矢量场的环量和旋度
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环量密度和旋度
环量密度和旋度是流体力学和矢量场理论中的重要概念，它们与流体的旋转性质紧密相关。
环量密度通常指的是单位面积上的环量，也就是旋度。
而旋度是一个矢量场在某一点附近的微元区域内旋转程度的度量。
具体来说：环量：在流体力学中，环量是指沿着某一闭合路径上流体速度矢量与路径切线方向的点积沿该路径积分得到的值。
它能够描述流体在该路径环绕区域内的旋转特性。
环量面密度：当考虑一个有限大小的区域时，可以将环量除以该区域的面积来得到环量面密度，这反映了单位面积上流体的平均旋转情况。
旋度：在矢量分析中，旋度则表示一个点的周围流体的局部旋转程度。
它是通过取环量面密度在三个坐标平面上的极限并转化为一个点的量来定义的。
因此，旋度可以视为将环量“缩放”到一个点上的结果。
此外，如果一个矢量场在某一点的旋度不为零，那么表明该点附近存在涡旋或旋转现象。
例如，将桨轮放入水流中，如果桨轮转动，那么说明水流在该点具有旋度。
综上所述，环量密度和旋度都是描述矢量场特别是流体旋转特性的物理量，它们在气象学、航空航天以及各种涉及流体运动的工程问题中都有重要应用。
13矢量场的旋度
证明： A dS A dl
S
C
将 S 分成许多面元 S1,S2,Si , 其相应面元的边界为 C1,C2,Ci
对每一个面元 Si，其边界Ci 的环绕方向
均取与大回路 C一致的环绕方向。
则：相邻两面元 Si 、S j的边界 Ci 、C j
在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。
1.3 矢量场的旋度
１.３.１、矢量场的环流（环量）：
A线
1 、定义：
A
量在矢A量沿A某的一场闭中合，路矢径
的线积分，称为该矢量
dl
环量是一个标量；
沿此闭合路径的环流。
可正、可负。
A dl Acosdl
C
C
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1
2 、有旋场、无旋场（保守场）：
在某一矢量 A的场中， 矢量 A 沿任意闭合路径的线
积分，恒等于零，则该矢量场
为无旋场，在曲线Ｃ内没有产 生矢量场 A 的旋涡源；反之， 为有旋场，在Ｃ内必然有产
生矢量场 A 的旋涡源。
A dl Acosdl
C
C
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A线 A
dl
2
１.３.２、矢量场的旋度：
故
rotA A
x y z
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Ax Ay Az
6
例点：M求（矢1，量0场，A1 ） ex处x(z的 旋y) 度ey及y(x沿 zl)
ezz(
y
x)
2ex 6ey
在
3ez
方向的环流密度。
旋度
□F dls F ds J x, y,z ds
ls
s
s
□Fdli＝rotF nˆisi □Fdls rotF ds
i li
i
ls
s
旋度的定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包 含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：
z
lim □ rotF nˆ s01 slFdl
Max
y
x
1.4.4 旋度的公式
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
□ □ □ rotF
eˆx
lim
syz 0
1 s yz
lyz
F dl
eˆy
lim
sxz 0
1 s xz
lxz
F
dl
eˆz
lim
sxy 0
1 s xy
lxy
Fdl
eˆxrotFeˆxeˆy rotFeˆy eˆzrotFeˆz
z
eˆx
rotF eˆx
Fyy | z z
Fy
y
|
z
z
2
2
Fz
z
|
y
y
2
Fyz
|y y
B(x, y,z)dl 0I 0J(x, y,z)ds
L
S
1.4.1 旋度的公式
矢量场对于闭合曲线 L 的环量定义为:
□ F
L
x,
y,
z
dL
0 0
1 如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称
该矢量场为无旋场，又称为保守场。
2 如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，
矢量场旋度
第一步：源点固定， 是场点的函数， 第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点 求梯度用 r表示，则有 表示，
场源点
r
场点（观察点） 场点（观察点）
x′
o 坐标原点
x
r r r r = ex + ey + ez x y z
而
r 1 = ( x x ′) 2 + ( y y ′) 2 + ( z z ′) 2 x 2 ( x x ′) = r
s → 0
∫ A dl lim
L
s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状 即单位面积平均环流的极限。 无关， 无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方 且通常L 向 n ，且通常L的正方向与 n 规定要构成右手螺旋法 则，为此定义
∫ A dl n rotA = × A = lim
2 2
Aθ 2 Ar ( A)θ = Aθ + 2 ( θ r 2 sin 2 θ cos θ Aφ ) 2 sin θ φ Aθ Ar 2 2 2 ( A) φ = Aφ + 2 ( + ctgθ φ r sin θ φ Aφ ) 2 sin θ
2 2
§0 - 5
二阶微分算符
格林定理
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ
1 1 = er + eθ + eφ r r θ r sin θ φ u 1 u 1 u u = e r + eθ + eφ r r θ r sin θ φ 1 2 1 A= 2 ( r Ar ) + (sin θAθ ) r sin θ θ r r 1 Aφ + r sin θ φ
讲3旋度
v = ω× r
(e1, e2 , e3 )
(q1, q2 , q3 )
(h1, h2 , h3 )
A = e1A + e2 A2 + e3 A 1 3
h1e1 h1e2 h1e3 1 ∂ ∂ ∂ ∇× A = h1h2h3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 h1A h2 A2 h3 A 1 3
eρ 1 ∂ ∇× F = ρ ∂ρ Fρ ∂ ∂ϕ ρF φ
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式
∫
C
F ⋅ dl = ∫ F ⋅ dl + ∫ F ⋅ dl +∫ F ⋅ dl + ∫ F ⋅ dl
l1 l2 l3 l4
∆y ∆z , z) ⋅ ez ∆z = F(x, y, z − ) ⋅ ey∆y + F(x, y + 2 2 ∆z ∆y + F(x, y, z + ) ⋅ (−ey )∆y + F(x, y − , z) ⋅ (−ez )∆z 2 2 z ∆z 3 C = Fy (x, y, z − )∆y − F (x, y, z + ∆z ) ⋅ ∆y y 4 2 M 2 2 ∆y ∆z + Fz (x, y + , z)∆z ∆y ∆y 1 − Fz (x, y − , z)∆z 2 2 o y ∂Fy (x, y, z) x =− ∆z ∆y + ∂Fz (x, y, z) ∆y ∆ z ∂z 计算 rot x F 的示意图 ∂y ∫CF ⋅ dl = ∂Fz − ∂Fy rotx F = lim ∆S→0 ∂y ∂z ∆S
1 rot n F = lim ∫C F ⋅ dl ∆S →0 ∆ S
复变函数第四版-第二章-2.4-矢量场的环量及旋度(ppt文档)
(4.11)
其中cos α ，cos β ，cos γ 为在M 点处n 的方向余弦，这就是环 量面密度在直角坐标系下的计算公式。
例2. 求矢量场AA=xxzz33ii− 22xx22yyzzj j+2y2zy4zk4k 在点M( 1 , − 2 , 1 ) 处沿 矢量n = 6i + 2j + 3k 方向的环量面密度。
自身缩向M 点时，若ΔΓΔS的极限存在，则称其为矢量A 在点M S
处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作
μnn ，即
A dl
n
lim
sM
S
lim
sM
l
s
(4.8)
例如：在磁场强度H 所构成的磁场中的一点M 处，沿方向n 的环量面密度，由（4.5）式为
m
Hdl Ik I
l
k 1
(4.5)
因此，数学上就把形如上述的一类曲线积分概括成为环量的概 念，其定义如下。
（1）环量的定义：设有矢量场A (M) ，则沿场中某一封闭的有 向曲线l 的曲线积分
Adl
(4.6)
l
叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量。
在直角坐标系中环量可以写成
(4.10)
即为在点M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称 为环流密度（或环流强度）。
第二章 场论 9
（3）环量面密度的计算公式。 在直角坐标系中，设
A = P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j + R (x , y , z ) k 则由斯托克斯（G.G.Stokes）公式
0
40
3 R2 2 (1 cos4 )d 3 R2
环量密度和旋度
环量密度和旋度环量密度和旋度是矢量场理论中的两个重要概念，它们在描述和分析流体运动、电磁场等物理现象中扮演着至关重要的角色。
环量密度是指流体在单位时间内通过一个闭合曲线的总量，而旋度则描述了矢量场在空间中的旋转情况。
这两个概念的引入，使得我们能够更深入地理解矢量场的性质和行为，为我们研究自然界中的各种物理过程提供了重要的工具和方法。
环量密度和旋度的概念最早可以追溯到19世纪的物理学家法拉第和斯托克斯的工作。
他们发现，通过对流体或电磁场的环路积分可以得到环量密度，而对矢量场的旋度运算则可以获得场的自旋特性。
这些发现为后来的矢量场理论奠定了基础，也为后来物理学家们探索自然规律提供了启示。
在实际应用中，环量密度和旋度广泛应用于流体力学、电磁学、天体物理等领域。
以流体力学为例，环量密度可以描述流体在不同位置的流速，从而帮助我们分析流体运动的规律；而旋度则可以揭示流体流动时的旋转情况，为我们理解湍流等复杂流动现象提供了重要线索。
在电磁学中，环量密度和旋度同样发挥着重要作用。
通过对电场和磁场的环路积分，我们可以分别得到电势和磁势的变化率，从而揭示电磁场的传播规律和相互作用机制。
而电磁场的旋度则可以描述电荷在磁场中受到的力矩，为我们研究电磁感应等现象提供了理论依据。
除了在物理学中的应用，环量密度和旋度在工程学和地球科学中也有着广泛的应用。
例如，在水力学和气象学中，我们可以通过研究流体流动的环量密度和旋度，预测洪水和气象灾害的发生情况，从而制定相应的防灾措施；而在地球物理勘探中，我们可以通过分析地震波的传播速度和方向，推断地下岩石的构造和性质，为石油勘探和地质灾害预测提供依据。
总的来看，环量密度和旋度作为矢量场理论中的重要概念，不仅在物理学、工程学和地球科学等学科中有着广泛的应用，而且在科学研究和工程技术中有着重要的理论指导作用。
通过深入研究环量密度和旋度的性质和相互关系，我们可以更好地理解自然界中的各种物理现象，为人类社会的发展和进步提供强大的科学支撑。
《环流量与旋度》课件
05
CHAPTER
环流量与旋度的物理意义
环流量的物理意义
01Biblioteka 0203描述流体在封闭曲线上 的流动特性
反映流体在空间中流动 的总体效果
是流体运动的一个重要 参数，对于研究和解决 流体运动问题具有重要
意义
旋度的物理意义
表示向量场中某点附近的旋转程 度
反映向量场中某点附近的旋转特 性和流动趋势
是描述向量场的一个重要参数， 对于研究和解决流体动力学问题
旋度的计算方法
微分法
定义
通过微分运算来计算旋度，利用向量场中点的变化率来定义旋度。
公式
$nabla times vec{F} = lim_{Delta rightarrow 0} frac{Delta vec{S}}{Delta V}$，其中 $Delta vec{S}$是曲面上的面积向量，$Delta V$是体积增量。
《环流量与旋度》ppt课件
目录
CONTENTS
• 环流量与旋度概述 • 环流量的计算方法 • 旋度的计算方法 • 环流量与旋度的应用 • 环流量与旋度的物理意义
01
CHAPTER
环流量与旋度概述
环流量的定义与性质
定义
环流量是矢量场中封闭曲线上矢 量所围成的面积分。
性质
环流量与路径无关，只与起点和 终点的位置有关；环流量是矢量 场的一个重要物理量，反映了矢 量场中某区域的通量分布情况。
电磁场涡旋
在研究电磁波的传播和辐射问题时 ，需要用到电场和磁场的涡旋，它 们与磁场和电场的旋度有关。
在量子力学中的应用
量子旋度
在量子力学中，旋度被用来描述微观粒子的自旋角动量，对 于理解量子力学的各种现象，如自旋、角动量等具有重要意 义。
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)
(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R
O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A
x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
的边界曲线记为l。 若当S 收缩至P 点附近时存在极限
lim l A dl
S 0 S
S nS
P A
l
(b)
则此极限称为矢量场 A 在P 点沿n方向的环量（面）密度
或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有
关。
2. 旋度 定义：
矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为
规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 旋度的运算规则：
( A) 0
() 0
1.4.3 斯托克斯定理
表达式： l A dl S ( A) dS
式中S为闭合曲线l所包围的曲面。
物理含义： 矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S
上旋度的面积分。
Ay z
) cos
Az x
Ax z
cos
Ay x
Ax y
cos
旋度和散度的区别：
（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。 （2）旋度描述场中各点的旋涡源强度；
散度描述场中各点的通量源强度。 （3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化
环量
x A dl l l ( yex xey cez ) (dxex dyey )
l ( ydx xdy)
2π
0 [R sind(2 R cos ) (2 R cos )d(R sin )] 2π (R2 2R cos )d
பைடு நூலகம்托克斯定理的证明：
lim l dl rot A n
S 0 S
A dl ( A) dS l
对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对 每一小面积元有
l1 A dl ( A) dS1
l2 A dl ( A) dS2
( Az y
Ay z
) cos
Ax z
Az x
cos
Ay x
Ax y
cos
(z y) 1 (x z) 2 (x y) 2
3
3
3
将点 M (1, 2,3) 代入上式：
(z y) 1 (x z) 2 (x y) 2 19
第一章 矢量分析
1.4 矢量场的环量和旋度
主要内容
环量 旋度 斯托克斯定理
学习目的
掌握环量、旋度的物理意义 了解环量、旋度的关系 灵活运用斯托克斯定理求解矢量场
1.4.1 矢量场的环量（环流）
定义：
矢量场A沿空间有向闭合曲线l 的积分称为矢量场A的环量。
l
A
MP
A
表达式： l A dl l Acosdl
0
2πR2
方法二：
rot A A
ex ey ez
x y z y x c
2ez
由斯托克斯定理得
Adl l
( A) dS
s
2
s ez
dS
2πR2
【例】用以下两种方法求矢量场 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez
斯托克斯定理
主要公式
环量 旋度
c A dl c Acosdl
ex ey ez rot A A
x y z
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Az x
Ax z
ey
Ay x
Ax y
ez
旋度与环量密度的关系为
lim l Adl rot A n
S0 S
计算环量面 密度的方法
( Az y
Adl
rot A A lim[ l S0 S
]max n
大小：最大的环量密度；
方向：取得最大环量密度时的面元方向。
旋度的物理意义：
矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。
表达式： 在直角坐标系下
ex ey ez rot A A
x y z
物理意义：
（旋合a涡）曲源线位l包于围闭 形成的曲面内。
（1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。
（2）若 0 ，表示该矢量场为无旋场或保守场； 若 0 ，表示该矢量场为涡旋场。 由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。
1.4.2 矢量场的旋度
1. 环量密度 如图(b)过点P 作一微小曲面S，它