散度旋度梯度
散度旋度梯度
散度旋度梯度
散度旋度梯度是常用的数学概念，它都用来描述一个函数的变化程度。
在低维空间中，散
度和旋度是表示函数值与参数空间之间的变化程度的不同标准。
散度是描述函数值变化的
大小，而旋度是描述函数值方向变化的大小。
要使用散度旋度梯度，我们首先需要确定参数空间坐标系。
这样有助于确定函数的变化程度。
接下来，我们需要找到函数的散度和旋度的定义，散度定义为每个方向的变化率，旋
度定义为一个方向的变化率减去另一个方向变化率的差值。
由散度和旋度可以计算出梯度：梯度的方向是正负散度变化最大的方向，而梯度的大小则是散度变化和旋度变化的乘积。
散度旋度梯度最常用于机器学习中，它可以用来给出模型参数的最优解。
通过比较散度旋
度梯度和模型参数值不同方向上的变化量，可以最大限度地减少模型参数变化内容，从而
改善模型的预测结果。
有时，散度旋度梯度也可以用来理解特定的特征对数据的影响程度，这在一定程度上有助于提高模型的准确性。
此外，它还可用于优化函数的解求解，以找到
最优的解。
总之，散度旋度梯度是一个重要的数学概念，它可以用来描述一个函数的变化程度，也可
以用于帮助我们更好地理解模型参数与数据之间的关系，从而改善模型的预测结果。
(完整版)梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
旋度散度梯度计算公式
旋度散度梯度计算公式在物理学和工程学中，旋度、散度和梯度是描述场的重要概念。
它们可以用于描述矢量场的变化情况，从而帮助我们更好地理解自然界中的各种现象。
本文将介绍旋度、散度和梯度的计算公式。
旋度旋度是矢量场的一个性质，用于描述一个场在某点旋转的强度和方向。
一般来说，旋度表示矢量场的局部旋转性质。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其旋度计算公式如下：$abla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} $其中$abla \times \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} 的旋度， \vec{i} 、 \vec{j} 和 \vec{k}分别表示x、y和z$方向的单位矢量。
散度散度描述了矢量场的流出或流入程度，它表示一个矢量场在某点的流出量与该点周围的体积之比。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其散度计算公式如下：$abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} $其中$abla \cdot \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} $的散度。
梯度梯度描述了标量场在某点的变化率和方向，它表示一个标量场在某点的最大变化率和该点的方向。
对于一个标量场$ \phi $，其梯度计算公式如下：$abla \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} $其中$abla \phi 表示标量场 \phi $的梯度。
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
散度梯度旋度
散度梯度旋度散度梯度旋度（divergence-gradientrotation）称为“散度-旋度梯度”，是一种有效的流体动力学理论，用于描述和分析流体在三维空间中受外力或内部物理作用的变化规律。
散度-旋度梯度是流体动力学中常用的概念，它可以用来描述流体中受外力或内部物理作用的影响。
此外，它也可以用来模拟流体的流变性和流动状态等。
散度梯度旋度的基本概念是，在三维空间中，流体每一点处，随着时间的流失，流速（即散度）和旋度（即梯度）会有所变化。
它反映出流体在每个空间点处受外力或内部物理作用的影响，以及流动方向和大小的变化。
具体来说，当一个流体处于静止的状态时，它的散度就是0，旋度也是0。
然而，如果外力或内部物理作用开始作用于流体，那么流体每个空间点处的散度和旋度就会变化。
所以，散度梯度旋度可以用来描述流体受外力或内部物理作用的影响，以及流动方向和大小的变化。
散度梯度旋度在流体动力学中有着重要的意义，因为它可以用来模拟流体的流动状态以及流变性。
它可以帮助我们预测流体在空间上的运动，以及流体的流变性如流速和旋度的变化，这对于分析流体的运动和物理特性是非常有用的。
此外，散度梯度旋度还可以用来模拟流体在物体表面上的湍流，以及涡流的产生和变化。
这种湍流的模拟具有重要的意义，因为它可以帮助我们预测流体在不同物体表面上的湍流状态，以及流速和旋度的变化。
总之，散度梯度旋度是一种重要的理论，可以用来描述和分析三维空间内流体受外力或内部物理作用的变化规律。
散度梯度旋度可以用来模拟流体的流变性，以及流动状态等，还可以用来预测湍流的发展过程，以及流速和旋度的变化。
因此，散度梯度旋度理论在流体动力学领域具有重要的意义，对于深入研究流体的物理特性，特别是湍流的特性，散度梯度旋度理论是一种重要的工具。
散度梯度旋度理论比较复杂，它涉及许多有关动力学、物理、数学和计算机学等方面的知识。
它是流体动力学领域的一个重要分支，它的研究可以帮助我们深入理解流体的物理特性和湍流的发展，从而有助于改善进行流体设计的可靠性和效率。
梯度、散度、旋度表达式推导
r r a • dr ∫
所以
lim
s →0
L
S
i r ∂ = ∇× a = ∂x ax
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
k ∂ ∂z az
即
rotn a = lim
s →0
r r a • dr ∫
L
S
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 曲线坐标的引进， 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由 （x, y, z） 三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
H 1 , H 2 , H 3 称为拉梅系数
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式
∂r 考虑到 ∂qi 的大小和方向后，可得下式：
r r r dr = H 1dq1e1 + H 2 dq2 e2 + H 3 dq3e3
这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们 在坐标轴上的投影分别是：
L
S
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
证明如下： 因为： L
r r ∫ a • dr =
∫ (a dx + a dy + a dz)
x y z L
3．旋度 ．
b. 旋度 2) 表示形式 再由线积分转化为面积分可得： 上式=
∫ [(
L
∂a y ∂ax ∂a ∂a ∂az ∂a y − ) nx + ( x − z ) n y + ( − )n y ]dS ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
散度 旋度 梯度 运算
散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。
一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。
散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。
若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。
散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。
此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。
二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的旋转程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。
旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。
若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。
旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。
此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。
三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。
它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。
具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
旋度梯度散度
旋度梯度散度旋度、梯度和散度是向量分析中的三个重要概念，它们在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将就旋度、梯度和散度这三个概念展开讨论，介绍它们的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、旋度的定义和性质旋度是一个向量场的一个重要特征，它描述了向量场的旋转性质。
在三维空间中，给定一个向量场F(x, y, z)，其旋度定义为：rot F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)其中，Fx、Fy、Fz分别表示向量场F在x、y、z方向上的分量。
旋度的几何意义是：旋度的大小表示向量场的旋转速率，而旋度的方向表示旋转轴的方向。
换言之，旋度可以告诉我们向量场在某一点上是否存在旋转，并且可以确定旋转轴的方向。
旋度具有一些重要的性质。
首先，旋度是一个向量，它的方向垂直于曲面元素的法向量，并且符合右手法则。
其次，旋度与向量场的平面性质相关，当旋度为零时，向量场是无旋的，即向量场在任意闭合路径上的线积分为零；当旋度不为零时，向量场是有旋的，即向量场在某些路径上的线积分不为零。
二、梯度的定义和性质梯度是一个标量场的一个重要特征，它描述了标量场的变化率和变化方向。
在三维空间中，给定一个标量场φ(x, y, z)，其梯度定义为：grad φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z)梯度的几何意义是：梯度的大小表示标量场变化最快的方向，而梯度的方向与变化率最大的方向一致。
梯度具有一些重要的性质。
首先，梯度是一个向量，它的方向指向标量场变化最快的方向，并且变化率最大；其次，梯度的大小表示标量场变化的速率，大小越大表示变化越快；最后，梯度是无旋的向量场，即梯度场的旋度为零。
三、散度的定义和性质散度是一个向量场的一个重要特征，它描述了向量场的发散性质。
在三维空间中，给定一个向量场F(x, y, z)，其散度定义为：div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z散度的几何意义是：散度的大小表示向量场在某一点上的发散程度，正值表示向外发散，负值表示向内汇聚。
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∂ ∂x
+
r ay
∂ ∂y
+
r az
∂ ∂z
7
d ⇒∇
dl
柱面坐标系：
r dl = ?
rr r
r
dl = ardr + aϕ (r ⋅ dϕ) + azdz
r ∂ r1∂ r ∂ ∇ = ar ∂r + aϕ r ∂ϕ + az ∂z
8
d ⇒∇ dl
球坐标系：
r dl = ?
rr
r
r
dl = aRdR + aθ (R ⋅ dθ ) + aϕ (R ⋅ sinθ ⋅ dϕ )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r
(∇ • A)dv =
(3r + 2)rdrdϕdz
2π
dϕ
4
dz
5 (3r 2 + 2r)dr
0
0
0
V
V
= 8π ⋅ (r 3 + r 2 ) |50 = 1200π
rr r r r
rr
r
∫ ∫ ∫ ∫ A • ds = A • ds + A • ds + A • ds
侧面
上表面
两个恒等式(可逆)
(1)标量场梯度的r旋度为零
r
∇U r
=
F无旋
r
∫ F无旋 • dl ≡ 0
C
Q ∇ × F无旋 ≡ 0 ——逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零 r
∇ • (∇r × A) ≡ 0
∇• F无散 ≡ 0 ——逆定理…？ 35
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度
r ∂u r 1 ∂u r 1 ∂u 球坐标系中：∇u = aR ∂R + aθ R ∂θ + aϕ R ⋅ sinθ ∂ϕ
10
例题
已知：Vr = V (R,θ ) = V0 ⋅ R ⋅ cosθ
令： Er = −∇V 求： E = ?
直r接法——球坐标系梯度公式！
E = −∇V = ?
∇=?
r ∂ r1∂ r 1 ∂ ∇ = aR ∂R + aθ R ∂θ + aϕ R ⋅ sinθ ∂ϕ
33
小结： 谈谈梯度、散度和旋度
• 梯度：描述标量场，自身是矢量 • 散度：描述矢量场，自身是标量标量
– 描述矢量场的分量沿其自身方向的变化 – 表征场的发散特性
• 旋度：描述矢量场，自身是矢量 - 描述矢量场的分量沿与其垂直方向的变化 - 表征场的旋转特性
34
4.亥姆霍兹定理(公理)
——Helmholtz Theorem
S
C
矢量场旋度在以曲线C为周界的曲面的面积分
＝该矢量沿包围该曲面的封闭曲线的线积分
32
微分算子及恒等式
∇ ×∇u ≡ 0 uv
∇ • (∇ × F ) ≡ 0
∇ • ∇u = ∂2u + ∂2u + ∂2u = ∇2u ∂x2 ∂y2 ∂z2
uv
uv
uv
∇2 F = ∇(∇ • F ) − ∇ × ∇ × F
r divA =
lim
⎛ ⎜
∫
r A
•
r ds
⎞ ⎟
⎜S
⎟
∆V → 0⎜⎜ ∆V ⎟⎟
r
r⎝
⎠
divA = ∇ • A
19
直角坐标系中散度表达式
r divA
=
∂Ax
+
∂Ay
+
∂Az
∂x ∂y ∂z
=
(evx
∂ ∂x
+
evy
∂ ∂y
+
evz
∂ ∂z
)
⋅
(evx
Ax
+
evy Ay
+
evz
Az )
v
=∇⋅A
∆x
ex
∆y
o
x
M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z)
vv l : l0 (cosα ,cos β ,cosγ )
r
ey
∂u ∂l
M0
= lim u(M ) − u(M 0 )
∆l →0
∆l
y ∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
∂l ∂x
∂y
∂z
+
R
1 ⋅ sinθ
⋅
∂Aϕ ∂ϕ
21
散度的物理意义
1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的 函数
2.散度代表矢量场的通量源的分布特性
r ∇•A= ρ =0
无源(无散)
r ∇• A= ρ >0
有源
r ∇•A= ρ <0
有洞
22
高斯定理
散度定义
r
lim
⎛ ⎜
∫
r A
•
r ds
⎞ ⎟
divA =
⎜S
24
例题（答案1200π )
在矢由 量r＝Av 5=，evzr r＝r20+，evzz＝2z4r围验成证r的散圆度柱定形理区域，对
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
V
∇•
r A=
1⋅ ∂ r ∂r
S
(r
⋅
Ar
)
+
1 r
⋅
∂Aϕ ∂ϕ
+
∂Az ∂z
= 3r + 2
25
例题（答案1200π )
作业：1.2, 1.3, 1.7, 1.10, 1.22
38
⎟
∆V → 0⎜⎜ ∆V ⎟⎟
⎝
⎠
含义：单位体积的净流出通量
r
r
divA = ∇ • A
那么：
r
rr
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
23
V
S
高斯定理 ——Gauss’s Law
r
rr
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
V
S
矢量场散度的体积分
＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量
1 的梯度 ∇( 1 )
R
R
∇u = ?
∇u
=
evx
∂u ∂x
+
ev y
∂u ∂y
+
evz
∂u ∂z
v R
=
rv
−rv′
=
ex
(x
−
x′)
+ey
(y
−
y′)
+ez
(z
−
z′)
vv
∇( 1 ) = − R = − R0
R
R3
R2
v R0
是
v R
=
v r
−
rv′
单位矢量
14
特例
∇( 1 ),
R
∇( 1 )
vv
= G ⋅ l0
∂u
v
∂l |max = G
v v ∂u v ∂u v ∂u gradu = G = ex ∂x + ey ∂y + ez ∂z 4
标量的“梯度” Gradient——grad
方向导数中沿那个方向
标量函数对距离的
变化率最大？
？“爬山”
b
d
a
等值面
c
同样的增量情况下，沿什么方向最陡”？
三度、三定理
1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度、高斯定理 3. 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 4. 亥姆霍兹定理
——“三度”、“三定理”
1
1. 标量场、梯度
标量场在空间的分布和变化规律 ——等值面，方向导数，梯度
等值面
标量场可以用一个标量函数表示：
u = u(x, y, z) = u(rv)
R
∇′( 1 ) ?
R
= − ∇′( 1 )
R
15
2.矢量的通量和散度
矢量线-----线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小
vv F × dl = 0
16
2.矢量的通量和散度
矢量在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。
v
v
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
v ∂ v1∂ v ∂ ∇ = er ∂r + eϕ r ∂ϕ + ez ∂z
球坐标系中：
∇
=
r aR
∂ ∂R
r + aθ
1 R
∂ ∂θ
r + aϕ
1 R ⋅ sinθ
∂ ∂ϕ
6
如何记忆 ∇ ？
d ⇒∇ dl
r
直角坐标系：dl = ?
rr
r
r
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
r ax
rotA = ∇ × A
M
29
不同坐标系中旋度表示式
直角坐标系
vv∂ ∂ v∂ ∂ v∂ ∂
rotA
=
ex
( ∂y
Az
−
∂z
Ay
)
+
ey
( ∂z
Ax
−
∂x
Az
)
+
ez
( ∂x
Ay
−
∂y
Ax
)
v
= ∇× A
evx evy evz