单叶双曲面上两族直母线的唯一性
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
4.5.1：单叶双曲面
y
x
h a
h0
h a
如果用平行于 yOz 的平面来截割单叶双曲面 (4.5-1),那么它与用平行于 xOz 的平面来截割所得 结果完全相类似. z
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
xh
y2 z2 h2 2 2 1 2 c a b x h
y
h a
与x轴与y轴分别交于点
a,0,0与(0,b,0),
这四点叫做单叶双曲面的顶点.
1. 单叶双曲面关于坐标 原点、各坐标面、坐标 轴对称
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
z z
M (x,y,z)
单叶双曲面与x和y 坐标轴的交点分别 为
0
N
( a,0,0), (0,b,0),
2
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , c b a y h.
x z 2 2 0, 或 c a y b,
这是两条直线
x2 z 2 2 2 0, c a y b. x z 0, a c y b;
因为 a b ，所以椭圆的长半轴为 a 轴为 b 1 h 2 ，从而椭圆焦点的坐标为
c2
h2 1 2 c
，短半
x a 2 b2 y 0, z h.
h2 1 2 , c x2 y2 1, 2 2 2 h h 2 a (1 2 ) b (1 2 ) c c z h.
y2 z2 2 2 1, c (3) b x 0.
这样， 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而产生的， 这个椭圆在变动中 保持所在的平面与 xOy 面平行， 且两对顶点分别 沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动
单叶双曲面与双曲抛物面
（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点， 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线 Back
通过这点. 通过这点.
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 同族
例题
例1 求过单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + = 1 上的点 ( 6, 2,8 ) 的直母线的方程. 的直母线的方程. 9 4 16
x2 y2 z 2 两族直母线方程为 方程为： 分析: 分析: 单叶双曲面 + = 1 的两族直母线方程为： 9 4 16
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
Back
直纹曲面模型
直纹曲面模型
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 + 2 2 =1 2 a b c ( a, b, c > 0)
x y a + b = 2u, (u ∈ R ) u x y = z , a b x y a b = 2v, (v ∈ R) . x y v + = z , a b
（4.7-3） 4.7-
与
（4.7-4） 4.7-
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
【最新精选】解析几何之直纹面
解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。
下面介绍一下直纹面。
定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。
这样一族直线称为S 的一族直母线。
简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。
种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。
证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。
()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。
存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。
空间解析几何第三版答案
空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1. 求点m(a,2. 设 a(?3,3. 证明 a(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点对称点的坐标． x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x． 2,3)b(3,1,5) c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．4. 设?abc的三边?，?，?，三边的中点依次为d，e，f，试用向量表示，，，并证明：??? ．5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量与z轴间的夹角?．7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为0?，求向量在x轴上的投影．43,5)，c(3,?1,?2)计算：2?3，8. 已知：空间中的三点a(0,?1,2)，b(?1,?4．9. 设a??2,10. 设：??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．11. 设：?3?5?2，?2?4?7，?5??4，?4?3?试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3．12. 证明：(?)?(?)??．13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求?，(?)． ?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x15. 设??0,1,?2?，??2,?1,1?求与和都垂直的单位向量．0)，b(?2,1,3)，c(2,?1,2)求?abc的面积．16. 已知：空间中的三点a(1,1,17. （1）设∥求? （2??1求?18.?3?5，试确定常数k使?k，?k相互垂直．?19. 设向量与互相垂直，(a?c)??3?，(b?c)??6?1?2?3?．20. 设：??3?5，??2??3求a?b21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a；（2）(3?2)?(?3)；（3）a与b的夹角．?22. 设：(?)?23. 设：a??1,?6?1?．?（1）a?b；（2）a?b；（3）cos(?)． ?1,2?，???1,?2,1?，试求： 24.?3?26?72，求a?b．25. 设a与b相互垂直，?3?4，试求（1）(a?b)?(a?b)；（2）(3a?b)?(a?2b)．26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27. 已知：求（1）（2）（3）4） ?3?2?，???2，a?b；a?i?b．(?2)?(2?3)；(?)?28. 求与a??2,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量．29. 已知：a??3,?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影．30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线．31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹角．32. 设：??2,?3,6????1,2,?2?向量在向量与?342，求向量的坐标．?33.?4?3，(a?b)?34. 求过点p0(7,35. 过点p0(1,36. 过点m(1,37. 过点a(3,?6求以?2和?3为边的平行四边形面积． 2,?1)，且以??2,?4,3?为法向量的平面方程． 0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．?3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，b(4,?1,?1)，c(2,0,2)的平面方程．38. 过点p0(2,1,1)且平行于向量??2,1,1?和??3,?2,3?的平面方程．39. 过点mo（1，?1，1）且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方程．40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；（2）过点a（?3，1，?2）和b（3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点a（3，1，?5）；（4）过点p1（1，?5，1）和p2（3，2，?2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0．43. 求下列直线方程（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量???3，?2，1?；（2）过点mo(3，4，?2)且平行z 轴；（3）过点m1（1，2，3）和m2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2z?1?0 （1）?；（2）?；（3）? 3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0???45. 将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?；（2）?25． 5y?z?2???y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线与的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线64．求下列各对直线的夹角（1）x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1（2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?x?1yz?1??49. 证明直线与4?1350. 设直线 lx?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ?． 3?y?z?1?0 x?2z?0??x?2y?z?1?0 与 ??x?y?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程． ??x?y?z?054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程．55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l与平面??3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线l1与l2都?18?3?z??11?10t?垂直，求直线l的方程．57. 已知直线：l1:??x?y?z?1?0?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程．及点 p(3，?2x?y?z?4?058. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程． ?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．?z?062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x??z2?2；（1???10；（2）（3）（4） x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2．434363. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形x2y2z222?1．??1；（3）z?4x；（4）4y? （1）3x?4y?1；（2）32322自测题 (a)(一) 选择题1．点m(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（）a．5b．4 c．1d．422．点a(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（）a．(2,?1,?3)b．(?2,?1,3)c．(2,1,?3) d．(?2,1,?3)3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（）a．?20,0,16?b．?5,4,?20?c．?16,0,?20? d．??20,0,16?4．设向量?4?2?4，?6?3?2，则(3?2)(?3)=（）a．20 b．?16c．32 d．?325．已知：a(1,2,3),b(5,?1,7),c(1,1,1),d(3,3,2)，则prja．4 b．1 c．cd?ab= （） ?1 d．2 26．设?2????2?，则(?)?(?)?（）a．?i?3j?5k b．?2i?6j?10kc．2?6?10 d．3i?4j?5k7．设平面方程为x?y?0，则其位置（）a．平行于x 轴 b．平行于y 轴 c．平行于z 轴 d．过z 轴．8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a．平行 b．垂直 c．相交 d．重合9．直线x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（） ?2?73 a．平行 b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a(0,?1,0)到直线???y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0c．a．5 b．(二) 填空题 1611d． 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt>一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1)组成的四面体的体积是___??___. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.?????????x?y3.点(1,0,1)到直线?的距离是3x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是___________. ?x2?y2?z?05.曲线c:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.?x2?2y6.曲线c:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线?z?0c绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________. x2y2z27.椭球面???1的体积是_____??????____________.9425二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点p(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解: 设点p(a,b,c)在平面z?0上的射影点为m1(a,b,0)，在平面x?0上的射影???????点为m2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为m3(a,0,c)，则m1m2?(?a,0,c)，???????m1m3?(0,?b,c)x?a??????????????于是m1，m1m2，m1m3所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0??(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是v1?{1,?1,0} l2的标准方程是xyz?2??，l2经过点m2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于110xyz?1??，l1经过点m1(0,0,?1)，方向向量1?10是003???????(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。
单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线，被广泛用作几何学上形状最核心的概念，在平面几何学中，用于表示复杂的曲线以及许多其他形状。
它被认为是三维空间中表面曲率最大的曲线，其中最重要的曲率有两个，一个是曲率系数，另一个是角度系数。
因此，它在几何学中被认为是一种特殊的曲线，具有它独特的性质。
单叶双曲面的直母线的形状由一个曲面的曲率决定，它的几何形状与它的曲率密切相关，是这个曲面上变形最小的子曲线。
该曲线本身就是一个局部结构，形状取决于曲面整体结构和曲面的曲率分布，并且每一个点处的曲率值都会发生变化，但它们在一定范围内也具有一定的相似性，能够表现出特定的形状特征。
单叶双曲面的直母线具有它独特的性质，它的母点（转折或半径点）是边缘上最大曲率值的点，它是一个与圆轴垂直的半径向量，并且球面线性曲率表示为等距射线取曲面上每个点处的曲率值，它与曲率比直接相关，这使得它可以方便地用来建立诸如应力和应变分布等几何参数。
单叶双曲面的直母线被广泛应用于决定复杂表面的曲率，也可以用作分析曲面的变形情况，同时也用于做计算几何的连接线，而且用于定义几何形状和构建复杂表面。
它的应用范围很广，不仅可以应用于实际制造，例如汽车制造中，还可以用于推理和几何学等理论研究，以提升精密制造的技术水平。
总之，单叶双曲面的直母线是一种具有巨大运用可能的特殊曲线，可以用来表示曲面的曲率和角度系数，并可以应用于实际制造和推理几何学研究，作为精密制造技术发展的主要基础。
4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线： 是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
分析: 分析:
如果曲面 S 上存在一族直线， 上存在一族直线， (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上; 族中的某一条直线上; (2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面.它有两族直母线： 是直纹曲面.它有两族直母线：
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
解析几何试题
一、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分）1、当两向量a ，b 有等式a b a b +=-成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向 B a ，b 反向 C 2a =2b D a b ⊥2、已知向量a ，b不共线，若7ka b +与4a b +线性相关，则k 等于 .A 4B 7C 28D -283、当两平面523140x y z +++=与28100x my z +-+=垂直时，m 应为 .A 2B 7C 7-D 14 4、直线16:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩与2158:121x y z L --+==-的夹角为 . A 6π B 4π C 3π D 2π5、直线23743x t y t z t =-+⎧⎪=--⎨⎪=⎩与平面422100x y z --+=位置关系是 .A 平行B 垂直C 相交D 直线在平面上6、空间两直线111111c c z b b y a a x -=-=-与222222c c z b b y a a x -=-=-（其中222111::::c b a c b a ≠）的位置关系是 .A 异面B 平行C 相交D 重合7、方程0222222=-+c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面 B 锥面 C 椭球面 D 双曲面8、二次曲线()0,=y x F 按其中心进行分类，二次曲线22224630x xy y x y -+--+=属于 . A 中心曲线 B 无心曲线 C 线心曲线 D 直线9、球面2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=与xoy 面相切，则其系数必满足关系式 .A 224D F G +=B 224D E G +=C 224E F G +=D 224D G F +=10、曲面的参数方程为()()(),x a u v y b u v u v z uv =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩为参数，则曲面是 .A 单叶双曲面B 双叶双曲面C 椭圆抛物面D 双曲抛物面二、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分） 1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的面积是 . 2、若0a b c ++=，且5a =，2=b ，3c =，则()a b c +⋅= . 3、如果点(2,1,1)P --关于平面π的对称点为'(2,3,11)P -，那么π的方程是 .4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()4,2,4-P ，则该球面的标准方程是 .5、平面014632=+-+z y x 的法式方程是 .6、点(3,4,1)P -到直线⎩⎨⎧=+=-00y x y x 的距离是是 .7、坐标原点O 关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与平面0932=--+z y x 平行且在Oz 轴上截距等于8的平面方程是 .9、曲线22125160x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转一周生成旋转曲面的方程是为 .10、线心二次曲线02364422=+-++-y x y xy x 的中心直线的方程为 . 三、计算题（请写出详细的解答过程，1、2小题7分，3小题6分，共20分）1、已知{1,0,0},{0,1,2},{2,2,1}a b c ==--=，求一单位向量m ，使得m c ⊥，且m 与,a b 共面.2、确定λ的值使两直线1111:12x y z L λ-+-==与2:11L x y z +=-=相交. 3、二次曲线2224260x axy y x y ++---=，当a 的值取何时为椭圆型曲线、双曲型曲线、抛物型曲线. 四、求方程. （请写出详细的解答过程，每小题8分，共40分）1、求通过直线1129:133x y z L ---==与平面3520x y z +--=的交点，并且与L 垂直的平面方程. 2、求通过点(2,1,0)P -，且又与直线12:213x y z L +-==-垂直相交的直线的方程. 3、试求通过点(0,3,1)P -且与xoy 平面的交线为22160x y z ⎧+=⎨=⎩的球面方程.4、已知圆柱面的准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求该圆柱面的方程.5、光线沿直线3010x y x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面:10x y z ∏+++=上，求该光线的反射线所在的直线方程.一、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、当两向量a ，b 有等式a b a b -=+成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向 B a ，b 反向 C 2a =2b D a b ⊥ 2、已知向量a ，b不共线，若9ka b +与5a b +线性相关，则k 等于 .A 9B 5C 45D -453、当两平面23140x y z +++=与39100x my z -+-+=垂直时，m 应为 .A 15B -15C 10D -104、直线11:112x y z L --==-与平面230x y z +--=的交角为 . A 6π B 4π C 3π D 2π5、直线2994x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩与平面347100x y z -+-=位置关系是 .A 平行B 垂直C 相交D 直线在平面上6、已知方程1222222=-+-+-k c z k b y k a x （其中222,,,0c b k a k c b a ≠<>>>）则当k 满足 时，方程表示一双叶双曲面A 2c k <B 22c k b >>C 22b k a >>D 2222b k c a k b <<<<或7、方程222000222()()()0x x y y z z a b c ---+-=()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面 B 锥面 C 椭球面 D 双曲面8、二次曲线()0,=y x F 按其渐近方向进行分类，二次曲线0565222=+-+++y x y xy x 属于 . A 抛物型曲线 B 双曲型曲线 C 椭圆型曲线 D 圆柱型曲线9、若直线的方向角为,,,γβα则下列式子中正确的是 .A 2cos cos cos 222=++γβα B0cos cos cos 222=++γβα C 1sin sin sin 222=++γβα D2sin sin sin 222=++γβα 10、曲面的参数方程为sec cos sec sin 22tan x a y b z c αβππααβπβπα=⎧⎛⎫-<<⎪ ⎪=⎨ ⎪⎪-≤<=⎝⎭⎩，则曲面是 .A 椭球面B 单叶双曲面C 双叶双曲面D 抛物面二、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的重心坐标是 .2、若0a b c ++=，且5a =，2=b ，3c =，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a .3、如果点(1,2,3)P --关于平面π的对称点为'(1,4,9)P -，那么π的方程是 .4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()6,2,8P --，则该球面的标准方程是 .5、自原点指向平面326350x y z -++=的单位法向量0n = .6、点(6,7,8)P -到直线00x z x z -=⎧⎨+=⎩的距离是是 .7、坐标原点O 关于平面22120x y z -+--=的对称点的坐标是 .8、与平面0932=--+z y x 平行且通过点()1,2,3的平面方程是 .9、曲线22125160x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转一周生成旋转曲面的方程是为 .10、中心二次曲线034864322=+--+-y x y xy x 的中心为 . 三、计算题（请写出详细的解答过程，1、2小题7分，3小题6分，共20分）1、若向量3a b +垂直向量75a b -，向量4a b -垂直向量72a b -，求向量a b 与的夹角.2、确定λ的值使两直线3260:4150x y z L x y z λ-+-=⎧⎨++-=⎩与x 轴相交.3、二次曲线222210x axy y x y ++---=，当a 的值取何时为椭圆型曲线、双曲型曲线、抛物型曲线. 四、求方程（请写出详细的解答过程，每小题8分，共40分）1、平面π过Ox 轴，且与平面0:0x y π+=的夹角为3π，求平面π的方程.2、求通过点(1,1,1)P ，且又与直线2:213x y z L +==-垂直相交的直线的方程.3、已知单叶双曲面的轴与三坐标轴重合，且通过椭圆0,141622==+z y x与点(4,M ，求（1）单叶双曲面的方程；（2）该单叶双曲面与平面032=+-z x 的交线对xoy 平面的射影柱面的方程.4、已知圆锥面的顶点在坐标原点O ，准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，且轴线垂直于这三点所在的平面，求该圆锥面的方程.5、设直线20:10x z L y z +=⎧⎨++=⎩与平面:10x y z ∏+++=的交点为P ，在平面∏上求过点P 且垂直于直线L 的直线方程.一、判断题（请将你认为正确的论述在题目后面的横线上写T ，错误写F ，每题1分共10分）1、共面的三个向量中一定有两向量是共线的.2、若0 =⨯b a ，0=⨯c a ，那么0 =⨯c b . 3、若c b c a ⨯=⨯且0 ≠c ，那么b a=. 4、对任意的三个向量a ，b ，c 均有()()c b a c b a ⨯⋅=⋅⨯. 5、对任意的向量a ，b均有()()22b a b a b a -=-⋅+. 6、对任意的向量a ，b ，c 均有()()c b a b a c b a ,,,,=++μλ. 7、由方程191636222=--z y x 所表示的图形是一个单叶双曲面.8、单叶双曲面与双曲抛物面统称为双曲面，它们都有一个对称中心.9、对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.10、二次曲线的渐近线与这二次曲线没有交点.二、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、当两向量a ，b 有等式b a b a -=+成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 同向且b a ≥. D a ，b 反向且b a ≥. 2、已知向量a ，b 不共线，若b a k 5+与b a -3线性相关，则k 等于 .A 3.B 5.C 15.D 15-. 3、向量a ，b ，b a⨯共面的充要条件是 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 共线. D a ，b垂直.4、当两平面01432=+-+z y x 与01042=+-+z my x 垂直时，m 应为 . A 2. B 7-. C 7. D 14.5、直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=23321t z t y t x 与平面01032=+-+z y x 位置关系是 .A 平行.B 垂直.C 相交 .D 直线在平面上.6、方程0222222=-+c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面. B 锥面. C 椭球面. D 双曲面.7、将椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ01916:22z y x 绕其长轴旋转所得的旋转曲面的方程是 . A 116916222=++z y x . B 19916222=++z y x . C 11699222=++z y x . D 191622=+y x .8、二次曲线()0,=y x F 按其渐近方向进行分类，二次曲线0565222=+-+++y x y xy x 属于 . A 抛物型曲线. B 双曲型曲线. C 椭球型曲线. D 圆柱型曲线.9、二次曲线522=+y x 在点()1,2的切线方程是 . A 52=+y x . B 52=-y x . C 52=-y x . D 52=+y x .10、球面8222=++z y x 与曲面0222=-+z y x 的交线方程，在下列表示法中错误的是 . A ⎩⎨⎧=+=++z y x z y x 2822222. B ⎩⎨⎧==++28222z z y x . C ⎩⎨⎧=+=+242222z x y x . D ⎩⎨⎧==+2422z y x .三、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的重心的坐标是 .2、若0 =++c b a ，且1=a ，2=b ，3=c ，则()=⋅+c b a .3、若()0,,≠c b a ，且0=⋅=⋅=⋅c r b r a r ，则r = . 4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()4,2,4-P ，则该球面的标准方程是 .5、自原点到平面014632=+-+z y x 的距离p = .6、球心在原点且与平面01432=+-+z y x 相切的球面标准方程是 .7、坐标原点O 关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与0932=--+z y x 平行且在Oz 轴上截距等于5的平面方程是 .9、已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ01169:22z y x 与点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,223，则该椭球面的方程为 .10、二次曲线05642222=+--+-y x y xy x 按其中心的分类，该二次曲线属于 . 四、计算题. （请写出详细的解答过程，每小题10分，共50分）1、已知直角坐标系内A ()1,0,1、B ()5,2,2、C ()6,4,3、D ()5,5,5四点坐标，判别它们是否共面？如果不共面，求以它们为顶点的四面体的体积和从顶点D 所引出的高的长.2、求通过直线⎩⎨⎧=+--=--+032032z y x z y x ，且与平面018=+-+z y x 垂直的平面方程.3、已知两直线：521:1z y x l ==，433221:2-=-=-z y x l ，判断两直线是否为异面直线？若为异面直线求两直线间的距离与它们的公垂线方程. 4、已知圆柱面的准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求该圆柱面的方程.5、求二次曲线0422222=+-+-y x y xy x 在点()1,2的切线方程.一、判断题（请将你认为正确的论述在题目后面的横线上写T ，错误写F ，每题1分共10分）1、一组共线向量一定是共面向量.2、若0=⋅b a，0 =⨯c a 且0 ≠a ，那么0=⋅c b . 3、若c b c a ⋅=⋅且0 ≠c ，那么b a=. 4、对任意的三个向量a ，b ，c 均有()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅. 5、对任意的向量a ，b 均有22b a b a b a -=-⋅+. 6、对任意的向量a ，b ，c 均有()()c b a a c c b b a ,,2,,=+++. 7、由方程1963222=+-z y x 所表示的图形是一个双叶双曲面.8、椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心.9、对于双曲抛物面上，异族的任两条直母线必共面.10、二次曲线()0,=y x F 的非零特征根确定的主方向为二次曲线的渐近方向.二、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、 当向量b a⊥时，下列等式成立的是 A b a b a -=+ B b a b a +=+ C b a b a -=+ D b a b a +=- 2、已知向量a ，b 不共线，若b a 52+与b k a -6线性无关，则k 不能等于 .A 2.B 6.C 15.D 15-. 3、对于非零向量a ，b，在何时()b a b a ⨯,,取得最大值 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 共线. D a ，b垂直.4、当两平面01432=+-+z y x 与01062=+-+z my x 平行时，m 应为 . A 2. B 3 . C 4. D 6-.5、直线32231+=--=+z y x 与平面01032=+-+z y x 位置关系是 . A 平行. B 垂直. C 相交 . D 直线在平面上.6、方程()()()0321222222=+--+-c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面. B 锥面. C 椭球面. D 双曲面.7、二次曲线()0,=y x F ，其非渐近方向的个数有 .A 0个.B 1个.C 2个.D 无数多个.8、将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-Γ01916:22z y x 绕实轴旋转所得的旋转曲面的方程是 .A 19916222=--z y x .B 116916222=+-z y x .C 19916222=+-z y x . D 191622=-y x9、二次曲线136422=+y x 在点()3,3的切线方程是 . A 1233=+y x . B 1233=-y x . C 1233=-y x . D 1233=-y x .10、二次曲线010*********=+-++-y x y xy x 按其渐近方向进行分类，该二次曲线属于 .A 双曲型曲线.B 抛物型曲线.C 椭球型曲线.D 圆柱型曲线.三、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()()3,2,1,,=i z y x P i i i i ，则321P P P∆的重心的坐标是 . 2、若0 =++c b a ，且1=a ，2=b ，3=c ，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a . 3、若c b a ,,是两两相互垂直且成右手次序的三个向量，且1=a ，2=b ，3=c ，，则()b c a = .4、球面的方程是05442222=++--++z y x z y x ，则该球面的球心坐标是 ，半径是 .5、自原点指向平面014632=+-+z y x 的单位法向量0n = .6、两平行平面014632=+-+z y x 与07632=--+z y x 的距离p = .7、坐标原点关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与0932=--+z y x 平行且通过点()1,1,1的平面方程是 .9、二次曲线054222=+-++-y x y xy x 按其中心的分类，该二次曲线属于 . 10、抛物线px y 22=的主直径方程是 .四、计算题. （请写出详细的解答过程，每小题10分，共50分）1、已知直角坐标系内A ()1,1,1、B ()4,1,3-、C ()6,1,5、D ()5,2,4四点坐标，判别它们是否共面？如果不共面，求以它们为顶点的四面体的体积和从顶点所引出的高的长.2、设一平面与已知平面0332=--+z y x 平行，且与三个坐标平面围成的四面体的体积为6，试求该平面的方程.3、已知两直线：0111:1+=-=z y x l ，12111:2z y x l =-=-，判断两直线是否为异面直线？若为异面直线求两直线间的距离与它们的公垂线方程.4、已知圆锥面的顶点在坐标原点O ，准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，且轴线垂直于这三点所在的平面，求该圆锥面的方程.5、求二次曲线0183622=+++--y x y xy x 的渐近线.。
单叶双曲面直母线族中平行直线的性质
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先 在 单 叶 双 曲 面 上 取 一 点 为计 算 方便 不 妨 将 此 点取 成 曲面 与
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4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中 为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与
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作者简介 ： 刘德金 （９ ７一） 男． １５ ， 山东武城人 ， 州学院数 学系教授 。研 究方 向： 德 几何与一般拓扑的教学与研 究。
一
３ ７
潍坊 学院学报
２ １ 年 ４月 ０２
由此 又可得 到两 族直母 线
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（＋ 一（互 和， ｛＋ 一（ｘ 詈 ＋ ） 詈 一 ） ａ 族 口 【 叫１ ） 【 ｚｔ＋ ） 甜 一一 （ 一 一＿（詈 （ ｃｔ
且大 大简 化 了以往对 该 问题 的讨 论 。
结论 证明
单 叶双 曲面上 只要 有直线 ， 它一定 是 （） Ｕ族或 族 直母线 中 的直线 。 则 ２中 若 一 直 线 是 单 叶 双 曲 面 （ ） 的 直 线 ， 它 一 定 与 ｚ 平 面 相 交 ， 且 交 点 在 腰 椭 圆 １上 则 ０ 并
第 １ 第 ２期 ２卷
２１ ０ ２年 ４月
潍 坊 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｅｆｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＷ ｉ ｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ ａ ｙ
Ｖｏ．１ ． １ ２ Ｎｏ ２ Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
单 叶双 曲面 上 两 族 直 母 线 的 唯 一 性
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双 曲 面上 已知 两族 直母 线存 在 的唯 一性 问题 ， 简化 了以往 对该 问题 的讨论 。
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关键 词 ： 叶双 曲面 ； 单 直母 线 ； 椭 圆 腰 中图分 类号 ： ８ ． ０１ ２ ２ 文献标 识码 ：Ａ
６ 文章 编号 ：６ １ ４ ８ （０ ２ Ｏ —０ ３ 一Ｏ 和 １７ － ２ ８２ １ ）２ ０７ ３
［］ ３李世 国． ｕ Ｃ Ｄ高级开发技术 ： Ｒ Ａｔ Ａ ｏ Ａ Ｘ编程及应用［ ． Ｍ］ 北京 ： 机械工业 出版社 ，９９ １９． ［］ ４王金敏 ， 崔奇 ， 方沂． 一种基于 Ｏ ｊ ｔ Ｒ ｂ ｃＡ Ｘ技术 的扫掠体 求解算法［ ． ｅ Ｊ 工程 图学学报 ， ０ ，６ ：ｌ ５ ］ ２ ５ （）１一１． ０ ［］ ５ 张先宏， 彭颖红 ， 阮雪榆． Ｏ ｊ ｔ Ｒ 用 ｂ ｃ Ａ Ｘ建 立复 杂零 件模 型的关键 技术研究［］模具技术 ， ０ ，１ ：一３ ｅ Ｊ． ２ １（）ｌ ． ０
Ｌ Ｕ Ｄ － ｎ ＪＡ Ｇ Ｈｏ ｇｂｎ Ｉ ｅ ｉ。 Ｉ Ｎ ｎ －ｉ ｊ
（ ｚ ｏ ｎ ｖｒｉ Ｄｅ ｈ ｕ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｙ。Ｄｅ ｈ ｕ ２ ３ ２ ｚ ｏ ５ ０ ３，Ｃ ｉ ａ ｈ ｎ ；Ｌ ｉ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｃ ｏ ｆＳ ａ ｄ ｎ ａ ｙ ｎ ｒ ｌ ｈｏ ｌ ｈ ｎ ｏ ｇ，Ｌａｙ ｎ ６ ２ ０，Ｃｈｎ ） Ｓ ｏ ｉａ ｇ２ ５ ０ ｉａ
（ ４ １）
由此 可见 ， 向（ ２ 平行 于单 叶双 曲 面 族 中直母 线 的方 向（ ３ 或 族 中直母线 的方 向（ ４ 。 证 毕 。 方 １） １） １ ）
参考文献 ：
Ｅｉ ｌ 吕林根， 许子道． 解析几何Ｅ ． 版． Ｍ］３ 北京 ： 高等教 育 出 社，０２ ｌ８ ２． 版 ２０ ：２—１９
ｗ
７
对于该 问题， 文献［ ］ ２ 比较详细地分析证 明了无论 由那种比式得到的直母线族其实都是文献［ ］ １ 中给 出的 Ｕ族和 族直母线 （） ２ 。但笔者认为， 这并没有解决两族直母线存在的唯一性 问题， 譬如还有没有不
是利 用上述 比式而是 由其 它形式 导 出的直母 线 ？ 本文 拟证 明如下 的结 论 ， 结论彻 底证 明 了单叶 双 曲面 上 已知 两 族直 母 线 （ ） 在 的唯 一性 问题 ， 该 ２存 并
因此 ， 样 的直 线方 程可设 为 这
ｊ 。。。 ｆ 一ｂ一１ ＿ 上 Ｉ一０ ｚ
ｌ
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ｒ — ０ Ｘ ｔ ＋
ｙ＝ ｙ ＋ Ｙｔ ｏ
（） ８
ｌ＝Ｚ ｔ
其 中 （。Ｙ ，） ，。 ０ 是腰椭 圆上 的点 ， 即
弦 一 Ｘ＋ Ｏ Ｚ
【＝ ＝ 。＝ ｏ
从 它 出发 也 可 以得 到 与 前面完全 不 同 的 比例式 ， 如
（ ６）
筮 一 ： 和
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１ ＋
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， ＝＝ —一 源自ｂ 一＝＝ａ
１ － ＋
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＊ 收 稿 日期 ：０ １ １一 １ ２ １— Ｏ ２
Ｉ］ － ￣立． 叶双 曲面直母 线性质研 究补遗ｌ］ 曲靖师 范学 院学报 ，０ ２ ２ （ ） ５ ２ 单 －． Ｊ ２０ ， １３ ： —８
Ｔｈ ｉ ｅ ｅ ｓＡｂ ｕ ｗｏ Ｆａ ｉｉｓＲｅ ｔｌｎｅ ｒ ｅ Ｕｎ ｑｕ ｎ ｓ ｏ ｔｔ ｍ ｌｅ ｃ ｉｉ ａ Ｇｅ ｅ ａ ｏ ｆＵｎ ｐａ ｔ ｄ Ｈｙ ｅ ｂ ｌ ｉ ｎ ｒ ｔ ｒｏ ｉ ｒｅ ｐ ｒ ｏ ｏ ｄ
一
要证 （ ） Ｕ族 或 ７族直母 线 中的直 线 ， ８是 ９ 只须证 明 （ ） ８ 一定 是 （ ０ 或 （ １ 即可 。 因为 （ ） （ ０ 或 （ １ １ ） １） ８、１） １）
都过 腰椭 圆上 的点 ， 以这 又 只需证 （） 所 ８的方 向与 （Ｏ 或 （１的方 向平行 即可 。 １ ） １） 事实 上 ，（） 单 叶双 曲面 （） ， ８在 １上 则对 于任 意 ｔ 有
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｕ ｉａ ｔ ｄ ｈ ｐ ｒ ｏ ｏ ｄ ｅ ｔｌ ｅ ｒｇ ｎ ｒ ｔ ｒ ｏ ｇ ｌ ｐ ｅ ｙ ｒ ｓ ｎ ｐ ｒｅ ｙ ｅ ｂ ｌ ｉ ，ｒ ｃ ｉ ｎ ａ ｅ ｅ ａ ｏ ，ｇ ｒ ｅ ｅ ｌ ｓ ｉ ｉ
（ 责任 编辑 ： 乃生 ） 刘
（ 接第 ３ 上 ０页 ）
）＋ ｙ ＋ ） （ ｏ Ｘｔ ２ （ ｏ Ｙｔ ｚ ｘ＋
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由（ ） ９ 得
２ ＋ ） （ 一 ｔ 。 （ ＋ ） ＋ ｚ 三
因为 ｔ 是任 意 的 ， 以 所
＋ ＿ ｏ， Ｘｚ
十 ， 一 一０
由此得
ｘ ：Ｙ ：ｚ＝ 一 ｏ 。Ｘ Ｙ Ｏ：±
一
（ 州学 院 ，山东 德
德 州 ２ ３ ２ ；山东莱 阳师 范学 校 ，山东 ５ ０３ 一
一
莱 阳 ， ６ ２ ０ ２ ５０ ）
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ｌ ｌ
、 、 ｌ● ，
—
摘 要 ： 明 了单叶双 曲面上 只要有 直 线 ， 证 则一定 是 大家 熟知 的 ｕ族 和 Ｖ族 直母 线 ， 而 解决 了单 叶 从
ｆ
１— Ｚ ＿ ． Ｚ — ｂ
上
王 上 羔
ａ ｆ
ａ
。ｂ
也可 以得 到直母 线 族 ， 它与 “族 和 族 直母线 （ ） ２ 有什 么关 系 ？ 另一 方 面 ， 叶双 曲面 方程 （ ） 可变 为 单 １也
分解 因式 得
（ （一 一 詈 （ ｘ ＋ ） ）（ ）一 ＋ ）
、 、 ●● ／
一
旦训
个
旦叫
文 献［ ］ 出 了单 叶双 曲面 １给
三
（ ） １
，●●●●● ●●●●，、、●● ●●●●●
的两族 直母 线
族
ｌ
＋ ） ＋ ） 和 一（
＼ ） ＼ Ｊ
一
１
鉴一
一
（ ２）
１ ） ＋
这两族 直母 线是 把 （ ） １ 改写 为 一 一 １ 一
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒｃ ：Ｔｈｓｐ ｐ ｒｓ ｏ ｈ ｔｉ ｏ ｌ ｈ ｒ ｔａｇ ｔｌ ｅｏ ｈ ｎｐ ｒｅ ｙ ｅｂ ｌｉ ，ｔ ｅ ｔ ｓ ｅｒｃｉｎ ａ ｅ ｅ ａ ｉ ａ ｅ ｈ ｗｓｔａ ｆ ｎ ｙｔ ｅｅｉ ｓｒ ｉｈ ｉ ｎ ｔ ｅｕ ｉａ ｔｄｈ ｐ ｒ ｏｏｄ ｈ ｎｉ ｍｕ ｔ ｅ ｔ ｉｅ ｒｇ ｎ ｒ — ｓ ｎ ｂ ｌ ｔｒｏ —ａ ｌ ｒｖ ｆｍ ｉ ｓｗｅｌｋ ｏ ｏ ｆｕ ｆｍｉ ｏ －ａ ｌ ａ ｌ ｎ ｗｎ，ｔ ｅ ｈ ｎｑ ｅ ｅ ｓａ ｏ ｔＵａ ｄ ｖｆｍｉ ｅｔｌ ｅ ｒｇ ｎ ｒ ｔｒｏ ｎｐ ｒｅ ｙ ｅ — ｙ ｙ ｈ ｎ ｔｅｕ ｉｕ ｎ ｓ ｂ ｕ ｎ －ａ ｌ ｒｃｉｎ ａ ｅ ｅ ａｏ ｆｕ ｉａｔｄ ｈ ｐ ｒ ｙ ｉ ｂ ｌｉ Ｓｓ ｌｅ ｏｏｄ ｉ ｏ ｖｄ。ａ ｄ ｄｓ ｕ ｓｏ ｂ ｕ ｔｉ ｔ ｅ ａ ｅ ｓａ ｅｓｍｐｉｉｄ ｎ ｉｃ ｓ ｉｎ ａ ｏ ｔｉ ｎｏ ｈ ｒｐ ｐ ｒ ｒ ｉ ｌ ｅ ． ｆ
经 过点 （ 。Ｙ ， ） ｚ ，。 ０ 的 族 中的直线 为
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（０ １）
【 口詈一 ＋ ）一） ＸＸ ）（警（ ｎ。 ｏ一 、 ｛
经过 点 （ 。 ， ） ｚ 。 Ｏ 的 族 中的直线 为 ，
１警）詈 一 ｆ ） （一 ） 詈一 ）＋ ） （ （ ）（ 詈一 （ （ 一 ＋ 詈
再分解 因 式得
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得 到的文 献 ［］ 出 的问题 是 ， 积等 式 （ ） 写成其 它 比例式 ， ２提 将 ３改 如
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（ ） ５
５ 结束 语
由于三维 扫掠 实体 的扫 掠边 界包 络 曲面 的数 学 表达 式 求 解 十分 困难 ， 成 目前 诸 多大 型 通 用商 业 建 造 模 软件在 以三维 曲面 或 实体 为扫 描 基 体 的扫 掠 实 体 建 模 方 面 存 在 功 能 空 缺 。本 文 引 入 ＯｂｅｔＡＲ 技 ｊｃ Ｘ 术， 为此类 问题 提供 了一 种解 决思 路 ， 通 过 两个 实 例 演示 了该 思 路 的可 行 性 。Ｏｂｅｔ Ｘ 开发 技 术使 并 ｊｃ ＡＲ 得 ＡｕｏＣ ｔ ＡＤ在包 含扫 掠特 征 的复杂 零件 造 型方面 走在 了其 他设计 软 件 的前 列 。