2通量与散度&环量与旋度
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
通量和散度的关系
通量和散度的关系通量和散度是物理学中的重要概念，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨通量和散度之间的关系。
通量是指一个物理量在单位时间内通过某个曲面的大小。
通常用符号Φ表示。
在物理学中，通量可以是电场、磁场、热流等。
对于电场通量，可以通过高斯定理进行计算，高斯定理是基于电场的散度的。
在同一点周围的电荷可以产生电场，并且这个电场可能分散到周围的区域。
当电场通过一个面积向外传递时，电场通量表示电场线垂直于这个面积的数量。
即：Φ=E·A其中，E是电场的强度，A是通过它的面积。
散度是一个向量场的量。
它是在一个空间点处，该向量场的变化速率的大小和方向。
通常用符号div表示。
在物理学中，散度在热力学、电动力学和流体物理方面都有广泛应用。
在电动力学中，电场的散度定义为该点周围的电荷密度的数量。
散度也可以用来描述流体在某一点的扩散速率和方向。
它还可以用来计算温度变化率和热传导率等。
散度的大小是一个向量场在某个点处的变化量。
如果一个向量场向外分散，那么在这个点处的散度就是正的。
反之，如果一个向量场向内收敛，那么散度就是负的。
如果一个向量场在该点处不变，那么散度就为零。
当一个向量场的散度为正时，它就表示在这个点周围正向传递的物质，例如流体的决策运动或散热的传递。
当一个向量场的散度为负时，它表示在该点周围的负向传递的物质，例如在流体的吸入运动或暖气片中的热管中的吸热。
通量和散度之间的关系是由高斯定理给出的：∮ Φ · dA=∬ div F · dV其中，Φ表示通量，F表示一个向量场，dA表示一个面积元素，dV表示体积元素。
该公式表明，通过一个曲面的通量等于该曲面所包含的体积的散度。
因此，当向量场在一个点周围分散时，通量将增加，这意味着在该点的散度也将增加。
总之，通量和散度之间的关系是紧密相连的。
通量的大小取决于向量场如何分散，而向量场的分散程度可以通过散度的大小来衡量。
高斯定理描述了这种关系，它揭示了通量和散度之间的基本规律，这对于各种物理学学科的研究都是至关重要的。
通量和散度的物理意义
通量和散度的物理意义1.引言1.1 概述在物理学中，通量和散度是两个重要的概念。
通量描述的是物体或场的某种性质在单位时间内通过某个面积的量，而散度则表示该性质在某点的变化率。
通量和散度在许多物理领域中都具有广泛的应用，对于理解和描述物体或场的变化和分布具有重要意义。
通量的物理意义可以理解为，它表示了物体或场在单位时间内通过单位面积的量。
在实际应用中，通量可以描述物体或场的流动、传输、扩散等现象。
例如，在流体力学中，通量可以表示液体或气体通过一个给定面积的流量；在电磁学中，通量可以表示电场或磁场穿过一个给定面积的量。
散度的物理意义则是表示了某一性质在某点的变化率。
散度可以用来描述物体或场的局部变化情况，即单位体积内的该性质的变化量。
在物理学中，散度可以用于描述流体或气体的聚集或稀疏程度，电场或磁场的源强度等。
通过计算散度，我们可以了解物体或场在某点的变化情况，从而提供了对物理现象的深入认识和解释。
总之，通量和散度作为物理学中的重要概念，具有丰富的物理意义。
通过研究和理解通量和散度，我们能够更好地描述和分析物体或场的变化和分布，提高对物理现象的认识和理解。
在本文中，我们将从不同角度深入探讨通量和散度的物理意义，以期更好地理解这两个概念及其在物理学中的应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分旨在介绍整篇文章的组织结构和章节安排，使读者能够清楚地了解文章的整体框架。
本篇文章的结构分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分由概述、文章结构和目的三个小节组成。
首先，概述部分将简要介绍通量和散度的物理意义的背景和重要性。
其次，文章结构部分将详细阐述整篇文章的章节分布，为读者提供一个整体的阅读导引。
最后，目的部分将阐明本篇文章的研究目标和意义。
正文部分是本篇文章的核心内容，包括了通量的物理意义和散度的物理意义两个小节。
在通量的物理意义部分，我们将介绍通量的定义和其在物理学中的应用。
通量，散度，换流量，旋度
通量，散度，换流量，旋度转载⾃:马同学我在数学书中看到散度和旋度的时候，如果不结合物理来理解这两个数学公式的话，不过是平平⽆奇的曲线积分、曲⾯积分的⼀个应⽤⽽已。
数学书上提到这两个公式的⽬的应该也是为了加深对曲线积分、曲⾯积分的理解。
有句名⾔怎么说的来着：数学没有物理是瞎⼦，物理没有数学是跛⼦下⾯就让我们结合物理来理解下散度和旋度。
我是学数学的并⾮学物理的，我之后涉及的物理知识很可能是⾮常直觉的、不严格的，望⼤家多多包涵。
1 通量与散度要理解散度，先要理解通量。
1.1 通量通量简单来说，就是单位时间内通过的某个曲⾯的量。
1.1.1 太阳辐射与通量听起来有点抽象，我们举个例⼦：我们都知道，⼈类离不开太阳。
因为每时每刻我们都在接收太阳带给我们的能量。
那太阳每秒钟到底会向外辐射多少能量呢？⼀种⽐较直观的办法，就是计算到底有多少能量通过太阳的表⾯。
什么意思呢？这个有着耀眼光芒的就是太阳：为了⽅便观看，我们只看它在⼆维平⾯上的投影图，这并不影响我们的讨论：太阳每时每刻都在向外辐射能量。
沿着太阳表⾯，作⼀条封闭曲线（其实是封闭的曲⾯，因为太阳实际上是⼀个球体）：粗略来说，我们把曲⾯上的给加起来就是通过此曲⾯的通量。
但是这⾥有个细节问题，在曲⾯上的不同的点的⽅向是不⼀样的，我们应该怎么相加？1.1.2 的⽅向这⾥⽤太阳辐射的模型不太好说明，我们换⼀个模型来描述。
我有⼀间房⼦，请⽆视我的灵魂画法：为了⽅便数学建模，我把它表⽰为⼀个多边形：屋外下着垂直于地⾯的⾬滴：如果屋顶有⼀个天窗忘了关，地⾯就会有⼀滩⽔渍：如果是侧⾯的屋顶有同样⼤⼩的天窗忘了关，地上的⽔渍就会⼩⼀些：如果是在垂直的墙壁上的窗户忘了关，可以想见，地上是不会有⽔渍的。
可以观察到，⽔渍在⾬⽔和窗户垂直的时候取到最⼤值，相切的时候取到最⼩值。
在中间的时候⽔渍的⼤⼩是窗户在与⾬⽔垂直⽅向的投影。
所以我们只需要关注垂直于曲⾯的分量就可以了：1.1.3 ⼩结根据上⾯所述，通量就是把曲⾯上的通过积分积起来。
通量和散度
1.3.3 散度定理（高斯定理）
表达式：
SA d S V A d V
式中S为V的外表面。 物理含义：
矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S 所包围体积V内的体积分。
散度定理的证明：
d iv A l V im 0 1 VS A d S d i v A V l i mA d S
【解】若使A成为一个无源场，即要求 A0
Aaz2xb2xy12zcx2xy (a2)z(2c)xb1 0 解得 a2,b1,c2
A ( 2 x z x 2 ) e x ( x y 2 y ) e y ( z z 2 2 x z 2 x y z ) e z
面，则：
内容小结 掌握通量、散度的物理意义
z h 围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。
【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆
z
面，则：
r ds r ds r ds
s
s1
s2
s1
rdv
v
s1 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
s2 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。
（3）在矢量场中，若
，称之为有源场， 称为(通量)源密度；
说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。
矢量场的通量-------通量源
矢量场的通量
1.矢量场的通量-------通量源 （2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。
h
3 dv zdxdy zdxdy
v
s1
s2
3πa2h hdxdy 0dxdy
高数之 高斯公式,通量与散度
证：设 cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的外法线向量的方向余弦，则
∂v = vx cos α + v y cos β + vz cos γ ． ∂n
故
∫∫ u ∂ndS = ∫∫ (uv
Σ Σ
∂v
x
cos α + uv y cos β + uvz cos γ )dS
0 0
1
3
2π 0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ zdz
0 0
1
3
1 9 9 = 0 − 2π ⋅ ⋅ = − π ． 2 2 2
2
（2） 【P228， 例 3】 I=
∫∫ ( z
Σ
2
1 2 2 + x)dydz − zdxdy ， 其中 ∑ 是旋转抛物面 z = ( x + y ) 介于平面 z = 0 2
Ω
= −∫
2π 0
π 1 1 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr = −2π ⋅1⋅ = − π . 0 0 5 5
例 2【P232，例 3】 设函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) 在空间闭区域 Ω 上具有一阶及二阶连续偏导数， 证明 Green 第一公式：
Σ1 Σ1
h 2 dxdy = h 2 ⋅ π h 2 = π h 4 ．
x 2 + y 2 ≤ h2
故，原式 =
Σ+Σ1
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 h
2 2 2 2 2 2