高等数学：高斯公式 通量与散度

P x
Q R y z
d x d ydz
P d yd z Qd zd x Rd xd y
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证:令
P
u
v , x
Q
u
v , y
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v v
x
y
z
u
v cos
x
v cos
y
v cos
z
dS
移项即得所证公式.(见 P171)
d
x
d
ydz
Dxdy x d
y
z2( x, y) R z1( x, y) z
d
z
Dx y R( x, y, z2( x, y))
R( x, y, z1( x, y)) d x d y
x
2
3
1
Dxy y
Rd x d y 2 1 3 Rd x d y
D
x
R(
y
x,
y, z2 (
x,
y))dxdy
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三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
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练习 题
一、 利用高斯公式计算曲面积分:
1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2外侧；
2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧；
3z2 r5
0
(r 0)
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d yd z Qd z d x Rd x d y
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出Байду номын сангаас曲面积分为零的充要条件:
为立方体0 x a , 0 y a,0 z a的全表面,流
向外侧的通量 .
四、求向量场 A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k 的散
度.
五、设u( x, y, z) , v( x, y, z) 是两个定义在闭区域 上的
具有二阶连续偏导数的函数,u , v 依次表示 n n
3、 xzdydz,其中 是上半球面 z R2 x 2 y 2 的上侧 .
二、证明:由封闭曲面所包围的体积为
V
1 3
( x cos
y cos
z cos
)dS ,式中
cos , cos , cos 是曲面的外法线的方向余弦 .
三、求向量 A (2x z)i x 2 y j xz2 k ,穿过曲面 :
u( x, y, z) , v( x, y, z) 沿 的外法线方向的方向导
数.
证明:
v u
(uv
vu)dxdydz
(u
n
v
)dS n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注 2 2 2 ,称为拉普拉斯算子) x 2 y 2 z 2
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
P d yd z Qd z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Qcos Rcos d S
v nd S
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若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d yd z Qd z d x Rdx d y
div v 0 故它是无源场.
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*例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E
q r3
r
q r3
( x,
y, z)
(r 0)
求 div E .
解:
div
E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
r
2
3x2 r5
r
2
3 r5
y2
r2
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (vx ,v y ,vz ) (其中vx ,v y ,vz 为常数),
记 ,1 所围区域为,则
在 1 上
2
,
0
I ( 1 1 )(x2 cos y2 cos z2 cos )d S
2( x y z)d x d yd z Dx y h2 d x d y
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I 2 ( x y z)d xdydz Dx y h2 d x d y
Q y
d
x
d
y
d
z
Qd z d x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d yd z Qd z d x Rd xdy
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使用Guass公式时应注意: 1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件;
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P uv
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
xd
ydz
x Q u v
y
u
v cos
x
v cos
y
v cos
z
dS
R uv z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd yd z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析: 高斯公式
P d yd z Qd zd x Rd xd y 0 P Q R 0 x y z
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2. 通量与散度 设向量场 A (P,Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 div A P Q R x y z
DxRy (
x,
y,z1(
x,
y)) d
xdy
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所以
R z d xd yd z
Rd xd y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd yd z
解: 作取下侧的辅助面
z 2
1 : z 1( x, y) Dx y : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
x
d
ydz
(1)
(
Dxy
x2
)d
x
d
y
x
1y
2
0
d
1 0
d
r
2
0
cos 2
d
13
12
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例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 (M0 ) G, 使在 (M0 )上,
P Q R 0 x y z
设 (M0)的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d yd z Qd z d x Rd x d y
(M0 )
P x
Q y
R z
d xd
ydz
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
R z
M
此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
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定义: 设有向量场 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
(r sin z)r dr d d z