散度与高斯公式
10-6第六节 高斯公式与散度
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
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第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
高斯公式散度
高斯公式散度
高斯公式是物理学中的一个重要定理，用于计算三维空间中任意区域的散度。
散度描述了一个向量场的源汇性质，即矢量场中的流量增加或减少的速率。
高斯公式的数学表达为：对于一个闭合曲面S，曲面内无任何漏洞或孔隙，且向外指向为正。
如果向量场F在曲面S的每一点都是连续可导的，那么该向量场经过曲面S的总流量等于该向量场在曲面S 内的散度与曲面S的体积积分之和。
即∮F·dS = ∭div(F)dV
其中，F为向量场，dS为曲面面积元素的矢量微元，div(F)为F 的散度，dV为体积元素。
通过高斯公式，我们可以将原本需要对整个体积进行积分的问题，转化为只需要对曲面上的散度进行积分的问题。
这简化了很多计算过程。
高斯公式在物理学中的应用非常广泛，例如在电磁学中用于计算电场、磁场的通量，以及在流体力学中用于计算流体的体积流量等。
它为我们研究各种物理现象提供了强大的数学工具。
散度形式高斯公式证明
散度形式高斯公式证明一、高斯公式的散度形式。
高斯公式的散度形式表述为：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面§igma所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有。
∭_Ω((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dV = ∬_§igmaPdydz + Qdzdx+Rdxdy二、证明思路。
1. 用微元法进行分析。
- 把闭区域Ω分割成许多小闭区域。
考虑一个小闭区域Δ V，其边界曲面为Δ§igma。
- 设小闭区域Δ V在点(x,y,z)处的体积为Δ V，Δ§igma的外法线方向的单位向量为→n=(cosα,cosβ,cosγ)。
2. 对P分量进行分析。
- 根据通量的概念，向量场→A = P→i+Q→j+R→k通过Δ§igma的通量ΔvarPhi中关于P的部分为∬_Δ§igmaP→i·→ndS=∬_Δ§igmaPcosα dS。
- 由高斯公式的物理意义（通量与散度的关系），在小闭区域Δ V内，P对通量的贡献近似为((∂ P)/(∂ x))Δ V（这里是利用了散度的定义div→A=(∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z)，当只考虑P分量时，其散度的主要部分为(∂ P)/(∂ x)）。
- 当Δ Vto0时，精确地有∬_Δ§igmaPcosα dS = ((∂ P)/(∂ x))Δ V。
3. 同理对Q和R分量进行分析。
- 对于Q，有∬_Δ§igmaQcosβ dS = ((∂ Q)/(∂ y))Δ V。
- 对于R，有∬_Δ§igmaRcosγ dS = ((∂ R)/(∂ z))Δ V。
4. 对整个闭区域Ω和闭曲面§igma进行分析。
- 将所有小闭区域的上述关系相加。
对于整个闭区域Ω，其被分割成了n个小闭区域Δ V_i，i = 1,2,·s,n。
散度与高斯公式
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
Ò Gauss
8
,
1
udivA A gardu.
10.5 散度与高斯公式
例 1．设点电荷 q 位于 坐标原点，它在真空中产生一电场，
场中任一点 M(
r
{
x,
y,
z}
，
r
x,
y, r
z) 处的电场强度
E
1
4
q r2
r
（
r
r r
，
），求场中点 M 处电场强度 E 的 散度。
divE
P x
Q y
R z
由高斯公式得：
Ò
r F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
P Q R x y z
r
r
故高斯公式可以表示为： Ò F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
10.5 散度与高斯公式
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 r
1 V
r
Ò F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
r
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
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D
CuvdxuvdyC ydx ydy(01)dxdy. D
错解：由题意得
F(
x,
y){
y,
1}
，
G(
x,
y){0,
1}
，
F ( x, y)G( x, y)1 ，故 F Gdxdydxdy 。
D
D
§10.5 高斯公式
10.5.1 高斯（Gauss）公式 一、高斯定理
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
x
,
y){
u
u,
v
v
}
，又已知在圆周x
2
y
2
1
x y x y
上， u(x, y) 1 ，v( x, y) y ，求F Gdxdy 。
D
解：
F Gdxdy
v(
u x
u ) u( y
v x
v y
)dxdy
D
D
u v u v
[(v
x
u x
)(v
y
u y
)]dxdy [ 间的部分的下侧,
cos,cos,cos
是Σ在( x, y, z)处
o
y
的外法向量的方向余弦. x
解 曲面不是封闭曲面, 为利用
z
高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧， 1构成封闭曲面， 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
C( AO)OA 才是正向封闭曲线。
P e x sinymy ，Qe x cos ym ， o
P e x cos ym ， Q e x cos y ，
y
x
C
D A (a,0) x
y
Q P e x cos ye x cos ymm 。 x y
(e xsinymy)dx(e xcos ym)dy
C(OA)
1 3
xdy
dz
ydx
dz
zdx
dy
dv
例 1 计算曲面积分
( x y)dx dy ( y z)xdy dz
其中Σ为柱面 x2 y2 1及平面 z 0, z 3所围成的空间闭区域的
整个边界曲面的外侧.
z
3
o1
y
1
解 P ( y z)x, Q 0, R x y, x
1 : z z1( x, y)
2 : z z2( x, y)
o
3
x
2
3
1
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R z
dy
Dxy
{
z2( x, y) z1( x, y)
R z
dz}dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy
根据曲面积分的计算法
习题二（P218）
1（4）应用格林公式计算曲线积分：
(e x sinymy )dx(e x cos ym)dy ，其中C(OA) 为
C (OA)
由点 O(0,0) 至 A(a,0) 的上半圆周 x2 y2 ax ( y0, a0) 。
解：添加线段AO ，则 C(OA) AO y
为封闭曲线，但不是正向曲线，
使用Guass公式时注意:
（1）公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，
三者缺一不可。若积分曲面不封闭，则添加辅助曲面
使之封闭；当封闭曲面取内侧时，Gauss公式中的
符号应为负号；应用公式前首先要检验
P, Q, R, P , Q , R 的连续条件。
x y z
(2) P x,Q y, R z
V
Σ取外侧,函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在
上具有一阶连续偏导数, 则有公式
A
nds
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
(P x
Q y
R )dv z
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dx
dy.
证明 设闭区域 在面xoy z 上的投影区域为Dxy .
由1 ,2 和3 三部分组成,
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz (z)dxdydz
03zdz dxdy 9
D(z)
2
9 . 2
例 2 计算曲面积分
I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
其中 是由曲线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周
x 0
所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 .
z
2
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为
o
1
x 0
x
y 1 z2 x2
*
y
3
欲求 I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
z
且有 I
* *
*
(P x
Q y
R)dv z
2
3
2
(8 y 1)xdy dz 2(1 y )dz dx x4 yzdx dy
*
2 (1 32 )dzdx 32,
*
*
故I 2 (32) 34.
例 3 计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
z
锥面 x2 y2 z2介于平面
z 0及z h(h 0)
(1取下侧, 2取上侧, 3取外侧)
R( x, y, z)dx dy R[x, y, z1( x, y)]dxdy,
1
Dxy
R( x, y, z)dx dy R[ x, y, z2( x, y)]dxdy,
2
Dxy
R( x, y, z)dx dy 0.
3
于是 R( x, y, z)dx dy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
x,
y
,
z)dx
dy.
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z
)dy
dz,
Q y
dv
Q(
x,
y
,
z
)dz
dx,
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
o1 x
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dv dv
3
2
2
3
dxdz
dy d d dy
1 z2 x2
0
0
12
Dxz
2 2 (2 3 )d 2, 0
或：dv 13dy dxdz
D( y)
y 1 z2 x2
13 ( y 1)dy 2,
z
2
o1
*
y
o
C (OA) AO
AO
C( AO)OA
0
adx
a
C
D A (a,0) x
Green公式
m
d0
m
2
(
a 2
)2
m 8
a
2
.
D
5．设 u( x, y) ，v( x, y) 在区域 D：x2 y2 1 上有
一阶连续偏导数， F ( x, y){v( x, y),u( x, y)} ，
G(