矢量场的环量旋度
矢量场的环量和旋度
)
(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R
O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A
x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
1.3矢量场的旋度
例：求矢量场 A ex x( z y) ey y( x z) ez z ( y x) 在
M（1，0，1）处的旋度及沿l 2ex 6e y 3ez
ex ( z y ) e y ( x z ) ez ( y x )
C2
A dl
5
故
2 A d S
S
证毕
10
例1.4 已知 。现有一个在 x y面内的 2 y 2, 2 闭合路径C，此闭合路径由 0,0和 之间的一段抛物线 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。
2014-4-11 12
10
5
2014-4-11
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
Ci
Cj
9
C
A dl
又
A dl rotA dS1 rotA dS 2
C
A dl rotA dS1 C1 A dl rotA dS 2 C2 ………
C1
A dl
C C
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１.３.２、矢量场的旋度：
M
质，取包含此点的一个面元 S ，其 边界为 C，保持面元 S 的 en 方向不 变，而 S 以任意方式趋近于零。则
2.4 旋度
0 记作： rot A ( ) n n max
旋度是由矢量场 A( M ) 派生出来的一个矢量场, 也称 旋度场.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
14
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
旋度的意义
旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况
方向：漩涡面方向 大小：漩涡强度
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《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
A dl l ( ydx xdy)
2 2 2 2
解： 由于在曲线上z=0，所以dz=0．
0 R sind (2 R cos ) 0 (2 R cos )d ( R sin )
环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。
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《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
流速场
均匀直线流动 非均匀直线流动
水流沿平行于水管 轴线方向流动
流体做涡旋运动
=0，无旋涡运动
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0，有产生旋涡的源
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《场论初步》
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4
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
l A dl l P dx Q dy R dz
环量的性质： 环量是数量.
l
A
S
A
P Γ>0，场有沿着C旋转的量，旋 涡场，有旋涡源正向穿过曲面S. （a） （S的法向与C成右手螺旋关系）. Γ<0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.
1.4 矢量场的环量及旋度
1.4 矢量场的环量及旋度要研究产生矢量场的另一种场源。
1.4.1矢量场的环量矢量场的环量就是指矢量场的闭合线积分。
这里先研究变力做功问题，以便引导出矢量场线积分的概念。
用F (r )表示力场，沿图示路径l ，求由a 点到b 点所作的功。
将l 划分为N 个线元段，根据a 到b 的走向将各线元段表为线元矢量。
设第i 个线元矢量Δl i 与其上近似不变的力F i 之间的夹角为θi ，则元功为i i i i i i l F A l F ∆⋅=∆≈∆θcos将所有元段上的元功求和，求当N →∞、Δl i →0时的极限⎰∑⋅=∆⋅==→∆∞→l Ni i i l N A l F l F d )(lim 10即得沿路径l 由a 到b 变力F (r )作的功，它是标量。
若将式中的F (r )看成是任意的矢量场，则⎰⋅l l F d 就代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。
矢量场沿闭合路径的线积分，称为矢量场的环量(circulation)。
用C 表示⎰⋅=ll F C d （1.4.1）矢量场的环量可能为零，也可能不为零:① 若有0d =⋅⎰l l F ，该矢量场就是保守场或守恒场； ② 若有0d ≠⋅⎰l l F ，该矢量场叫做旋涡场。
对于场中的任意闭合路径矢量场的环量，与该闭合路径所围部分含有的旋涡源之间存在关联性，使环量具有检源作用。
在直角坐标系中，设矢量场为F ( x,y,z )，l 为任意闭合路径，环量可写成ib a⎰⎰++=⋅=lz y x lz F y F x F C )d d d (d l F （1.4.2）1.4.2矢量场的旋度为了表征矢量场中旋涡源的空间分布特性，要引入矢量场旋度概念。
在连续、可微的矢量场F (r )中，过观察点P 任作一面元∆S ，按其正法向方向确定面元矢量∆S=∆S n 'e 。
l 为面元的周界，其循行方向与∆S 的方向按惯例应符合右手法则，如图所示。
沿l 的循行方向求⎰⋅l l F d ，让∆S 向着P 点收缩，若极限sls ∆⋅⎰→∆l F d lim 0存在，它表示P 点处∆S 为如图取向时在单位面积周界上F (r )的环量。
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
矢量场的环量 旋度
在矢量场中，一个给定点 M处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
l
A dl
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示 ro A t A
在直角坐标系中的表示
ex ey ez A
x y z Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re rsine
A
r2
1
sin
r
Ar rA rsinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C0 (C 为常 ) 矢量
(cA )c A
( A B ) A B
( u A ) u A u A
( A B ) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
roAt A
x
ey
ez
y
z
x(zy) y(xz) z(yx)
( z y ) e x ( x z ) e y ( y x ) e z 在点M(1，0，1 )处 的A 旋度M e x2 e ye z
矢量场的环量和旋度习题解答
2. 下列陈述错误的是( ) A. 在场中某点M 处，根据 M 点处环量的大小可以判断闭合曲线中是否存在涡旋源 B. 在场中某点M 处，环量面密度反映了矢量在 M 点处环绕指定方向旋转的强弱情
况 C. 在场中某点M 处，M 点处的环量面密度是唯一的 D. 在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上的
D. ey
解析：本题考查旋度的计算，基本知识点
习题难度：中
ex ey
A
x
y
ez
z
(0 0)ex [0 (1)] ey (0 0) ez ey
x2 y3 (3z x)
1
4. 已知矢量 A x(z y)ex y(x z)ey z( y x)ez
，则在点 M(1, 0,1 )处沿2e 6e 3e
x
y
z
方向的环量密度( )
A. 6
B. 3
C. 17
D. 17/7
解析：本题考查旋度的性质，基本知识点
习题难度：中
在场中某点M 处，经过点 M 的任意方向的环量面密度都可用旋度在该方向上 的投影获得。
本题先求点 M(1, 0,1)处的旋度：
ex
ey
ez
A x
y
z (z y)ex (x z)ey ( y x)ezen172 Nhomakorabea2
761
73
17 7
5. 如图所示，则对点 M 描述正确的是( )
A. A 0 A 0
B. A 0 A 0 C. A 0 A 0
M
A
D. A 0 A 0 解析：本题考查散度和旋度的性质，基本知识点
复变函数第四版-第二章_2.4 矢量场的环量及旋度
从（4.13）式知，我们知道旋度的一个重要性质，就是：旋度 矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即 有
ro t n A μ n ( 4 .1 5)
例如在磁场H 中，旋度rot H 式这样一个矢量，在给定点 处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密 度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电 流密度。在电学上称rot H 为电流密度矢量。
例5.
2 2 2 2 设ay2z2i+z2x2j+x2yj x 2 y 2 k2k,证明 A= y z iz x
A ro t A 0
证
由
0 2 D A 2 xz 2 xy 2
2
2 yz 0 2 yx
2
2
2y z 2 2 zx 0
2
2 2
得
于是有
3 7
2
6 7
2
2 7
8
2 7
18 7
第二章 场论
12
• 旋度
看环量面密度的计算公式(4. 11)把其中的三个数( Ry −Qz ) ,( Pz − Rx ) ,(Qx − Py ) 视为一个矢量R 的三个坐标，即取
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x Py ) k ( 4 .1 2 )
l
dl lim
s M
I S
s M
s
dI dS
( 4 .9 )
就是在点M 处沿方向n 的电流密度。
又在流速场v 中的一点M 处，沿n 的环量面密度，由(4.3)式为
n lim
v dl
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如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex ey ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e 1
A
e
ez
z
A A Az
在球坐标系中的表示
A
1
er
re
r sine
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 矢量场在某点处沿 n 方向的环量面密度，等于旋度在该
q
4
0
y
z r3
z
y r3
ex
z
x r3
x
z r3
ey
x
y r3
y
x r3
ez
0
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
(cA) c A
(A B) A B
(uA)
u
A
u
A
(A B) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
换关系。
A dS A dl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
lim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n ，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA n lim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
Байду номын сангаас
rotA A
在直角坐标系中的表示
【解】矢量场A的旋度
ex
rotA A
x
ey
ez
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (x z)ey ( y x)ez
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ex 2ey ez
n方向的单位矢量
1
2 6 3
n 22 62 32 (2ex 6ey 3ez ) 7 ex 7 ey 7 ez