulation intensity under any normal direction by using a square integral path，and then verify the validation of the directivity characteristics． This work provides students a feasible mathematical approach to understand the directivity characteristics，and can also be treated as a comprehensive exercise for vector analysis and field theory． Keywords： electromagnetic field； curl； circulation intensity； vector analysis 理。其中， 比较关键的就是环量强度的方向特性 ： 环 量强度可以表示成某一待定矢量 （ 即后来的旋度 ） 与环路法向单位矢量的点积。环量强度与旋度的关 系类似于方向导数与梯度的关系 。 ， 《电磁场 》 在环量强度的方向特性上 教材上主 要有两种论述方式： ① 直接陈述， 不加以证明； ② 以 斯托克斯定理为基础。 具体来说， 方式①并没有证明方向特性， 而是以
a→0 2
（ 6 ） 代入式（ 3 ） 中， 将式（ 4 ） 便得到了 F （ P1 ） 相 对于 F（ P） 的展开式： F（ P1 ） = F（ P） + （ a /2 ） { [ （ F x ） * e t1 ] e x + （ 7） [ （ F y ） * e t1 ] e y + [ （ F z ） * e t1 ] e z }
Proof for the Directivity of Circulation Intensity of Vector Field
XU Huiting，JIAO Chongqing
（ School of Electrical and Electronic Engineering，North China Electric Power University，Beijing 102206 ，China）
式中，Γ 为矢量场 F 沿闭合路径 ABCDA 的环量。 由于环量强度是在闭合路径不断向点 P 收缩 因 的情况下环量对路径包围面积的比值的极限值 ， 此在后续的推导中， 可以假设边长 a 是一个很小的 量， 从而可以认为各条边上的矢量场值分别近似与 其中心点处的矢量场值相等。 进而， 式 （ 1 ） 中的环 量 Γ 可变形成 Γ≈F （ P1 ） * AB + F （ P2 ） * BC + F （ P3 ） * CD + F（ P4 ） * DA ， “* ” 式中 代表矢量的点积运算（ 下同） 。 （ 2）
第6 期
徐慧婷，焦重庆： 矢量场环量强度方向特性的一种证明过程
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方向特性为已知来引出旋度并求解旋度的表达式 ： 在直角坐标系下， 分别考虑与三个坐标轴相垂直的 三个微小矩形回路， 依据环量强度的定义分别求出 上述三个特殊矩形回路下的环量强度 。这三个环量 强度可以分别看成旋度在三个坐标方向的三个分 量， 或者说， 将这三个分量组合成的矢量便是旋度
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Байду номын сангаас
( Fy － Fz ) e + ( Fz － Fx ) e + ( Fx － Fy ) e
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概念
引言
旋度是 “电磁场 ” 课程中一个非常重要的基本
［1 ］
。由于定义比较抽象且数学描述复杂， 旋度
“电磁场 ” 这一知识点属于 课程中的难点内容之一。 ， 《电磁场 》 通常 教材引入旋度的逻辑顺序为： 矢量 场的环量（ 闭合曲线积分 ） —环量强度 （ 或环量面密 度） —环量 强 度 的 方 向 特 性—旋 度—斯 托 克 斯 定
（ 1）
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电气电子教学学报
第 34 卷
P3 及 P4 处的值分 同理， 可得矢量场 F 在点 P2 ， 别为 F（ P2 ） = F（ P） + （ a /2 ） { [ （ F x ） * e12 ] e x + （ 8） [ （ F y ） * e12 ] e y + [ （ F z ） * e12 ] e z } F（ P3 ） = F（ P） － （ a /2 ） { [ （ F x ） * e t1 ] e x + （ 9） [ （ F y ） * e t1 ] e y + [ （ F z ） * e t1 ] e z } F（ P4 ） = F（ P） － （ a /2 ） { [ （ F x ） * e t2 ] e x + （ 10 ） [ （ F y ） * e t2 ] e y + [ （ F z ） * e t2 ] e z }