新教材人教A版必修第二册 平面与平面平行 课时作业
人教版高中数学必修第二册8.5.3 第1课时 平面与平面平行的判定 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.5.3平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定2.设α,β是两个不重合的平面,直线m⊂α,则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.对于两条不同的直线l1,l2,两个不重合的平面α,β,下列说法正确的是()A.若l1∥α,l2∥α,则l1∥l2B.若l1∥α,l2∥β,则α∥βC.若l1,l2是异面直线,l1⊂α,l1∥β,l2⊂β,l2∥α,则α∥βD.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α4.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.如图L8-5-27,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()图L8-5-27A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不确定6.(多选题)α,β是两个不重合的平面,则在下列条件中,可以推出α∥β的是()A.α,β都平行于直线lB.α内的任何直线都与β平行C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥βD.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β7.在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q所在平面平行的是()ABCD图L8-5-288.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的是()A.直线A1BB.直线BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知平面α,β和直线a,b,c,若a∥b∥c,a⊂α,b,c⊂β,则α与β的位置关系是.10.用符号语言表述面面平行的判定定理为.11.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是.12.空间中,“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的条件.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-29,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F,G分别为PC,BD,DC 的中点.求证:平面EFG∥平面PAD.图L8-5-2914.(10分)如图L8-5-30所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.图L8-5-3015.(5分)图L8-5-31是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个说法:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有()图L8-5-31A.①③B.①④C.①②③D.②③16.(15分)如图L8-5-32所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N,K分别AB,PC,PA的中点,平面PBC∩平面APD=l.(1)求证:MN∥平面PAD.(2)直线PB上是否存在点H,使得平面NKH∥平面ABCD?若存在,求出点H的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.(3)求证:l∥BC.图L8-5-32参考答案与解析1.B[解析]因为l∥α,m∥α,l∩m=P,l⊂β,m⊂β,所以β∥α.2.B[解析]由m⊂α,m∥β得不到α∥β,α,β还可能相交,充分性不成立.∵α∥β,m⊂α,∴m 和β没有公共点,∴m∥β,必要性成立.故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.3.C[解析]在A中,若l1∥α,l2∥α,则l1与l2相交、平行或异面,故A错误;在B中,若l1∥α,l2∥β,则α与β相交或平行,故B错误;C正确;在D中,若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α或l2⊂α,故D 错误.故选C.4.A[解析]易知EG∥E1G1,∵EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.同理H1E ∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.A[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,∴A1D1∥E1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,∴A1D1∥平面BCF1E1.∵E1和E分别是A1B1和AB的中点,∴A1E1∥BE,且A1E1=BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,∴A1E∥BE1,又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E∩A1D1=A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.故选A.6.BD[解析]对于A,当α∩β=a,l∥a时,不能推出α∥β,故A不满足题意;对于B,若α内的任何直线都与β平行,则α∥β,故B满足题意;对于C,当l与m平行时,不能推出α∥β,故C不满足题意;对于D,由l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β,可知α内存在两条相交直线与平面β平行,则根据面面平行的判定定理,可得α∥β,故D满足题意.故选BD.7.A[解析]由题意可知,经过P,Q,R三点的平面为如图所示的正六边形截面所在平面,记为β,可知N在平面β上,所以B,C错误;MC1与QN是相交直线,所以D不正确.因为RH∥A1C1,RH⊂β,A1C1⊄β,所以A1C1∥β.同理A1B∥β.因为A1C1∩A1B=A1,所以平面A1BC1∥β.故选A.8.AD[解析]如图,易得A1B∥D1C,因为A1B⊄平面ACD1,D1C⊂平面ACD1,所以A1B∥平面ACD1,故A正确;由直线BB1∥DD1,DD1与平面ACD1相交,得直线BB1与平面ACD1相交,故B 错误;显然平面A1DC1与平面ACD1相交,故C错误;易得AC∥A1C1,因为A1C1⊄平面ACD1,AC ⊂平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,由A选项知A1B∥平面ACD1,又A1B∩A1C1=A1,所以平面A1BC1与平面ACD1平行,故D正确.故选AD.9.相交或平行[解析]若α∥β,则满足要求;若α与β相交,交线为l,b∥c∥l,a∥l,则也满足要求.10.a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β[解析]面面平行的判定定理是:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.用符号语言表述为a⊂α,b⊂α,a ∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β.11.平行[解析]在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ,设γ∩β=l,则l⊂β.∵a ∥β,a⊂γ,∴a∥l,又a⊂α,l⊄α,∴l∥α.∵b∥α,b∩l=O,∴α∥β.12.必要不充分[解析]当A,B,C不在平面α同侧时,A,B,C到平面α的距离也可能相等,即△ABC的三个顶点到平面α的距离相等时,平面α与平面ABC可能相交,所以充分性不成立.当平面α∥平面ABC时,A,B,C到平面α的距离必相等,所以必要性成立.13.证明:因为E,F,G分别为PC,BD,DC的中点,所以EG∥PD,FG∥BC.因为EG⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EG∥平面PAD.因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD,所以FG∥AD.因为FG⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以FG∥平面PAD.因为EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面PAD.14.证明:(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1,又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,又EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵G,E分别是A1B1,AB的中点,A1B1AB,∴A1G EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB,又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.15.C[解析]把平面展开图还原为四棱锥,如图所示,则EH∥AB,由直线与平面平行的判定定理,可得EH∥平面ABCD.同理可得EF∥平面ABCD.因为EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面ABCD.因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD.显然平面PAD与平面PAB相交,它们不平行.故选C.16.解:(1)证明:取PD的中点F,连接AF,FN.在△PCD中,易得FN∥DC,FN=12DC,在平行四边形ABCD中,由题意得AM∥CD,AM=12CD,所以AM∥FN,AM=FN,所以四边形AFNM为平行四边形,则AF∥NM.因为AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)存在,点H为PB的中点.证明如下:因为H,N分别为PB,PC的中点,所以HN∥BC,又HN⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以HN∥平面ABCD.同理KH∥平面ABCD.因为KH∩HN=H,所以平面KNH∥平面ABCD.(3)证明:因为BC∥AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD,又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.。
空间直线、平面的平行 课时1 高一数学(人教A版2019必修第二册)
（2）符号语言：对于 和 ， ， 或 .
新知运用
例2 如图所示，在正方体 中， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点.求证： .
方法指导 要证明 ，可证明 ， 且射线 与 ，射线 与 的方向分别相反.
方法总结
在正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，试证明： .
[解析] 因为 为 的中点，所以 .因为 为 的中点，所以 .又 ，所以 .所以四边形 为平行四边形.所以 ，同理 .所以 与 的两条对应边分别平行且方向相同，所以 .
巩固训练
1.已知空间中的两个角 ， 的两边分别对应平行，且 ，则 为( ).
（1）空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.
（2）证明角相等，一般采用三种途径:①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等.
方法总结
如图，在三棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 分别为 ， 的重心，求证： .
[解析] 如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， 分别在 ， 上. ， 分别为 ， 的重心，
巩固训练
， .又 ， 分别为 ， 的中点， ， .
探究2 等角定理
[解析] 如图所示，在正方体 中，取 的中点 ，连接 ， ，则 .
又 ，∴四边形 为平行四边形， .而 ， 分别为 ， 的中点，则 .而 ， ，
∴四边形 为平行四边形. .又 ， .同理，取 的中点 ，连接 ， ，则有 . 与 的两边分别对应平行，且方向都相反， .
人教新课标版数学高一-必修2课时作业10 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定
课时作业(十) 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定A 组 基础巩固1．直线l ∥平面α，直线m ∥平面α，若l ∩m ＝P ，且l 与m 确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．重合D ．不能确定解析：∵l ∥α，m ∥α，l ∩m ＝P ，又l ⊂β，m ⊂β，∴α∥β.答案：B2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列说法：① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α. 其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A3.(2014·山东省济宁一中月考)下列判断正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．A ．①③B ．②④C ．②③④D ．③④解析：本题考查两个平面平行的判定．①②中两个平面可以相交；③是两个平面平行的定义；④是两个平面平行的判定定理，故选D.答案：D4.(2014·北大附中月考)已知直线a ，b ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析：本题考查线面、面面平行的判定和性质．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．故选D.答案：D5.(2014·湖北省武汉一中月考)a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥αc ∥β⇒α∥β； ④⎩⎪⎨⎪⎧ α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥αa ∥c ⇒a ∥α；⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥βa ∥β⇒a ∥α. 其中正确的命题是( )其中正确判断的序号是________．解析：本题考查线面、面面平行的判定和性质的综合应用．以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．答案：①②③④9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)解析：∵H、N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD，易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1，故HN∥平面B1BDD1，故不妨取M点与H点重合便符合题意．答案：M与H重合(答案不唯一，又如M∈FH)10．如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.。
人教A版高中数学必修二导练课时作业：2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.4 平面与平面平行的性质选题明细表知识点、方法题号面面平行的性质1,4,7面面平行性质的应用8,11综合应用2,3,5,6,9,10基础巩固1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是( A )(A)平行(B)相交(C)异面(D)不确定解析:由面面平行的性质定理可知选项A正确.故选A.2.若不在同一直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,则( B )(A)平面α∥平面ABC(B)△ABC中至少有一边平行于平面α(C)△ABC中至多有两边平行于α(D)△ABC中只可能有一边与平面α相交解析:若三点在平面α的同侧,则平面α∥平面ABC,有三边平行于α.若一点在平面α的一侧,另两点在平面α的另一侧,则有两边与平面α相交,有一边平行于α,故△ABC中至少有一边平行于平面α.故选B.3.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C( D )(A)不共面(B)当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面(C)当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面(D)无论点A,B如何移动都共面解析:无论点A,B如何移动,点C到α,β的距离都相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.故选D.4.过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1.答案:平行5.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为.解析:因为平面α∥平面BC1E,所以A 1F BE,所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E,所以FA=B1E=1.答案:16.如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,求证:MN∥平面SBC.证明:在AB上取一点P,使=,连接MP,NP,则MP∥SB.因为SB⊂平面SBC,MP⊄平面SBC,所以MP∥平面SBC.又=,所以=,所以NP∥AD.因为AD∥BC,所以NP∥BC.又BC⊂平面SBC,NP⊄平面SBC,所以NP∥平面SBC.又MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面SBC,而MN⊂平面MNP,所以MN∥平面SBC.能力提升7.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是( D )(A)α∩β=a,b⊂α⇒a∥b(B)α∩β=a,a∥b⇒b∥α,且b∥β(C)a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β(D)α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b解析:A项中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交;B项中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b在平面α或β内;C项中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,若再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β;D项为面面平行的性质定理的符号语言,正确.8.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB= DE,DG=2EF,则( A )(A)BF∥平面ACGD(B)CF∥平面ABED(C)BC∥FG(D)平面ABED∥平面CGF解析:取DG的中点为M,连接AM,FM,如图所示.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形.所以DE FM.因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,所以AB∥FM.又AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.故选A.9.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC = 90°, OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为.解析:由题意可知,AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,所以△ABC∽△A′B′C′,且==.=()2,因为S△ABC=AB·AC=1,所以S△A′B′C′=.答案:10.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1作一截面分别交棱AA1,CC1于点M,Q,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,若截面BQD1M∥平面PAO,求的值.解:因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C,平面BQD1M∩平面ADD1A1=D1M,平面BQD1M∩平面BCC1B1=BQ,所以D1M∥BQ.因为平面BQD1M∥平面PAO,PA⊂平面PAO,所以PA∥平面BQD1M,又因为AP⊂平面ADD1A1,平面ADD1A1∩平面BQD1M=D1M,所以AP∥D1M,又因为D1M∥BQ,所以AP∥BQ.又因为点P为DD1中点,所以点Q为CC1的中点,所以=1.探究创新11.如图所示:ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论.解:当点E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图,取BB1的中点F,AB的中点E.连接EF,FD,DE,因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1,因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD.所以DE∥平面AB1C1.由Ruize收集整理。
高中数学人教a版高一必修二2.2.4《平面与平面平行的性质》word课时作业
高中数学人教a 版高一必修二2.2.4《平面与平面平行的性质》课时作业【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．1．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________． (1)符号表示为：________________⇒a ∥b ． (2)性质定理的作用：利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线． 2．面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂α⇒________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________； (3)平行于同一平面的两个平面________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线M 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、M 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．2．2．4 平面与平面平行的性质 答案知识梳理1．那么它们的交线平行(1)⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b (2)线线平行 2．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行作业设计1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C ．] 2．D [直线a 与B 可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b ．由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立． 因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行， 所以b 惟一．]3．B [面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A′B′，AB ，∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S △A′B′C′∶S △ABC ＝(A′B′AB )2＝(PA′PA )2＝425．]4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]5．D[如图所示，A′、B′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B 中点E ．连接CE 、C′E、AA′、BB′、CC′．则CE∥AA′，∴CE∥α． C′E∥BB′，∴C′E∥β． 又∵α∥β，∴C′E∥α． ∵C′E∩CE＝E ．∴平面CC′E∥平面α．∴CC′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B [当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD ＝245．]7．(1)相似 (2)全等8．平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．]9．15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB＝52×6＝15．]10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ． ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，∴EM∥BB 1，FN∥BB 1， ∴EM∥FN，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME≌Rt △BNF， ∴EM＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF∥MN．又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， ∴EF∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG∥B 1C 1∥BC．又∵EG∩FG＝G ，AB∩BC＝B ， ∴平面EFG∥平面ABCD ． 又EF ⊂平面EFG ， ∴EF∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N∥AM，又AC∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点． 12．解当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC ，证明如下： 取PE 的中点M ，连接FM ，则FM∥CE， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD∩AC＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N∥PC 1，A 1M∥BP， A 1N∩A 1M ＝A 1，C 1P∩PB＝P ， ∴平面A 1MCN∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝3．∴S△A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S△A 1MN ＝26．。
2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行课时作业新人教A版必修第二册
8.5.3 平面与平面平行一、选择题1．如果直线a平行于平面α，则( )A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．答案：B2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．答案：A3.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A4．已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，∴EF∥AB，FG∥BC，又EF⊄平面ABCD，FG⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又EF∩FG＝F，∴由平面与平面平行的判定定理得：平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．答案：B二、填空题5．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行6．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F 的形状是________．解析：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，所以四边形AEC1F是平行四边形．答案：平行四边形7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．解析：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答题8．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．求证：平面EFG∥平面ABD.证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD.又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABD.9．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图1所示， 作PM ∥AB ，交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD，∴PM AB ＝QNDC，又AB 綊DC ，∴PM ∥QN 且PM ＝QN ， ∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN ， 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面CBE .证法二(面面平行⇒线面平行) 如图2，在平面ABEF 内过点P 作PM ∥BE 交AB 于点M ，连接QM ，又PM ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴PM ∥平面BCE ，AP PE ＝AM MB.又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQQB，∴MQ ∥AD ，又AD ∥BC ，∴MQ ∥BC ，MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE ，又PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ，又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .[尖子生题库]10.如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．解析：(1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH . ∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)设EF ＝x (0<x <4)，∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4，∴8<l <12，∴四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．。
新教材人教A版必修第二册 平面 课时作业
平面(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作( ) A.A∈b∈β B.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β选B.点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内,所以b⊂β.2.若一直线a在平面α内,则正确的作图是( )选A.B中直线a不应超出平面α;C中直线a不在平面α内;D中直线a与平面α相交.3.下列命题中,正确的是( )A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面选B.因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.4.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对选C.若这三个点不共线,则这两个平面重合;若这三个点共线,则这两个平面相交.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面α内________.答案:①A∈a,B∈a ②a⊂α6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).图形①中,连接MN,PQ(图),则由正方体的性质得MN∥PQ,根据两条平行直线可以确定一个平面知①正确.分析可知③中四点共面,②④中四点均不共面.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)7.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.证明已知α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,且l1,l2,l3两两不平行.求证:l1,l2,l3必交于一点.证明:因为l1⊂β,l2⊂β,l1与l2不平行,所以l1∩l2=P,因为P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,所以P∈α∩γ=l3,故l1,l2,l3交于一点.8.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.证明因为AB∥CD,所以AB,CD共面,设为平面β,所以AC在平面β内,即E在平面β内.而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法正确的是( )①任意三点确定一个平面;②圆上的三点确定一个平面;③任意四点确定一个平面;④两条平行线确定一个平面.A.①②B.②③C.②④D.③④选C.不共线的三点确定一个平面,所以①错;圆上的三点一定不共线,所以可以确定一个平面,②对;如果四点共线,无法确定平面,所以③错;根据推论3,两条平行线确定一个平面,所以④对.2.如图所示,用符号语言可表述为( )A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈α,m∩n=AC.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nD.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n选A.平面α与平面β相交于m,所以α∩β=m;直线n在平面α内,所以n⊂α;直线m 与直线n相交于A,所以m∩n=A.3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作( )A.A⊂l,l⊂αB.A⊂l,l∈αC.A∈l,l∈αD.A∈l,l⊂α选D.点A在直线l上记作A∈l,l在平面α内,记作l⊂α.4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是( )A.六边形B.五边形C.菱形D.直角三角形选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,直线AD∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D选D.A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D∈γ,且C、D∈β,故C,D在γ和β的交线上.6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,所以β与α重合,所以b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB 与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是________.因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.答案:P∈直线DE8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.因为l∩α=O,所以O∈α. 又因为O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,因为E∈AC,AC⊂平面SAC,所以E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.10.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.(2)因为M为AA1的中点,AA1∥DD1,所以AD=A1E=A1D1=a.因为A1P∥D1N,且D1N=a,所以A1P=D1N=a,于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.11.已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面. 证明(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a.因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为α.因为N∈a,a⊂α,所以N∈α所以NK⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,d⊂α,所以a,b,c,d共面.(2)无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α.所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.。
2021学年数学人教A版必修2课件：课时作业 2-2-1 直线与平面平行的判定
课时作业11直线与平面平行的判定——基础巩固类——1．b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()DA．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：b是平面α外的一条直线，要使b∥α，则b与平面α无公共点，即b与α内的所有直线不相交．2．下列命题(其中a、b表示直线，α表示平面)中，正确的个A数是()①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a∥b，a⊄α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中a可能在α内；②中无b⊂α的条件，推不出a∥α；③中a与b还可能异面．故选A．3．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线CBC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN⊂β.若平面β不过直线MN，由线面平行的判定定理可知MN∥β，故选C．4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m ⊂α，则必有()DA．l∥αB．l⊂αC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ解析：若α∩β＝m，则m⊄γ，此时m∥γ，反之则m∥β；若α∩γ＝m，则m⊄β，此时m∥β，反之则m∥γ.故选D．5．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为P A的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是()A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面P ABC解析：因为O为▱ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q 为P A的中点，所以QO∥PC．由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面P AB，故D正确，选C．6．点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是C()A．0 B．1C．2 D．3解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知BD∥平面.EFGH，AC∥平面EFGH7.如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内，把这块矩形木板绕AB 转动，在转动的过程中，AB 的对边CD 与平面α的位置关系是 ，原因是CD ∥α或CD ⊂α 解析：无论如何，都有CD ∥AB ．CD ∥AB ．8．如下图(1)所示，已知正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图(2)所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是平行．解析：由图(1)可知BF ∥ED ，由图(2)可知，BF ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ，故BF ∥平面AED ．9．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中6与平面ABB1A1平行的直线共有条．解析：过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．10．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AC、AB 的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B 的中点，求证：ME∥平面A′CD．证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG、GD．∵M、G分别是A′B、A′C的中点，∴MG綊12BC，同理DE綊12BC，∴MG綊DE，即四边形DEMG是平行四边形，∴ME∥DG.又∵ME⊄平面A′CD，DG⊂平面A′CD，∴ME∥平面A′CD．11．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．证明：EF∥平面A1CD．证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝12AC且DE∥AC，又F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1，又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．——能力提升类——12．下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④B解析：对图①，可通过证明PN中点与M的连线平行于AB 得到AB∥平面MNP，对图④，可通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B．13.如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM∥平面PBC ．其中正确的个数有()A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．14．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点，则与EO 平行的平面有平面P AD 、平面PCD ． 解析：在△DPB 中，∵O 为BD 的中点，E 为PB 的中点，∴EO ∥PD ，又EO 在平面P AD 、平面PCD 外，PD 在平面P AD 、平面PCD 内，所以EO 与平面P AD 、平面PCD 平行．15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：存在．证明如下：如图，取C 1D 1的中点F ，连接B 1A 交A 1B 于点M ，连接ME ，EF ，B 1F ，C 1D ．因为E 是棱DD 1的中点，F 为棱C 1D 1的中点，所以EF 綊12C 1D ．因为C1D綊B1A，M是B1A的中点，所以EF綊B1M，所以四边形EFB1M为平行四边形．所以B1F綊EM.因为B1F⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，所以B1F∥平面A1BE.。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业10：8.5.3第一课时平面与平面平行的判定
8.5.3 平面与平面平行第一课时平面与平面平行的判定基础达标一、选择题1.下列四个说法中正确的是()A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β『解析』由面面平行的判定定理知C正确.『答案』 C2.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定『解析』∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.『答案』 A3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A.1对B.2对C.3对D.4对『解析』由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.『答案』 D4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A.平面ABB1A1B.平面BCC1B1C.平面BCFED.平面DCC1D1『解析』取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.『答案』 C5.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个『解析』①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.『答案』 B二、填空题6.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________________.『解析』b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故『答案』为相交或平行.『答案』相交或平行7.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).『解析』若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.『答案』平行8.已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为________. 『解析』如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.『答案』12三、解答题9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点.求证：平面ACG∥平面BEF.证明如图，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故OG∥BE.又BE⊂平面BEF，OG⊄平面BEF，所以OG∥平面BEF.因为EF∥AC，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF.又AC∩OG＝O，AC⊂平面ACG，OG⊂平面ACG，故平面ACG∥平面BEF.10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC. 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.能力提升11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.『解析』连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M∈FH.『答案』M在线段FH上12.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F 为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.∵点F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.创新猜想13.(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α『解析』对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交.若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选CD.『答案』CD14.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中()A.平面EFGH∥平面ABCDB.BC∥平面P ADC.AB∥平面PCDD.平面P AD∥平面P AB『解析』把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面P AD，故选项B，C正确.『答案』ABC。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业10：8.5.3 平面与平面平行
8.5.3 平面与平面平行A组基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有()①如果两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等．其中正确的命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．03．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD 的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．不论A，B如何移动，都共面C．当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面D．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′. 若P A′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为()A．2∶5 B．2∶7C．4∶49 D．9∶25二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD．10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．B 组素养提升练11．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．92D ．512．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有( ) A ．BM ∥平面DE B ．CN ∥平面AF C ．平面BDM ∥平面AFND ．平面BDE ∥平面NCF13．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，P A ＝PB ＝AB ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，平面AGF ∥平面PEC ，PD ∩平面AGF ＝G ，ED 与AF 相交于点H ，则GH ＝________.14.如图，四边形ABCD 为矩形，A ，E ，B ，F 四点共面，且△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，∠BAE ＝∠AFB ＝90°. 求证：平面BCE ∥平面ADF .C 组思维提升练15．如图①，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ，D 为AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P -ABCD ，如图②.图①图②求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG.——★参*考*答*案★——A组基础巩固练一、选择题1．『『答案』』B『『解析』』对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．2．『『答案』』C『『解析』』根据面面平行的性质知①②③正确，故选C．3．『『答案』』D『『解析』』夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．4．『『答案』』B『『解析』』如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．5．『『答案』』C『『解析』』因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，所以A′B′∥AB．所以A′B′∶AB＝P A′∶P A．又P A′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.二、填空题6．『『答案』』相交或平行『『解析』』b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c ∥l，a∥l，满足要求，故『答案』为相交或平行．7．『『答案』』平行四边形『『解析』』因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1. 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD．同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．8．『『答案』』a⊂β或a∥β『『解析』』若a⊂β，则显然满足题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β. 三、解答题9．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F 为BC 的中点，所以OF ∥CD ． 又OF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以OF ∥平面PCD ，因为点O ，E 分别是AC ，P A 的中点， 所以OE ∥PC ，又OE ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以OE ∥平面PCD ．又OE ⊂平面EFO ，OF ⊂平面EFO ，且OE ∩OF ＝O ， 所以平面EFO ∥平面PCD ．10．证明：∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∵M 是A 1C 1的中点，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．B 组素养提升练11．『『答 案』』C『『解 析』』如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB 1A 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线， 所以截面是梯形CD 1MN ，易求MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝NC ＝5， 所以此截面的面积S ＝12×(2＋22)×(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝92.12．『『答 案』』ABCD『『解 析』』展开图可以折成如图①所示的正方体．图① 图②在正方体中，连接AN ，如图②所示． ∵AB ∥MN ，且AB ＝MN ， ∴四边形ABMN 是平行四边形．∴BM ∥AN .∴BM ∥平面DE .同理可证CN ∥平面AF ，∴AB 正确；图③如图③所示，连接NF ，BE ，BD ，DM ，CF ，可以证明BM ∥平面AFN ，BD ∥平面AFN ，则平面BDM ∥平面AFN ，同理可证平面BDE ∥平面NCF ，所以CD 正确． 13．『『答 案』』32『『解 析』』因为ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ， AB ＝CD ，因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点， 所以AE ＝FD ，又∠EAH ＝∠DFH ， ∠AEH ＝∠FDH ，所以△AEH ≌△FDH ， 所以EH ＝DH .因为平面AGF ∥平面PEC ，平面PED ∩平面AGF ＝GH ， 平面PED ∩平面PEC ＝PE ，所以GH ∥PE ， 所以G 是PD 的中点，因为P A ＝PB ＝AB ＝2， 所以PE ＝2×sin 60°＝ 3.所以GH ＝12PE ＝32.14.证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD ， 又BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ， ∴BC ∥平面ADF .∵△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形， 且∠BAE ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＝∠ABE ＝45°，∴AF ∥BE ， 又BE ⊄平面ADF ，AF ⊂平面ADF ， ∴BE ∥平面ADF .又BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ， BC ∩BE ＝B ，∴平面BCE ∥平面ADF .C组思维提升练15．证明：在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB．同理EG∥平面P AB．又EF∩EG＝E，EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面P AB．∵AP⊂平面P AB，∴AP∥平面EFG.。
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平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线选D.由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,因为α∥β,a⊂α,所以a∥β.所以a∥b.只有一条.3.下列说法正确的个数是( )①两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;②如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.A.1B.2C.3D.0选A.①错误,这两条相等的线段可能相交或异面;②错误,直线可能在另一个平面内;③正确.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1, BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是( )A.AD1∥平面EFGHB.BD1∥GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD1选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A 中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误; 在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.5.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点(含边界),且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是( )A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).6.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下说法正确的是( )A.BM∥平面ADE∥平面BAFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,则易判定四个说法都正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设平面α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当点S在平面α,β之间时,CS等于________.如图,由题意知,△ASC∽△BSD,因为CD=34,所以SD=34-CS.由AS∶BS=CS∶(34-CS)知,8∶9=CS∶(34-CS),所以CS=16.答案:168.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是________.观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1DC三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.(1)求证:平面MNG∥平面ACD.(2)求S△MNG∶S△ADC.(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H;因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,所以===,且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连接PF,FH,PH,有MN∥PF.又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,所以MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,所以平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知==,所以MG=PH.又PH=AD,所以MG=AD;同理NG=AC,MN=CD.所以△MNG∽△DCA,其相似比为1∶3,所以S△MNG∶S△ACD=1∶9.10.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且=.求证:EF∥平面β.证明(1)若直线AB和CD共面,因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD,所以AC∥BD.又=,所以EF∥AC∥BD.所以EF∥平面β.(2)若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在△BAC中,EG∥AC,而AC⊂平面α,EG⊄平面α,所以EG∥α.又α∥β,所以EG∥β.同理可得GF∥BD,而BD⊂β,GF⊄β,所以GF∥β.又EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面β.综合(1)(2)得EF∥平面β.补偿训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.求证:(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.证明(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以N为AC 中点.又因为M为AD1中点,所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D,由(1)知MN∥平面CC1D1D,又MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件( )A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线,n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β选C.要使α∥β成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β,由平面和平面平行的判定定理可得α∥β.2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C ( )A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面选D.无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.3.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为( )A.1B.2C.3D.0选C.根据面面平行的性质知①②③正确.4.(多选题)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是( ) A.m∥β B.n∥αC.m∥nD.m与n不相交选ABD.由平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β知:在A中,m∥β,故A正确;在B中,n∥α,故B正确;m,n平行或异面,一定不相交.故C错误,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,则MN__________平面SBC.过N作NG∥AD,交AB于G,连接MG,可得=,由已知条件=,得=,所以MG∥SB.因为MG⊄平面SBC,SB⊂平面SBC,所以MG∥平面SBC.又AD∥BC,所以NG∥BC,NG⊄平面SBC,BC⊂平面SBC,所以NG∥平面SBC,NG∩MG=G,所以平面SBC∥平面MNG,因为MN⊂平面MNG,所以MN∥平面SBC.答案:∥6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.如图,由面面平行的性质知截面与平面AA1B1B的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1,D分别为B1C1,BC的中点.求证:平面A1D1B∥平面ADC1.证明连接D1D.因为D1DB1BA1A,所以四边形A1ADD1为平行四边形,所以A1D1∥AD.因为A1D1⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1D1∥平面ADC1.因为BD1∥DC1,BD1⊄平面ADC1,DC1⊂平面ADC1,所以BD1∥平面ADC1,又因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1D1B∥平面ADC1.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又因为D1B ⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又因为D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.补偿训练如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,==2.求证:平面MNO∥平面PAD.证明在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以==2,又=2,所以ON∥BC∥AD.因为AD⊂平面PAD,ON⊄平面PAD,所以ON∥平面PAD.在△PAC中,==2,所以OM∥AP,因为AP⊂平面PAD,OM⊄平面PAD,所以OM∥平面PAD,因为OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,且OM∩ON=O, 所以平面MNO∥平面PAD.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)若E为A1C1的中点,求证:DE∥平面ABB1A1;(2)若E为A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,求的值. (1)取B1C1的中点G,连接EG,GD,则EG∥A1B1,DG∥BB1,又EG∩DG=G,A1B1∩BB1=B1,所以平面DEG∥平面ABB1A1,又DE⊂平面DEG,所以DE∥平面ABB1A1.(2)设B1D交BC1于点F,连接EF,则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.因为A1B∥平面B1DE,A1B⊂平面A1BC1,所以A1B∥EF.所以=.又因为△BDF∽△C1B1F,所以==,所以=.补偿训练如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA′=3∶2.求△A′B′C′的面积.相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A′B′,由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.同理相交直线BB′,CC′确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B′C′,从而BC∥B′C′.同理:AC∥A′C′.所以∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反,所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.所以△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等,所以△ABC∽△A′B′C′,因为AB∥A′B′,AA′∩BB′=O,所以在平面ABA′B′中,△AOB∽△A′OB′.所以==.而=AB·AC=×2×1=1,所以=,所以==×1=.。