高斯公式的内容及其证明
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
高斯公式和斯托克斯公式
高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式：解读电磁场与物质相互作用的数学工具引言：电磁场与物质之间的相互作用是自然界中一种重要的现象。
为了描述和理解这种相互作用，科学家们发展了一系列的数学工具和公式。
本文将介绍两个重要的公式：高斯公式和斯托克斯公式。
这两个公式在电磁场与物质相互作用的研究中起着至关重要的作用。
一、高斯公式高斯公式是描述电场与电荷之间相互作用的数学工具。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出。
高斯公式的核心思想是电场线通过闭合曲面的总通量等于包围在曲面内的电荷量的比例。
具体而言，高斯公式可以用以下形式表示：∮E·dA=Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示曲面内的电荷量，ε₀是真空中的电介质常数。
高斯公式的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过计算闭合曲面上的电场通量来确定曲面内的电荷分布情况。
同时，高斯公式也能够帮助我们理解电场与电荷之间的相互作用规律，揭示自然界中电磁现象的本质。
二、斯托克斯公式斯托克斯公式是描述磁场与电流之间相互作用的数学工具。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出。
斯托克斯公式的核心思想是磁场线沿闭合曲线的环绕的总磁通等于通过曲线所围成的面积的比例。
具体而言，斯托克斯公式可以用以下形式表示：∮B·ds=μ₀I其中，∮B·ds表示磁场B沿闭合曲线的环绕磁通，I表示通过曲线所围成的电流，μ₀是真空中的磁导率。
斯托克斯公式在磁场与电流相互作用的研究中起着重要的作用。
例如，在计算磁场分布时，可以通过计算闭合曲线上的磁场环绕磁通来确定曲线内的电流分布情况。
同时，斯托克斯公式也能够帮助我们理解磁场与电流之间的相互作用规律，深化对电磁现象的认识。
结论：高斯公式和斯托克斯公式是描述电磁场与物质相互作用的重要数学工具。
高斯公式用于描述电场与电荷的相互作用，斯托克斯公式用于描述磁场与电流的相互作用。
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析在高考数学的冲刺复习阶段，高斯公式是一个重要的考点，理解并掌握它对于提高数学成绩至关重要。
高斯公式，又称为高斯通量定理，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯公式的基本概念。
高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
简单来说，如果我们有一个空间闭区域Ω，其边界曲面为Σ，函数 P、Q、R具有一阶连续偏导数，那么高斯公式可以表示为：∫∫∫Ω （∂P/∂x ＋∂Q/∂y ＋∂R/∂z) dV ＝∫∫Σ Pdydz ＋ Qdzdx ＋ Rdxdy 。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解高斯公式的应用。
例 1：计算∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ，其中Ω是由球面 x²＋ y²＋ z²＝1 所围成的闭区域。
我们先求出∂P/∂x ＝ 1，∂Q/∂y ＝ 1，∂R/∂z ＝ 1 ，然后将其代入高斯公式，得到：∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ＝3∫∫∫Ω dV ，而∫∫∫Ω dV 表示闭区域Ω的体积，由于Ω是半径为 1 的球体，其体积为4π/3 ，所以最终结果为4π 。
例 2：计算∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ，其中Σ是立方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1 的表面外侧。
这里，我们直接使用高斯公式，得到：∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ＝∫∫∫Ω （2x ＋ 2y ＋ 2z) dV ，然后分别计算三个积分，最终结果为 3 。
在运用高斯公式时，需要注意一些关键的要点。
一是要正确判断闭区域的边界曲面的方向。
如果方向判断错误，会导致整个计算结果的错误。
二是要注意函数的偏导数是否连续。
如果不连续，可能需要采用其他方法进行计算。
三是在计算过程中，要仔细计算三重积分和曲面积分，避免出现计算错误。
高斯公式的内容及其证明
一、高斯公式 二、通量与散度
高斯公式的物理意义、散度 散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
O 1y 1 x
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
考研高等数学复习——高斯公式
考研高等数学复习——高斯公式高斯公式是高等数学中的一个重要的公式，它是计算闭曲线内部面积的一种方法。
高斯公式可以用于求解定积分，也可以用于计算二重积分和三重积分。
高斯公式在数学和物理中都有广泛的应用。
在数学中，高斯公式常用于计算包围封闭曲线的内部面积，或者计算通过曲面的流量。
在物理学中，高斯公式常用于计算电场的通量和磁场的通量，以及计算介质中的电荷和磁荷的总量。
高斯公式的表述为：对于平面封闭曲线C，其内部有一无穷个数的点，每个点视为源点，曲线C上有一单位的源强度。
假设曲线C包围的面积为A，则通过曲线C的总通量Φ等于A。
这个公式的数学表达式可以表示为：∫∫D dxdy=∮C(xdy-ydx)其中D表示平面曲线C所围成的区域，∮C表示曲线C的线积分，dxdy表示在D上的二重积分，xdy-ydx表示曲线C的微分形式。
高斯公式的证明可以通过对二重积分的计算来完成。
假设曲线C的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，其中t的范围为[a,b]，则曲线C的线积分可以表示为∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)dy(t)-y(t)dx(t))根据微积分中的参数方程曲线上的导数关系，我们可以得到dy(t)=dy/dt dt，dx(t)=dx/dt dt，并将其代入线积分的表达式中，得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)(dy(t)/dt)-y(t)(dx(t)/dt))dt=∫[a,b](x(t)*dy(t)/dt-y(t)*dx(t)/dt)dt通过对该式进行变形，我们可以得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b]((x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt)dt利用变量替换，我们可以将x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt表示为求面积D上的二重积分，即∫∫D dxdy。
因此，我们得到了高斯公式∮C(xdy-ydx)=∫∫D dxdy利用高斯公式，我们可以简化一些定积分的计算过程。
第六节：高斯公式
2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz
由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为
其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy
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一、高斯公式
二、通量与散度
高斯公式的物理意义、
散度
散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
Q y
1
V
F
S
ndS
表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而
lim 1 F ndS
WM V S
表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在
点M的散度，记为divF，即
divF lim 1 F ndS ． WM V S
散度的计算： 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则
通量：
divF P Q R ． x y z
设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位 法向量，则
F ndS
S
叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）． 高斯公式的另一形式：
divFdv = F ndS ．
W
S
z
S2 ：zz2(x, y)
S3 W
S1 ：zz1(x, y)
O
y
Dxy
x
根据三重积分的计算法，有
Rdv dxdy z2 (x, y) R dz
W z
Dx y
z z1 ( x, y )
另一方面，有
{R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1 (x, y)]}dxdy ．
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
3
P yz， Q 0，R 0．
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
O
1
y
( y z)dxdydz
1 x
W
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
R z
dv
S
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
，
或
W
P x
Q y
R dv z
(P cos
S
Q cos
R cos
)dS
这里S是W的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是S上点(x, y, z) 处的法向量的方向余弦． 这两个公式称为高斯公式．
证明
简要证明：
如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的 方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy．
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
S S1
W
h
h
2
dxdy
(x y z)dz 2
x2 y2
dxdy
zdz
x2 y2
x2 y2 h2
x2 y2 h2
(h 2 x 2 y 2 )dxdy 1 h 4 ．
x2 y2 h2
Dx y
以上三式相加，得
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z1 (x, y)]dxdy ，
S1
Dx y
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z2 (x, y)]dxdy ，
S2
Dx y
R(x, y, z)dxdy 0 ，
S3
R(x, y, z)dxdy {R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1 (x, y)]}dxdy ．
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
cos 、cos是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦．
解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲 面，记它们围成的空间闭区域为W．
z
S1 h
S : z x2 y2
O
y
x2y2 h 2 x
S
Dx y
所以有
类似地有
W
Rdv z
R( x,
y,
z)dxdy
．
W
Pdv x
S
P( x,
y,
z)dydz
，
W
Qdv y
S
Q( x,
y,
z)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 ( x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
2
而
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS z2 dS h 2dxdy h 4．
S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h 4 h 4 1 h 4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W
P x
Q y
R z
dv
S
F
ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左 端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
质量．
散度： 在流速场
内一定点M(x, y, 区域为W，W的体积为V，则
F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的