空间解析几何(下篇)剖析
空间解析几何
b
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a.
因此
a
a
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a ax i ay j az k b bx i by j bz k
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
A b
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
b
在
a
上的投影为
b
记作 Pr ja b
空间解析几何课程教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
五、教材及参考资料
[1]吕林根、许子道编.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2014,ISBN：
9787040193640.
[2]李养成.空间解析几何.北京：科学出版社，2013,ISBN：9787030193520.
[3]丘维声.解析几何（第二版）.北京：北京大学出版社，2008,ISBN：9787301003497.
[4]纪永强.空间解析几何.北京:高等教育出版社，2014,ISBN：9787040365375.
六、教学条件
需要配置有投影屏幕的教室。
授课电脑需要安装WindowS7、OffiCe2010、Mat1ab2015>MathType6.9>几何画板、FIaSh的正版软件。
附录：各类考核评分标准表。
空间解析几何6
解析几何 第二章 空间解析几何
即
2 2 x y 1 h2 h2 2 1 2 b 2 1 2 a c c z h
它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。
方程
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 2 2 1与 2 2 2 1 2 a b c a b c
所表示的曲面也是单叶双曲面。
解析几何 第二章 空间解析几何
z
（二）双叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
a 2 2 顶点 b h , h, 0 在腰圆( 1) b
解析几何 第二章 空间解析几何
z
x
y
z
（11）
（12）
（13）
x
y
解析几何 第二章 空间解析几何
用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截口
的方程为
x2 z2 h2 2 2 1 2 (5 ) b a c y h c 2 2 实轴 // z轴，实轴长 h b b a 2 虚轴 // x轴， 虚轴长 h b2 b
来截割曲面，得到截线方程
x 2 y 2 h2 x 2 y 2 h2 2 2 2 1 2 2 2 1 (8) 与 a b c b c a z h z h 当h=c时，截得的图形为一点
当h>c时，截线为椭圆，两半轴是
h h a 2 1 与b 2 1 c c
若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的 关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在 椭球面上，
N8-1空间解析几何简介剖析
上页 下页 返回 结束
2) y1 b 时, 截痕为相交直线:
z
x z 0 ac
y b (或 b)
x
y
3) y1 b 时, 截痕为双曲线:
z
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
x
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
上页 下页 返回 结束
B. 双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
上页 下页 返回 结束
（1）抛物面
z
A. 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
y x
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
例9（P320-例6）作方程
的图形 .
解: 范围 z 0. x, y R
x2 y2 0 与坐标面的交线：
z0
原点
z x2 z y2
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F(x, y, z) 0
两个基本问题 :
z
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
S
如何求曲面方程.
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
上页 下页 返回 结束
1. 平面的方程
教学要求：
１.了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. ２.知道二元函数的极限与连续性的概念。 ３.理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导
数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. ４.掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由
《空间解析几何》教学中的探索研究
《空间解析几何》教学中的探索研究《空间解析几何》是高中数学的一个重要内容，它是建立在平面解析几何的基础上，通过引入第三个坐标轴来研究空间中的点、线、面等几何对象的方法和性质。
学习《空间解析几何》既需要理论上的研究，也需要实践中的探索，下面将对空间解析几何教学中的探索研究进行阐述。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究有助于学生深入了解空间解析几何的概念和基本原理。
学生在学习空间解析几何时，可以通过实际问题的探索来引导他们发现和理解空间解析几何的概念和基本原理。
可以给学生一个实际问题，让他们通过自己的思考和探索，逐步引导他们认识到空间中的点、线、面等几何对象可以用坐标表示，进一步明确空间解析几何中的坐标系、坐标、坐标轴等基本概念。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究对于培养学生的数学建模能力和问题解决能力非常重要。
空间解析几何是一门与实际问题联系紧密的数学学科，学生在学习过程中可以通过探索研究的方式，将所学的数学知识应用到实际问题的建模和解决中。
可以给学生一些实际问题，让他们通过分析问题、建立数学模型、运用空间解析几何的方法来解决问题。
通过这样的探索研究，学生不仅可以提高对空间解析几何知识的理解，还可以培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
在《空间解析几何》的教学中，探索研究也有助于培养学生的创新意识和团队合作精神。
学生在探索研究的过程中，需要积极主动地思考问题、寻找解决方案，并与同学们进行交流和合作。
通过这样的探索研究，学生可以培养他们的创新意识和团队合作精神，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
《空间解析几何》教学中的探索研究对于学生的数学学习和发展具有重要意义。
探索研究能够帮助学生深入理解空间解析几何的概念和基本原理，培养他们的数学建模能力和问题解决能力，同时也可以提高学生的创新意识和团队合作精神。
在教学实践中，教师应积极引导学生进行探索研究，为学生提供合适的学习环境和机会，使他们在探索中学习、在实践中提高，最终达到提升数学水平的目标。
第四 章空间解析几何
O
P1
Q1
Q2
y
P2
x
由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角， 所以
|M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2
又△M1PN也是直角三角形且
|M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2
所以
而
|M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2
|M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1|
设所求单位向量为bmnp由于它在xoy平面上且是单位向量所以满足于是垂直液体密度所指一方的液体的质量流向单位时间内经过这区域的单位向量计算为垂直于向量各点处的流速均为常的一个区域液体在区上面积为设液体流过平面体积为所以这柱体的高为的夹角夹角就是高与地面的垂线的的斜柱体这柱体的斜斜高为的液体组成一个底面积单位时间内流过这区域的质量为所指一方的液体域流向从而单位时间内这区432向量的向量积定义45给定向量a与b的向量积crossproduct或称外积exteriorproduct叉积crossproduct是满足下面条件的一个向量记为bsinabab分别垂直于a和b且abab符合右手规则图415
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (4)a+(-a)=0
则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ，
则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．
设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ， OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点， 向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差 A (图4-9)。
一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示 的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。 另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大 小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如 速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表 示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记 做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量 a,b,x等。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
高等数学-第八章空间解析几何pptPPT课件
O Axi, O Byj,OC zk
r x i y j zk (x,y,z)
k iO
j r
M B
y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
xi,y j,zk 称为 r 沿向 三个坐标轴量 方向的分向量.
高等数学(下册)
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则
过空间一定点 O ,
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅲ
Ⅳ
Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
zz 轴(竖轴) yoz面
oxoy面
Ⅴ
Ⅱ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
高等数学(下册)
在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组
称有序数组为点M的坐标,记为 M
(x, y, z) 1 1向径 r (x, y, z)
一、向量的概念
高等数学(下册)
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量
表示法:
有向线段
uuuuuur r M1M 2, a ,
(又称矢量).
M2
M1
向量的模 :
向量的大小,
uuuuuur r 记作M1M2 , a ,
向径 (矢径):
起点为原点的向量.
自由向量: 单位向量:
与起点无关的向量. 模为 1 的向量,
零向量: 模为 0 的向量,
高等数学(下册)
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。
我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。
这部分的重点有：柱而，锥而，旋转曲面，二次曲而及其一般线性理论，还有参数方程。
*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。
一.最完美二次曲面一球而1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，这个定点叫球心。
球心到球而的任何点的距离叫做半径。
2.球而的方程：以点（心）b，z°）为球心，R为半径的球面标准方程为（x-x0^ +（y-y0^ +（Z_Z0）2=R2这是一个二次曲面，它的一般形式为x2+ y2 +z2 +Ax + By + Cz + D = O命题1:用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。
命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂直于该平面。
3.切而的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记住二次曲而一般理论中的公式。
二.柱面的锥面（一）•柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲而叫做柱面，定曲线叫做准线，平行直线中的每条都叫（直）母线，定方向是直母线的方向，也叫柱面方向。
2.柱而方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方程。
如果已知准线方程为F（x,y,z） = 0G（x,y,z） = °母线方向为（l,m, n）于是，假设一点A3」山）在柱面上，这里假设的R是准线与母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程兀一为_z—勺/ m n FCW“Zi）= O &（心”心）=0 从中消去心牙心，得到的就是柱面方程。
特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱而分别叫做圆柱而，椭圆柱而，双曲柱而，抛物柱而。
例题1:设柱面准线方程为f + ）广=z<2x-z = 0母线方向为为（-2,1,0）,求柱而方程。
解：设斥（心儿和为准线与母线的交点，于是，”2 +昇=勺................... （*）2西-勺=0过A的母线为-2 0 1令这个等式的值为t,得母线的参数方程x = x{-2t,y=y l,z = Z l+t得X]=兀+ 2人必=”石=乙一『，代入（*）,得(x + 2/)‘ +)，= z_/2x-z + 5r = 0消去t,得柱面方程为+25 y2 +4z2 +4xz-10x-20z = 0这是解决柱面方程题目的常规方法。
如果准线是圆，那么柱面就是圆柱面，这个可以用后而的旋转曲面来解决。
（二）锥面1.定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族直线组成的曲而叫做锥面，定点叫做顶点，定曲而叫做锥而的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。
X ■2.锥而方程的构造同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。
于是只要能够遍取所有的母线就行，所以，设P\x M）是准线与母线的交点，顶点疏心儿,心）也在过A 的母线上，于是由直 线的两点式方程可以确定该母线方程为再把烈召」心）代入准线方程，得F （x p y p z,） = 0 < G&j,zJ = O .............................................联立①®,消去召j,召得到的就是锥面方程。
3. 圆锥面定义：准线是圆，母线与轴的夹角为定角的锥而叫做圆锥 面。
（估计谁都知道，不必多说了！）命题1：如果方程可以变为x 2 + /-tan 2a.?=O 的形式，则锥 面是圆锥面，。
是母线与轴的夹角。
其中x, y,z 的 位置可以任意换。
很明显这是特殊的情形，对于一般的锥面，有以下判定定理 命题2: 一个关T x-x^y-y^z-z^的齐次方程表示以点（无，儿,z （））为顶点的锥面。
由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！例题2：己知锥面顶点为（3,-2）,准线为x 2 + y 2-z 2 = \,x-y + z = O ,求该锥面方程。
―心_『一儿_ Z-Zo 州一忑力一凡勺一％ ........................ ①解：设斥（舛亠zj是准线上一点，连接A与顶点（3厂1厂2）的母线为x-3 _ y_3 _ z_3州一3 >')—3 Z] — 3将这个等式的值记为〉得兀]=3 + 心_3)y} =一1 + 心 + 1), .......................... ①石=—2 + f(z + 2)代入心X忆到准线方程中，满足............................ ②.齐_开+召=°联立①©,消去t,得3(x — 3)~ — 5(y +1)~ +7(z + 2)~ — 6(x—3)( y +1) + 10(x_3)(z_2)_2(y+ l)(z + 2) = 0即为所求锥面方程。
三.旋转曲面（一）一般旋转曲面的构造1.定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。
由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也叫纬圆或纬线。
其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线。
命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线。
假设母线（或经线）方程为,母线上有一点2.旋转曲面方程的构造A（心儿zj轴1经过仇（心y%），方向向量0=（Z,加加,假设还有一点P（x, y,z）与A在同一纬圆上。
于是有（X—x0）2 + （y-y0）2+（Z~Z Q）~=（x K— x0）2 + （＞'| -y0）~ + （石一z°）~/（X-X|）+ 〃心一”）+ 〃（乙一©） = oF（W 召）=°Gy JM J=O从中消去心，得到的就是旋转曲面的方程。
例题3：求直线= J = |绕直线x于z旋转所得的旋转1 2 2曲面方程。
解：在母线^L = 2=|上任取一点恥“必)，在轴上取(0, 0,0),所以过片的纬圆方程为[•(X—坷)+ 1 •(〉，一”)+l・(z — zj = o< 。
丁 2 *> 2 。
x-+y-+z~=x~ + y[ + z；将片代入经线方程，得鱼二1 2 2经纬己经确定，于是从上面等式中消去召石，得A2 + y2 +z2 = — (x4-y + z4-4)2 + —(x + y + z-l)2' 25 25即为所求。
(二)绕坐标轴旋转1.旋转定律一般地，坐标平而上的曲线绕此平而上的一条坐标轴旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
2.椭球而y2 z2设椭圆方程为r：kr + ^ = 1,绕y轴旋转，贝IJx = O不要管x,保留y,将z换成何了，则得到的椭球面方程为匚+心三=1b~ a~请根据规律，写出绕Z轴旋转的结果:3.双曲面J ■y z t将双曲线r：hrv = 1绕z轴旋转所得的旋转曲面为x = 0■这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。
b"L当绕y轴旋转时，得到的是三+可c~ b~ c~这里有两个负号，判定为双叶双曲面。
4.抛物面抛物面有两种形式，一是椭圆抛物而，而是双曲抛物而。
椭圆抛物面的标准形式为｛ +可 Gcr b~其中，x, y,z的位置不定。
这个等式左边是椭圆方程的一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物而。
它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆。
如图，在椭圆抛物面中，沿Z轴方向看是抛物线，于是关于Z是一次项；俯视xOy平面可看到的是椭圆, 所以方程中关于x和y的项是二次项。
通过这个规律可以判定图像的大致形态。
性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能岀现圆。
无论是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。
双曲抛物面的标准形式为4-^ = 2z,这个图像由于a- b~像马鞍一样，所以又叫马鞍面。
其中，原点是鞍点，它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物而完全类似。
（三）二次直纹曲面1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的曲面。
2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲而，双曲抛物面。
3.析因式法所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分解，从而求出生成直线族。
很明显，单叶双曲面和双曲抛物而都有两族直母线。
4.单叶双曲面两族直母线的性质⑴对于单叶双曲而上的每一点，两族直母线中各有唯一的一条直母线通过该点；⑵异族的任意两条直母线共而；⑶同族的任意两条直母线是异而直线；⑷两族直母线无公共直线.5.双曲抛物而两族直母线的性质⑴对于双曲抛物而的任意点，两族直母线中各有一条直母线经过这一点；⑵任意两条异族直母线都相交；⑶两族直母线中无公共直线；⑷同族任意两条直母线异面；⑸同族中所有直母线必平行于同一平而；例题4：求单叶双曲面上过P (2,1,3)的两条直母线。
解：(析因式法)根据平法差公式分解因式得到两族直母线分别为 人 =«(i+y) 〉*和, (X z\ "1 T + T =〃2(1_刃 I / 3丿 Xf~fj =/A(i+刃把点p 的坐标代入， 得人:人=1,“=0,于是过P 点的两族直母线的方程分 别为1 ・ y = 0x 'z n ，化简后即为所求。
---- =U 2 3附：对于双曲抛物而的析因式，采用如下分法:若方程为务一話= 2z,这就是双曲抛物线的两族直母线。
分解为41 9四.二次曲而的一般理论（一）判断曲面类型（回顾二次型与矩阵）对于一般形式的二次曲而F（x、y, z） = + a22y2 + r/33z2 + 2a]2xy^ + 2a[3xz + 2a23yz记中间的矩阵为A,称为二次曲面的矩阵；二次部分的矩阵为记才，称为二次矩阵。
当判断一个一般形式的曲面时，通过非退化线性替换把二次曲而的矩阵变成标准型或者规范形，然后写出方程，这个时候就可以得出曲面到底是什么了。
（二）主方向，特征方程，特征根在这里明确一下，不要去寻找他们的几何意义，因为目前城主也没找出他们的意义。
不过可以确定的是：特征方程就是高代里面的特征多项式，特征根就是特征值，特征根对应的主方向就是指特征值对应的特征向量。
接下来复习下线性变换的特征矩阵!‘3-2 0、例题5:求“二-1 3 -1的特征值（特征根）和特「5 7 —1丿征向量（主方向）。
2-3 2 0解答：令\A E-A\= 1 2-3 1 =05 -7 2 + 1得（A-1X/1-2）2=O所以，特征值为1和2 （二重根）属于1的特征向量是 2 0丫《?1 -2 1 y = 0 的非零解，即（5 -7 2几丿 0a = k （l ，l ，l ） 属于2的特征向量是b = h （2,\-\）主方向为2:1： -1于是，遇到求特征根与主方向的时候，可以完全按照线性变换来求！在这里，特征根有一下性质：1. 二次曲而的三个特征根都是实数；2. 二次曲而的三个特征根不全为0；3. 不同特征根对应的主方向一定互相垂直；4. 对于任意二次曲而，至少存在3个两两垂直的主 方向。