高中数学 1.2 第2课时 充要条件的应用课件 新人教A版选修21

【解析】1.由题意知:条件:sinα>0,tanα>0,结论:α是第一
象限角,条件⇒结论,应为充分性.
答案:充分
2.必要性:设两个方程有公共根α,则 ∴α2+(a+c)α=0.
2 2

2a 2c

b2 b2

0, 0,
若α=0,代入任一方程得b=0,这与已知a,b,c为△ABC的三边相
【解析】1.选D.如图,由于f(x)是R上的 偶函数,当f(x)在[0,1]上为增函数时, 根据对称性知f(x)在[-1,0]上为减函数. 根据函数f(x)的周期性将f(x)在[-1,0]上的图象向右平移4 个单位,即可得到f(x)在[3,4]上的图象,所以f(x)在[3,4]上 为减函数;同理当f(x)在[3,4]上为减函数时,根据函数的周 期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移4个单位即可得到f(x) 在[-1,0]上的图象,此时f(x)为减函数,又根据f(x)为偶函数 知f(x)在[0,1]上为增函数,所以“f(x)为[0,1]上的增函数” 是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
【变式训练】(2012·山东高考)设a>0且a≠1,则“函数
f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函
数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当f(x)=ax为R上的减函数时,0<a<1,2-a>0,此时
g(x)=(2-a)x3在R上为增函数成立;
当g(x)=(2-a)x3为增函数时,2-a>0,a>0,且a≠1,即0<a<1或
1<a<2,但1<a<2时,f(x)=ax为R上的减函数不成立,故选A.
类型 二 充要条件的证明
பைடு நூலகம்
【典型例题】
1.在“求证:α 是第一象限角的充要条件是sinα >0,tanα >0”
【拓展提升】证明充要条件的注意事项 (1)由充要条件的意义可知,如果原命题与逆命题都是真命题, 即p⇔q,那么p与q互为充要条件.尽管如此,在证明“p的充要 条件是q”(或q是p的充要条件)时,通常将“q⇒p”作为充分 性,将“p⇒q”作为必要性进行证明. (2)一般情况下,必要性比充分性更易于证明,所以可以先证明 必要性,再证明充分性.
【知识点拨】 常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q 的关系有以下四种情形:
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
p与q的关系
p是q的充要条件 q是p的充要条件
p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件
的过程中,由sinα >0,tanα >0推出α 是第一象限角是证明
的
性(填“充分”或“必要”).
2.设a,b,c为△ABC中∠A,∠B,∠C所对边,求证:
方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
【解题探究】1.充分性与必要性分别指的是什么? 2.题2中证明充分性与必要性分别是由谁推谁? 探究提示: 1.充分性是由条件推出结论,必要性正好相反. 2.充分性是由“∠A=90°”推出“方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0有公共根”,必要性正好相反.
第2课时 充要条件的应用
充要条件 一般地,如果既有p⇒q,又有q_⇒__p,就记作p_⇔__q,此时,我们说, p是q的充分必要条件,简称_充__要__条__件__. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
思考:符号“⇔”的含义是什么? 提示:符号“⇔”的含义是“等价于”,例如“p⇔q”可 以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q当且仅 当p”;“p⇔q”的含义还可以理解为“p⇒q且q⇒p”.
p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件
类型 一 充要条件的判断 【典型例题】 1.(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为 周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减 函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件
2.已知命题“若a<0,则函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”,有下
列条件:
①充要;②充分;③必要;④充分不必要;⑤必要不充分;⑥既不
充分又不必要.
其中,命题的结论是条件的
条件.(将满足题意的序号
都填上)
【解题探究】1.如何确定命题的真假? 2.题2中命题的条件与结论分别是什么? 探究提示: 1.对于命题“若p,则q”,由p⇒q一定成立,则为真命题,不一 定成立,则为假命题,通常可举反例验证. 2.条件是“a<0”,结论是“函数f(x)=x2+2x+a有两个零点”.
矛盾.
∴α=-a-c.代入上面方程组中任何一个式子,均可得
a2=b2+c2,∴∠A=90°.
充分性: ∵∠A=90°,∴a2=b2+c2,∴x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0, 即(x+a)2-c2=0,(x+a+c)(x+a-c)=0, ∴x1=-a-c,x2=-a+c. 同理,x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0, 即(x+c)2-a2=0,(x+a+c)(x+c-a)=0, ∴x3=-a-c,x4=a-c. 所以两个方程有公共根-a-c. 综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件 是∠A=90°.
2.函数f(x)=x2+2x+a有两个零点的充要条件为Δ=4-4a>0⇔a<1, 由于a<0⇒a<1,且a<0 / a<1,所以“函数f(x)=x2+2x+a有两个 零点”是“a<0”的必要不充分条件. 答案:③⑤
【拓展提升】确定各种条件的策略 (1)要确定p是q的哪一类条件,关键是判断命题“若p,则q”及 其逆命题“若q,则p”的真假. (2)若p⇔q,则p是q的充要条件,也是充分条件. (3)若p⇒q,且p / q,则p是q的充分不必要条件,p也是q的充分 条件,同时,q是p的必要不充分条件,q也是p的必要条件.