旋度和散度PPT课件
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04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
旋度和散度课件PPT
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u • 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
解：
xˆ yˆ zˆ
AB 2 3 413xˆ22yˆ10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
ABC251.443
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX ， PAX
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
X pAAP A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 §1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u • 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
解：
xˆ yˆ zˆ
AB 2 3 413xˆ22yˆ10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
ABC251.443
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX ， PAX
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
X pAAP A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 §1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
物理场论梯度散度和旋度课件
➢在直角坐标系中：
A
P(x,
u max(u ) l
u
(u) • l
u
cos
l
➢梯度性质2：数量场
u(M
)在
M
点处的梯度垂直于
0
该点的等值面，且指向函数 u(M )增大的方向。
➢梯度性质3：梯度gradu 的方向与 u 等值面的法
线重合，且指向 u
增大的方向，大小是
n
方向的
方向导数 u 。
n
梯度
➢梯度性质4：梯度 gradu 的方向，即等值面的法
面
S
某
一侧的曲面积分：
AndS A • dS
S
S
为矢量场
A(M
)向积分所沿一侧穿过曲面
S
的通量。
➢假若：
m
A A1 A2 Am Ai
i 1
则有：
m
n n
A• dS ( Ai ) • dS Ai • dS i
S
S i1
i1 S
i 1
➢通量是可以叠加的。
通量和源
S
曲面积分
➢进一步用矢量表示为：
A Axex Ayey Azez
n
cosex
cos ey
cos ez
cos,cos,cos 分别表示外法向单位矢量在 x, y, z 轴的 投影，则有：
( Ax cos Ay cos Az cos )dS
根据右S 图，有以下关系：
n
z
dS
cosdS dydz cosdS dxdz
cosez
方向导数
➢
以下将讨论数量场
u
在
l
方向的变化规律。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
4.4张量场函数的散度与旋度
gk
g
l
T ijk •••l ; s
lsm gi g j gk gm T :
矢量场函数 F 的旋度为
curlF F i Fj gi g j ijk i Fj gk
1 g
g1 1
g2 2
g3 3
F1 F2 F3
其分量为
ijk iFj
ijk
i F jFmΓimj
ijk i F jFm
Γ ijk m ij
由于 ijk 关于指标 i，j 反对称，Γimj 关于指标 i，j 对称，故上式
中第二项应为零，则
curlF
ijk i Fj gk
1 g
g1 1
g2 2
g3 3
F1 F2 F3
定义 Laplace 算子
2T
• T
gr
•
xr
gs
T x s
gr
•
xr
sT
ijk •••l
T
•
Τ
• jkl i•••,l
gi
g
j
gk
•T
Τ ijk i •••l
gj
gk
gl
n 阶（n≥1）张量场函数 T 的旋度为
T
gs T x s
gs
sT
• i
jkl
g
i
g
j
gk
gl
sim
sT
• i
jkl
gm
g
j
gk
gl
: T
T
T x s
gs
T
ijk •••l ; s
gi
g
j
divF F • • F
divF
第三讲：散度、旋度
1.4矢量场的通量与散度 1.5矢量场的环流与旋度 1、理解散度、旋度的物理意义，掌握其计算公式和方法；2、理解散度定理、斯托克斯定理的物理意义，能灵活运用其作积分变换；3、知道散度、旋度描述了矢量场的不同性质，掌握它们的主要区别。
重点：散度、旋度的物理意义，计算公式。
难点：旋度的概念及其物理意义。
讲授、练习 学时：2学时1.4矢量场的通量与散度若所研究的物理量是矢量，则该物理量所确定的场称为矢量场，如：电场、磁场、速度场等。
矢量场F 可用矢量函数来描述。
如：直角坐标系中()()()()ˆˆˆ,,,,,,,,x x y y z z F F x y z eF x y z e F x y z e F x y z ==++ 1、矢量线1）方程：0F d r ⨯=与坐标系的选择有关，在直角坐标下： 二维场：y x F F dx dy = 三维场：y x z F FF dx dy dz== 2）性质：任意两条矢量线不相交 2、矢量管由于矢量线不相交，通过场中任一闭合线的各矢量线构成一封闭管。
1S 2S通过任意面的矢量线的条数：N F S F S ⊥∆=⋅∆=∆ 或 /F N S ⊥=∆∆（矢量线密度）即：用矢量线的疏密可以表示矢量场的大小。
一、矢量场的几何描述——矢量线二、矢量场的通量1、有向曲面ˆndS e dS=封闭面：外法线开面：与闭合线绕行方向构成右螺旋2、通量矢量F沿有向曲面S的面积分SF dSψ=⋅⎰称为矢量F穿过S面的通量。
若S为封闭面，则SF dSψ=⋅⎰3、通量的物理意义ψ=无源或正源和负源相等0ψ<负源或负源多于正源0ψ>正源或正源多于负源根据净通量的大小可大致判断闭合面中源的性质。
三、矢量场的散度1、散度的概念设封闭面S所包围的体积为V∆,则：SF dSV⋅∆⎰就是矢量场F在V∆中单位体积的平均通量，或称平均通量密度。
当闭合曲面S及其所包围的体积V∆向其内某点M收缩时，若平均通量密度的极限值存在，便记作规定：有向曲面法线方向+3q-q-q+q如何准确确定封闭面内源的分布及某一点源的强弱？limSV F dS divF V∆→⋅=∆⎰称为矢量场F 在该点的散度(div 是divergence 的缩写)。
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值分别是Ax , Ay , Az, 则
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用 8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
和或差: Vector addition or subtraction
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢 量A在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A·B/|A|
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
解：
xˆ
AB 2
yˆ zˆ 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA(A·A)X
X pA A P A A
作业
• P31 1-1 13
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求
定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模 值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手
螺旋关系, nˆ 为A , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production
元的表示 10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量e：x 小e写x 上加倒勾xˆ
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和 差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用 8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
和或差: Vector addition or subtraction
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢 量A在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A·B/|A|
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
解：
xˆ
AB 2
yˆ zˆ 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA(A·A)X
X pA A P A A
作业
• P31 1-1 13
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求
定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模 值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手
螺旋关系, nˆ 为A , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production
元的表示 10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量e：x 小e写x 上加倒勾xˆ
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和 差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模