13.第十三讲：等比数列的概念、通项及前n项和

第十三讲 等比数列的概念、通项及前n 项和一、引言等比数列是数列家族中的又一类重要的数列，《考试大纲》对等比数列的考试要求是：理解等比数列的概念，掌握通项公式（包括通项的一般公式）等比中项与前n 项和的公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能熟练、灵活地运用这些知识解决相关问题．从历年的高考情况看，围绕等比数列内容考查的试题，选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，重点考查等比数列的定义、通项公式及前n 项和的公式及其应用．二、主要考点梳理1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做公比．2．等比中项如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G =或2ab G =．在一个等比数列中，任意相邻的三项，中间一项一定是两头两项的等比中项．即n a =211n n n a a a -+=．3．等比数列的通项公式在等比数列{}n a 中，11 ()n n a a q n -=∈*N ． 通项公式的一般形式为 (,)n m n m a a q n m -=∈*N ． 4．等比数列的前n 项和公式若{}n a 为等比数列，则前n 项和11 (1),(1) (1).1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩三、典型问题选讲例1（2007重庆理14）设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a +=______________．分析：这是等比数列中求指定项的值的问题，可以通过解方程组来求解． 解：由韦达定理知200420052a a +=，2004200534a a ⋅=． 因为1q >，于是解得200412a =，200532a =，故200520043aq a ==． 从而22200620072004200513991822a a a q a q +=+=⨯+⨯=．归纳小结：此题考查了等比数列通项的一般公式以及韦达定理的应用，考查了等比数列的基本运算．求解中如果未能关注等比数列通项的一般公式，而是利用韦达定理建立关于首项1a 和公比q 的方程组，解出1a 和q ，然后再求20062007a a +，那么常常因为运算繁琐而出错较多．显然巧用等比数列通项的一般公式，常常可以起到简化运算的作用．例2（2009浙江）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44Sa = ． 解：因为431441(1), 1a q S a a q q -==-，所以4434115(1)S q a q q -==-．归纳小结：此题主要考查了等比数列通项公式以及前n 项和公式的应用．难度不大，只需直接利用公式认真计算即可获得结果．例3（2009重庆）设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．分析：利用递推关系直接代入计算，然后确定数列{}n b 的类型，再写出通项公式． 解：由条件得1112224121a b a ++===--， 111222122221111n n n n n n n n a a a b b a a a +++++++====---+，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，所以11422n n n b -+=⋅=．归纳小结：此题是根据递推关系求数列通项的问题，考查了等比数列的判定及其通项公式．求解中利用递推关系作代换时，容易弄错下标，此外繁分式的化简也容易出错．递推关系是表达数列的重要方式之一，因此，复习时应当熟练这类问题的求解训练．例4 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10206010,30,630,S S S ===求70S ． 分析：利用“等比数列依次连续的k 项和（各个和均不为零）仍成等比数列”这一性质来求．解法一：由{}n a 是等比数列，知10S ，2010S S -，3020,,S S - 7060S S -（它们均不为零）也是等比数列．由102010,30,S S ==得2010102.S S q S -== 故66706010102640S S S q -=⋅=⨯=，因此70606406306401270S S =+=+=．解法二：由于{}n a 是等比数列，故10S ，2010S S -，3020,,S S - 7060S S -（它们均不为零）也是等比数列．由解法一知，公比2q =．于是1010S =，201020S S -=，302040S S -=，403080S S -=，5040160S S -=，6050320S S -=，7060640S S -=．把上述7个式子左右两边分别相加，得70102040801603206401270S =++++++=．归纳小结：在求70S 的过程中，解法一利用了等比数列的通项公式，解法二采用了叠加法．本题中的条件60630S =可用可不用（解法一用了，解法二未用），这种条件的给出，对于培养学生的信息处理能力以及择优解法、发展思维都是十分有益的．本题求解中所用的性质是等比数列的重要性质之一．这一性质可表述为：设等比数列{}n a 的公比为q ，若011≠+⋅⋅⋅++-k qq ，则{}n a 中依次连续的k 项和12,k a a a +++ 122,,k k k a a a +++++ 12(1),nk nk n k a a a ++++++ 仍成等比数列，且公比为k q .这里，条件011≠+⋅⋅⋅++-k qq 是不可或缺的．这是因为只有在条件011≠+⋅⋅⋅++-k q q 下，才能保证上述每一个k 项和不为零．此时，{}n a 中依次连续的k 项和才成等比数列，否则结论不成立．例如，数列1,1,1,1,1,1,--- 是等比数列．取2k =，则依次连续的2项和组成的数列为：0，0，0，…，0，…，这个数列显然不是等比数列．等比数列除了上述性质以外，还有如下常用性质：在等比数列{}n a 中，m n k l +=+若（*,,,m n k l N ∈），则m n k l a a a a =．特别地，若22, m n km n k a a a +==则． 例5 设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11, 21, .4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记211,1,2,3,4n n b a n -=-= .（1）求23,a a ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求数列{}n b 的前n 项和．分析：对于第（1）问，只要分清n 的奇偶性，便可利用相应的表达式求出23,a a ．问题（2）是一个探究性问题，可沿用求23、a a 的方法，计算出45、a a ，进而求出1b ，2b ，3b 并分析它们的特点，猜想出数列{}n b 的一般形式，再进行一般证明即可．至于第（3）问，可根据数列{}n b 的类型选择相关的求和方法．解：（1）211144a a a =+=+，32111228a a a ==+． （2）由于43113428a a a =+=+，所以541132416a a a ==+，因此1111044b a a =-=-≠，23111()424b a a =-=-，35111()444b a a =-=-．猜想：{}n b 是首项为14a -，公比为21的等比数列．证明如下：因为1212111424n n n b a a ++=-=-*21111()()242n n a b n N -=-=∈，所以{}n b 是首项为14a -，公比为21的等比数列．（3）1121(1)1122()(1)14212n n n n b S b b b a -=+++==--- ． 归纳小结：这是一道数列章内知识纵向发展的试题．此题有两处亮点．一是数列{}n a 以分段形式呈现了递推关系式，二是第（2）小题的设问方式有别于常规，体现了探究性与开放性．此题考查的知识顺次为：求数列的指定项——等比数列的定义——等比数列的通项（以递推形式给出）——等比数列的前n 项和，章内知识的纵向发展与综合跃然纸上．此题考查的方法思路是：个别试验——归纳猜想——科学证明，体现了特殊与一般的思想及有限与无限的思想，这是探求真理的有效途径．对n 的奇偶分析，是对分类与整合思想的考查，而正确迭代在此题的求解中起着奠基的作用．所有这些,充分体现了求解中对知识综合发展与纵向延伸的要求，通过对问题本身中蕴涵着的数学思想的提炼和应用，有力地检测了学生的理性思维水平．例6（2009陕西）已知数列{}n a 满足*1121, 2, , 2n n n a a a a a n ++=∈N ＋2＝＝． （1）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．分析：对于（1），要证明{}n b 是等比数列，只需利用定义来衡量．对于（2），由于所给条件式不易判断数列{}n a 类型，因此加工条件式是当务之急．证明：（1）1211,b a a =-= 当2n ≥时，111111()222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=-， 所以{}n b 是以1为首项，12-为公比的等比数列．解：（2）由（1）知111()2n n n n a a a a +--=--． 所以1{}n n a a +-是等比数列，且首项为1，公比为12-，因此111()2n n n a a -+-=-． 于是，当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2211111()()()222n -=++-+-++-111()2111()2n ---=+--1211[1()]32n -=+--1521()332n -=--． 又当1n =时，111521()1332a ---==，所以1*521()()332n n a n -=--∈N ．归纳小结：本题涉及等比数列的判定、通项公式、前n 项和公式及其应用，着意考查了作差叠加法．等比数列的定义是判断一个数列成等比数列的首选工具，作差叠加法是数列运算的基本技能之一，必须认真训练．求解中容易因为漏掉1n =时1a 是否适合的验证而使解答不完整．事实上，叠加过程中，我们用到的一般式是“211()2n n n a a ---=-”而不是“111()2n n n a a -+-=-”，因此n 应从2开始而不是从1开始．例7（2007山东）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 分析：先考虑第（1）问．根据已知式递推，可得13n -的表达式，再与已知式相减，即可获得n a 的表达式．第（2）问可以用错位相减法来求．解：（1）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n n a ∴=．（2）n nn b a =，3nn b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +=-++++ (1)3(13)313n n n +-=--113332n n n ++-=-，1(21)3344n n n S ++∴=-．归纳小结：本题涉及了递推关系与等比数列求和．求解时容易出错的是：第一问不易想到利用递推关系，并且容易漏掉1n =时的情况讨论；第二问求解中利用错位相减法求和，两式相减时容易弄错符号．递推关系是表达数列的重要方式之一，应当灵活掌握递推关系的应用；错位相减法是数列运算的重要技能，理应熟练掌握．一般地，由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的新数列的求和，常用错位相减法．例8（2008全国）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（1）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．分析：对于第（1）问，只需通过适当配凑，便可以判断{}n b 是等比数列，进而即得通项公式．对于第（2）问，所求的a 的取值范围取决于不等式1n n a a +≥即10n n a a +-≥的结果．因此求出{}n a 的通项公式是解决问题的前提，而这可以通过通项与前n 项和的关系而得到．解：（1）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-，即12n n b b +=． 所以{}n b 是首项为13b a =-，公比为2等比数列，因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ． ① （2）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，所以112123(3)2[23(3)2]nn n n n n a a a a ---+-=⨯+--⨯+-1243(3)2n n a --=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=⋅+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔⋅+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求a 的取值范围是[)9-+∞，．归纳小结：此题着重考查了数列通项与前n 项和的关系、等比数列的判定及其通项公式、不等式的求解、指数运算以及指数函数的性质．求解时，由于对条件式的结构特征未能作深入的观察和分析，缺乏配凑技能，因而使得第（1）问的求解显得比较困难，进而直接影响第（2）问的求解．此外第（2）问的运算出错也较多．显然，此题对观察分析能力、逻辑思维能力、运算求解能力、推理论证能力都有着较高的要求，应当认真关注．四、本专题总结在本专题中，我们着重介绍了等比数列的定义、通项公式（包括通项的一般公式）及前n 项和的公式、等比数列的简单性质及其应用．复习中建议抓住如下四个方面：①理解基本概念，掌握基本运算．一般地，在等比数列的通项公式及前n 项和公式中，共含1,,,,n n a q n a S 五个量，其中1a 和q 是基本量．若已知五个量中任意三个量的值，通常可以利用方程的思想求出另外两个量的值．②训练基本技能．本专题中我们还着重介绍的代数式的配凑、作差叠加法、错位相减法是数列的基本运算技能，必须落实到位．③提炼数学思想．本专题所涉及的方程思想、特殊与一般的思想及有限与无限的思想在解题中的作用是巨大的，要善于应用它们解决相关问题．④提高数学能力．等比数列常常和不等式综合考查，这类问题通常较难．求解时除了需要综合运用等比数列的有关知识以外，还必须具备观察分析、逻辑思辨、运算求解和推理论证等数学能力．这需要通过具体问题的求解训练，才能逐步提高．。